Bài tập chuyên đề hình học phẳng oxy năm 2024
- 1. độ trong mặt phẳng //megabook.vn/ 1 MỤC LỤC Trang • Tóm tắt kiến thức 2 • Các bài toán về điểm và đường thẳng 4 • Các bài toán về tam giác 6 • Các bài toán về hình chữ nhật 13 • Các bài toán về hình thoi 16 • Các bài toán về hình vuông 17 • Các bài toán về hình thang, hình bình hành 19 • Các bài toán về đường tròn 21 • Các bài toán về ba đường conic 31 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 2. THỨC 1. Phương trình đường thẳng • đường thẳng đi qua điểm [ ];o oA x y và có VTCP [ ];u a b= có PTTS là = + = + o o x x at y y bt . • đường thẳng đi qua điểm [ ];o oA x y và có VTPT [ ]= ;n a b có PTTQ là [ ] [ ]− + − = 0o oa x x b y y . • đường thẳng đi qua hai điểm [ ];A AA x y và [ ];B BB x y có phương trình: − − = − − A A B A B A x x y y x x y y . • đường thẳng đi qua hai điểm [ ];0A a và [ ]0;B b với ≠ 0a và ≠ 0b có phương trình: + =1 x y a b . • đường thẳng song song hoặc trùng với Oy có phương trình là [ ]+ = ≠0 0ax c a . • đường thẳng song song hoặc trùng với Ox có phương trình là [ ]+ = ≠0 0by c b . • đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có phương trình là + = 0ax by [ ]2 2 0a b+ ≠ . • nếu [d] vuông góc với + + =[ '] : 0d ax by c thì [d] có phương trình là − + = 0bx ay m . • nếu [d] song song với + + =[ '] : 0d ax by c thì [d] có phương trình là [ ]+ + = ≠0ax by m m c . • đường thẳng có hệ số góc k có phương trình là = +y kx b. • đường thẳng đi qua điểm [ ];o oA x y và có hệ số góc k có phương trình là [ ]− = −o oy y k x x . • = +[ ] :d y kx b vuông góc với = + ⇔ = −[ '] : ' ' . ' 1d y k x b k k . • = +[ ] :d y kx b song song với = + ⇒ =[ '] : ' ' 'd y k x b k k . 2. Khoảng cách và góc • khoảng cách từ [ ];o oA x y đến ∆ + + =[ ] : 0ax by c tính bởi công thức: [ ] + + ∆ = +2 2 , o oax by c d A a b • M, N ở cùng phía đối với đường thẳng ∆ + + =[ ] : 0ax by c [ ][ ]⇔ + + + + > 0M M N Nax by c ax by c • M, N ở khác phía đối với đường thẳng ∆ + + =[ ] : 0ax by c [ ][ ]⇔ + + + + < 0M M N Nax by c ax by c • cho hai đường thẳng ∆ + + =[ ] : 0ax by c và ∆ + + =[ '] : ' ' ' 0a x b y c thì: phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆' là + + + + = ± + +2 2 2 2 ' ' ' ' ' ax by c a x b y c a b a b [ ] + ∆ ∆ = + +2 2 2 2 ' ' cos ; ' . ' ' aa bb a b a b ∆ ⊥ ∆ ⇔ + =' ' ' 0aa bb . 3. Đường tròn • đường tròn [C] tâm [ ];o oT x y , bán kính R có phương trình là [ ] [ ]− + − = 2 2 2 o ox x y y R . • phương trình + + + + =2 2 2 2 0x y ax by c với + − >2 2 0a b c là phương trình của một đường tròn với tâm [ ]− −;T a b và bán kính = + −2 2 R a b c . • cho đường thẳng ∆ + + =[ ] : 0ax by c và đường tròn [C] có tâm [ ];o oT x y và bán kính R . Lúc đó: ∆[ ] tiếp xúc [C] [ ] + + ⇔ ∆ = ⇔ = +2 2 ; o oax by c d T R R a b . //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 3. Định nghĩa: [ ] { }= + =1 2| 2E M MF MF a • Phương trình chính tắc: [ ] [ ]+ = < < 2 2 2 2 : 1 0 x y E b a a b • Tiêu điểm: [ ] [ ]−1 2;0 , ;0F c F c với 2 2 c a b= − • Tiêu cự: =1 2 2F F c • Bán kính qua tiêu: = + = −1 2; c c MF a x MF a x a a • Tâm sai: = 1 c e a • Trục thực là Ox, độ dài trục thực: 2a • Trục ảo là Oy, độ dài trục ảo: 2b • Phương trình các đường tiệm cận: = ± b y x a • Tọa độ các đỉnh: [ ] [ ]− ;0 , ;0a a 6. Đường parabol x y H P FO M • Định nghĩa: [ ] [ ]{ }= = ∆| ,P M MF d M • Phương trình chính tắc: [ ] [ ]= >2 : 2 0P y px p • Tiêu điểm: ;0 2 p F • Đường chuNn: + = 0 2 p x • Bán kính qua tiêu: = + 2 p MF x • Tọa độ đỉnh: [ ]0;0O ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 4. VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG B04: Cho hai điểm A[1; 1], B[4; –3]. Tìm điểm C thuộc đường thẳng − − =2 1 0x y sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. ĐS: C C1 2 43 27 [7;3], ; 11 11 − − A06: Cho các đường thẳng lần lượt có phương trình: + + = − − = − =1 2 3: 3 0, : 4 0, : 2 0d x y d x y d x y . Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ĐS: M[–22; –11], M[2; 1] B11: Cho hai đường thẳng : 4 0x y∆ − − = và : 2 2 0d x y− − = . Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn . 8OM ON = . ĐS: [ ]0; 2N − hoặc 6 2 ; 5 5 N Toán học & Tuổi trẻ: Cho đường thẳng : 2 2 0d x y− − = và hai điểm A[0 ; 1] và B[3 ; 4]. Tìm tọa độ của điểm M trên d sao cho 2 2 2MA MB+ nhỏ nhất. ĐS: M[2 ; 0] chuyên ĐH Vinh: Cho hai điểm A[1 ; 2] và B[4 ; 3]. Tìm tọa độ điểm M sao cho o 135AMB = và khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB bằng 10 2 . ĐS: [ ]0;0M hoặc [ ]1;3M − D10: Cho điểm A[0; 2] và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. ĐS: 2 đường ∆: [ ]x y5 1 2 5 2 0− ± − = B04[dự bị]: Cho điểm I[–2; 0] và hai đường thẳng d x y d x y1 2: 2 5 0, : 3 0− + = + − = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho IA IB2= . ĐS: : 7 3 14 0d x y− + + = Toán học & Tuổi trẻ: Cho hai đường thẳng 1 2: 1 0; : 2 1 0d x y d x y+ + = − − = . Lập phương trình đường thẳng d đi qua [ ]1; 1M − và cắt 1 2;d d lần lượt tại A và B sao cho 2MB MA= − . ĐS: : 1d x = Toán học & Tuổi trẻ: Cho hai điểm [ ] [ ]2;5 , 5;1A B . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3. ĐS: : 7 24 134 0d x y+ − = Toán học & Tuổi trẻ: Cho điểm [ ]3;4M − và hai đường thẳng 1 : 2 3 0d x y− − = và 2 : 0d x y− = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt 1d tại A, cắt 2d tại B sao cho 2MA MB= và điểm A có tung độ dương. chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An: Cho ba điểm A[1 ; 1], B[3 ; 2] và C[7 ; 10]. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ∆ là lớn nhất. ĐS: : 4 5 9 0d x y+ − = chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Cho tam giác ABC có đỉnh A[0 ; 4], trọng tâm [ ]4 /3;2 /3G và trực tâm trùng với gốc tọa độ. Tìm tọa độ B, C biết B Cx x< . ĐS: [ ] [ ]1; 1 , 5; 1B C− − − //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 5. - Nghệ An - 2013: [ ] [ ] [ ]− + − = 2 2 : 1 2 10C x y có tâm là I. Viết phương trình đường thẳng d cách O một khoảng bằng 5 và cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. ĐS: − − =: 2 5 0d x y Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2014: Cho hai đường thẳng + − =1 : 2 3 0d x y và − − =2 : 2 1 0d x y cắt nhau tại. Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và cắt 1 2,d d lần lượt tại A, B sao cho 2IA=IB. ĐS: − =: 3 4 0d x y hoặc =: 0d x chuyên ĐH Vinh - 2013: Cho hai đường thẳng − − = + − =1 2: 2 0, : 2 2 0d x y d x y . Gọi I là giao điểm của 1 2,d d . Viết phương trình đường thẳng đi qua M[-1;1] cắt 1 2,d d lần lượt tại A, B sao cho AB = 3IA. ĐS: + = 0x y hoặc 7 6 0x y+ − = chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2014: Cho điểm A[0;2] và đường thẳng : 2 2 0.d x y− + = Tìm trên d 2 điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại A và AM=2AN, biết hoành độ và tung độ của N là những số nguyên. ĐS: M[2;2], N[0;1] chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ - 2014: Cho điểm A[4;-7] và đường thẳng : 2 4 0x y∆ − + = . Tìm điểm B trên ∆ sao cho có đúng ba đường thẳng 1 2 3, ,d d d thỏa mãn khoảng cách từ A đến 1 2 3, ,d d d đều bằng 4 và khoảng cách từ B đến 1 2 3, ,d d d đều bằng 6. ĐS: [ ]2;1B − hoặc 6 13 ; 5 5 B ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 6. VỀ TAM GIÁC 1. Tam giác thường 1.1. Tìm tọa độ của điểm A04: Cho hai điểm A[0; 2] và [ ]− −3; 1B . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. ĐS: [ ] [ ]H I3; 1 , 3;1− − B08: Hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H[–1; –1], đường phân giác trong góc A có phương trình − + =2 0x y và đường cao kẻ từ B có phương trình + − =4 3 1 0x y . ĐS: C 10 3 ; 3 4 − D10: Cho tam giác ABC có đỉnh A[3; –7], trực tâm là H[3; –1], tâm đường tròn ngoại tiếp là I[–2; 0]. Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. ĐS: [ ]C 2 65;3− + B11: Cho tam giác ABC có đỉnh 1 ;1 2 B . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D[3 ; 1] và đường thẳng EF có phương trình 3 0y − = . Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương. ĐS: 13 3; 3 A D11: Cho tam giác ABC có đỉnh [ ]4;1B − , trọng tâm [ ]1;1G và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình 1 0x y− − = . Tìm tọa độ các đỉnh A và C. ĐS: [ ] [ ]4;3 , 3; 1A C − B13: Cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là 17 1 ; 5 5 H − , chân đường phân giác trong của góc A là [ ]5;3D và trung điểm của cạnh AB là [ ]0;1M . Tìm tọa độ đỉnh C. ĐS: [ ]9;11C D13: Cho tam giác ABC có điểm [ ]9 / 2;3/ 2−M là trung điểm của cạnh AB, điểm [ ]2;4H − và [ ]1;1I − lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh C. ĐS: [ ]−1;6C D03[dự bị]: Cho tam giác ABC có đỉnh A[1; 0] và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là: x y x y2 1 0, 3 1 0− + = + − = . Tính diện tích tam giác ABC. ĐS: B C[ 5; 2], [ 1;4]− − − ⇒ S 14= D04[dự bị]: Cho điểm A[2; 3] và hai đường thẳng d x y d x y1 2: 5 0, : 2 7 0+ + = + − = . Tìm toạ độ các điểm B trên d1 và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G[2; 0]. ĐS: [ ] [ ]1; 4 , 5;1B C− − A06[dự bị]: Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng x yd : 4 2 0− − = , cạnh BC song song với d. Phương trình đường cao BH: x y 3 0+ + = và trung điểm của cạnh AC là M[1; 1]. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A B C 2 2 8 8 ; , [ 4;1], ; 3 3 3 3 − − − //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 7. tam giác ABC có đỉnh A[2; 1], đường cao qua đỉnh B có phương trình x y3 7 0− − = và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x y 1 0+ + = . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác. ĐS: B[–2; –3], C[4; –5] A07[dự bị]: Cho tam giác ABC có trọng tâm G[–2; 0], phương trình các cạnh AB: x y4 14 0+ + = , AC: x y2 5 2 0+ − = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A[–4; 2], B[–3; –2], C[1; 0] Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC biết ba chân đường cao tương ứng với ba đỉnh A, B, C lần lượt là [ ]' 1;1A , [ ]' 2;3B − và [ ]' 2;4C . Viết phương trình cạnh BC. ĐS: 2 3 3 1 5 2 0 13 10 13 10 13 10 x − + + − + = Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC có : 5 2 7 0; : 2 1 0AB x y BC x y+ + = − − = . Phương trình đường phân giác trong góc A là 1 0x y+ − = . Tìm tọa độ điểm C. ĐS: 11 4 ; 3 3 C Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC biết C[4 ; 3]. Đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác lần lượt có phương trình 2 5 0x y+ − = và 4 13 10x y+ − . Tìm tọa độ điểm B. ĐS: [ ]12;1B − Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC biết [ ]1;1A − , trực tâm H[1 ; 3], trung điểm của cạnh BC là điểm M[5 ; 5]. Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC. Đặng Thúc Hứa - Nghệ An: Cho tam giác ABC có : 2 3 0d x y− − = là đường phân giác trong góc A. Biết [ ] [ ]1 16;0 , 4;4B C− − lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên các đường thẳng AC, AB. Xác định tọa độ của A, B, C. ĐS: [ ] 21 21 31 1 1; 1 , ; , ; 4 4 4 4 A B C − − − Lê Hồng Phong - Thanh Hóa: 1. Cho tam giác ABC có A[5 ; 2]. Phương trình đường trung trực đoạn BC là 6 0x y+ − = , trung tuyến CC’ là 2 3 0x y− + = . Tìm tọa độ các đỉnh B, C. 2. Cho tam giác ABC có A[1 ; 5]. Phương trình : 2 6 0BC x y− − = . Tâm đường tròn nội tiếp I[1;0]. Tìm tọa độ các đỉnh B, C. ĐS: 1. [ ] [ ]23/ 5;55/3 , 28/3; 14 /3C B − − 2. [ ] [ ]4; 1 , 4; 5B C− − − chuyên ĐH Vinh: Cho tam giác ABC có trọng tâm G[1 ; 1]; : 2 1 0d x y− + = là phương trình của đường cao kẻ từ đỉnh A. Các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : 2 1 0x y∆ + − = . Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết tam giác ABC có diện tích bằng 6. ĐS: [ ] [ ] [ ]1;3 , 3; 1 , 1;1A B C− − hoặc [ ] [ ] [ ]1;3 , 3; 1 , 1;1A C B− − Lý Thái Tổ - Bắc Ninh: Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong góc A lần lượt có phương trình là 1 2: 3 4 10 0; : 1 0d x y d x y+ + = − + = . Điểm M[0 ; 2] thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. ĐS: [ ] [ ] [ ]4;5 , 3; 1/ 4 , 1;1A B C− − hoặc [ ]31/ 25;33/ 25C THPT Cầu Xe: Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh C và đường trung trực đoạn BC lần lượt là 2 0;3 4 2 0x y x y− + = + − = . Điểm [ ]4; 2A − . Tìm tọa độ các đỉnh B, C. ĐS: [ ] [ ]1/ 4;9/ 4 , 7/ 4;1/ 4B C− − //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 8. 4: Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B lần lượt có phương trình là 2 2 0; 1 0x y x y− − = − − = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M[0 ; 2] thuộc đường thẳng AB và AB = 2BC. ĐS: [ ] [ ] [ ]3;1/ 2 , 2;1 , 7/ 4;3/ 2A B C Quỳnh Lưu 2 - Nghệ An: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 12 6 6+ , [ ] [ ]2;0 , 4;0A B− , bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5. Tìm tọa độ điểm C biết tung độ của C dương. ĐS: [ ]0;4 2 6C + hoặc [ ]2;4 2 6C + chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: Cho tam giác ABC có 5AB = , [ ]1; 1C − − , đường thẳng : 2 3 0AB x y+ − = . Trọng tâm G thuộc đường thẳng : 2 0d x y+ − = . Tìm tọa độ của A, B. ĐS: [ ] [ ]4; 1/ 2 , 6; 3/ 2A B− − hoặc [ ] [ ]4; 1/ 2 , 6; 3/ 2B A− − GSTT.VN - 2013: Cho tam giác ABC có M[0;-1] nằm trên cạnh AC. Biết AB=2AM, đường phân giác trong góc A là : 0d x y− = , đường cao đi qua đỉnh C là ': 2 3 0d x y+ + = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. ĐS: [ ] [ ] − − − − 1 1;1 , 3; 1 , ; 2 2 A B C Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2013: Cho tam giác ABC có 135o BAC = , đường cao :3 10 0BH x y+ + = , trung điểm của cạnh BC là 1 3 ; 2 2 M − và trực tâm H[0;-10]. Biết tung độ của điểm B âm. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2013: Cho tam giác ABC có trực tâm H, : 4 0BC x y− + = , trung điểm của cạnh AC là M[0;3], đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N[7;-1]. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2013: Cho tam giác ABC có trọng tâm G[1;2], điểm M[-2;1] nằm trên đường cao kẻ từ A. Đường thẳng BC có phương trình 1 0x y− − = . Tìm tọa độ điểm B biết 0Bx > và diện tích tam giác ABC bằng 24. ĐS: B[7;6] chuyên ĐH Vinh - 2013: Cho tam giác ABC có A[-1;-3], B[5;1]. Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MC=2MB. Tìm tọa độ điểm C biết rằng MA = AC = 5 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên. ĐS: C[-4;1] Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho tam giác ABC có A[1;2], trọng tâm G[1;1] và trực tâm 2 10 ; 3 3 H . Tìm tọa độ hai đỉnh B và C của tam giác. ĐS: B[-1;0] và C[3;1] Hồng Quang - Hải Dương - 2014: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2. Phương trình của đường thẳng AB là 0x y− = . Điểm M[2;1] là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độ trung điểm N của cạnh AC. ĐS: B[3;2] và C[1;0] Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2014: Cho tam giác ABC có đỉnh C[5;1], M là trung điểm của BC, điểm B thuộc đường thẳng : 6 0d x y+ + = . Điểm N[0;1] là trung điểm của AM, điểm D[-1;-7] không nằm trên đường thẳng AM và khác phía với A so với đường thẳng BC, đồng thời khoảng cách từ A và D tới đường thẳng BC bằng nhau. Xác định tọa độ các điểm A, B. ĐS: B[-3;-3] và A[-1;3] //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 9. Chiểu - Đồng Tháp - 204: Cho tam giác ABC có [ ] [ ] [ ]0;2 3 , 2;0 , 2;0A B C− và BH là đường cao. Tìm tọa độ của điểm M, N trên đường thẳng chứa đường cao BH sao cho ba tam giác MBC, NBC và ABC có chu vi bằng nhau. ĐS: 8 24 3 24 6 3 8 24 3 24 6 3 ; , ; 13 13 13 13 M N − + + − − − + chuyên ĐH Vinh - 204: Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là 3 18 0x y+ − = , phương trình đường thẳng trung trực của BC là 3 19 279 0.x y+ − = Đỉnh C thuộc đường thẳng : 2 5 0.d x y− + = Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng 135 .o BAC = ĐS: A[4;8] chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ - 2014: Cho tam giác ABC có H[1;1] là chân đường cao kẻ từ đỉnh A. Điểm M[3;0] là trung điểm của cạnh BC và .BAH HAM MAC= = Tìm tọa độ các điểm A, B, C. ĐS: [ ] [ ] [ ]1 3;1 2 3 , 1;2 , 7; 2A B C± ± − − ĐHSP Hà Nội - 2014: Cho tam giác ABC có AC>AB, C[6;0] và hai đường thẳng : 3 10 0d x y− − = , : 3 3 16 0.x y∆ + − = Biết rằng đường thẳng d chứa đường phân giác trong của góc A, đường thẳng ∆ vuông góc với cạnh AC và ba đường thẳng ∆ , d và trung trực của cạnh BC đồng qui tại một điểm. ĐS: 4 2 ; 3 3 B chuyên ĐH Vinh - 204: Cho tam giác ABC có M[2;1] là trung điểm cạnh AC, điểm H[0;-3] là chân đường cao kẻ từ A, điểm E[23;-2] thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm B biết điểm A thuộc đường thẳng : 2 3 5 0d x y+ − = và điểm C có hoành độ dương. ĐS: [ ]3; 4B − − Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC có A[1;5], điểm B nằm trên đường thẳng 1 : 2 1 0d x y+ + = và chân đường cao hạ từ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm trên đường thẳng 2 : 2 8 0d x y+ − = . Biết M[3;0] là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độ của các điểm B và C. 1.2. Viết phương trình đường thẳng D09: Cho tam giác ABC có M[2; 0] là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là − − = − − =7 2 3 0, 6 4 0x y x y . Viết phương trình đường thẳng AC. ĐS: AC x y:3 4 5 0− + = chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An: Cho tam giác ABC có trực tâm [ ]1;4H − , tâm đường tròn ngoại tiếp là [ ]3;0I − và trung điểm của cạnh BC là [ ]0; 3M − . Viết phương trình đường thẳng AB biết B có hoành độ dương. ĐS: :3 7 49 0AB x y+ − = chuyên Hà Nội - Amsterdam: Cho tam giác ABC và điểm [ ]0; 1M − . Phương trình đường phân giác trong của góc A và đường cao kẻ từ C lần lượt là 0; 2 3 0x y x y− = + + = . Đường thẳng AC đi qua M và AB = 2AM. Viết phương trình cạnh BC. ĐS: : 2 5 11 0BC x y+ + = Toán học & Tuổi trẻ - 2013: Cho tam giác ABC có C[5;4], đường thẳng : 2 11 0d x y− + = đi qua A và song song với BC, đường phân giác trong AD có phương trình 3 9 0x y+ − = . Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC. ĐS: + − = − + = − + =: 2 13 0, : 2 3 0, : 2 4 0AC x y BC x y AB x y //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 10. Tuổi trẻ - 2014: Cho tam giác ABC có A[-1;3], trọng tâm G[2;2]. Biết điểm B, C lần lượt là thuộc các đường thẳng : 3 3 0d x y+ − = và ': 1 0d x y− − = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A có hệ số góc dương sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ∆ là lớn nhất. ĐS: ∆ − + =: 3 6 0x y chuyên Nguyễn Đình Chiểu - Đồng Tháp - 2014: Cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH là 3 3.x = Phương trình đường phân giác trong góc ABC , ACB lần lượt là 3x y− , 3 6 3 0.x y+ − = Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A có tung độ dương. ĐS: : 3 18 0, : 0, : 3 0AC y x BC y AB y x+ − = = − = 2. Tam giác cân 2.1. Tìm tọa độ của điểm B03: Cho tam giác ABC có = ,AB AC = 90o BAC . Biết M[1; –1] là trung điểm cạnh BC và [ ]2/ 3; 0G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A[0; 2], B[4; 0], C[–2; –2] B09: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A[–1; 4] và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆: − − =4 0x y . Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. ĐS: B C 11 3 3 5 ; , ; 2 2 2 2 − hoặc B C 3 5 11 3 ; , ; 2 2 2 2 − A10: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A[6; 6]; đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình + − =4 0x y . Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E[1; –3] nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. ĐS: B[0; –4], C[–4; 0] hoặc B[–6; 2], C[2; –6] A05[dự bị]: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G 4 1 ; 3 3 , phương trình đường thẳng BC là x y2 4 0− − = và phương trình đường thẳng BG là x y7 4 8 0− − = .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A[0; 3], B[0; –2], C[4; 0] chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ: Cho tam giác ABC cân tại B, có : 3 2 3 0AB x y− − = . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I[0 ; 2]. Điểm B thuộc trục Ox. Tìm tọa độ điểm C. ĐS: [ ]3 1;1 3C − − Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An: Cho tam giác ABC cân tại A có : 2 2 0; : 2 1 0AB x y AC x y+ − = + + = , điểm M[1 ; 2] thuộc đoạn BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho .DB DC nhỏ nhất. ĐS: D[0 ; 3] Nguyễn Đức Mậu - Nghệ An: Cho tam giác ABC cân tại A, đỉnh B thuộc : 4 2 0d x y− − = , cạnh AC song song với d. Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình 3 0x y+ + = , điểm M[1 ; 1] nằm trên AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. ĐS: [ ] [ ] [ ]0; 3 , 2 / 3; 1/ 3 , 8 / 3; 11/ 3A B C− − − − chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2013: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của AB. Biết rằng 11 5 ; 3 3 I và 13 5 ; 3 3 E lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam giác ADC. Các điểm M[3;-1], N[-3;0] lần lượt thuộc các đường thẳng DC, AB. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết A có tung độ dương. ĐS: [ ] [ ] [ ]− −7;5 , 1;1 , 3; 3A B C //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 11. - 2013: Cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H[-3;2]. Gọi D, E là chân đường cao kẻ từ B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng : 3 3 0d x y− − = , điểm F[-2;3] thuộc đường thẳng DE và HD=2. Tìm tọa độ điểm A. ĐS: [ ]3;0A Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2014: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi N là trung điểm của AB. Gọi E và F lân lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Tìm tọa độ của đỉnh A biết rằng E[7;1], 11 13 ; 5 5 F và phương trình đường thẳng CN là 2 13 0.x y+ − = ĐS: [ ]7;9A 2.2. Viết phương trình đường thẳng B06[dự bị]: Cho tam giác ABC cân tại B, với A[1; –1], C[3; 5]. Điểm B nằm trên đường thẳng d x y: 2 0− = . Viết phương trình các đường thẳng AB, BC. ĐS: AB: x y23 24 0− − = , BC: x y19 13 8 0− + = Toán học & Tuổi trẻ: Cho hai đường thẳng 1 : 2 1 0d x y− + = và 2 : 2 7 0d x y+ − = . Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với 1 2;d d một tam giác cân có đáy thuộc đường thẳng đó. ĐS: 1 18 3 8 0; 5 x y S− + = = hoặc 2 32 3 6 0; 5 x y S+ − = = Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết : 2 1 0; : 4 3 0AB x y BC x y+ − = + + = . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC. ĐS: 31 22 9 0x y+ − = Toán học & Tuổi trẻ: Cho hai đường thẳng 1 2: 3 3 0; : 3 3 2 0d x y d x y− − = + − − = cắt nhau tại A. Lập phương trình đường thẳng d cắt 1 2;d d lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC đều có diện tích bằng 3 3 . 3. Tam giác vuông 3.1. Tìm tọa độ của điểm A02: Xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là − − =3 3 0x y , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. ĐS: G1 7 4 3 6 3 ; 3 3 + + , G2 4 3 1 6 2 3 ; 3 3 − − − − D04: Cho tam giác ABC có các đỉnh A[–1; 0], B[4; 0], C[0; m] với ≠ 0m . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. ĐS: m G m1; , 3 6 3 = ± B07: Cho điểm A[2; 2] và các đường thẳng: + − = + − =1 2: 2 0, : 8 0d x y d x y . Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. ĐS: B[–1; 3], C[3; 5] hoặc B[3; –1], C[5; 3] D04[dự bị]: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A[–1; 4], B[1; –4], đường thẳng BC đi qua điểm K 7 ;2 3 . Tìm toạ độ đỉnh C. ĐS: [ ]3;5C D07[dự bị]: Cho điểm A[2; 1]. Trên trục Ox, lấy điểm B có hoành độ Bx 0≥ , trên trục Oy, lấy điểm C có //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 12. 0≥ sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. ĐS: B[0; 0], C[0; 5] D07[dự bị]: Cho các điểm A[0; 1], B[2; –1] và các đường thẳng − + − + − =1 :[ 1] [ 2] 2 0d m x m y m , − + − + − =2 :[2 ] [ 1] 3 5 0d m x m y m Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P là giao điểm của d1 và d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất. ĐS: Chú ý: PA PB PA PB B2 2 2 2 [ ] 2[ ] 2A 16+ ≤ + = = . Do đó max[PA+PB]=4 khi P là trung điểm của cung AB. Khi đó P[2; 1] hay P[0; –1] ⇒ m = 1 hoặc m = 2. Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng : 4 3 4 0BC x y− − = . Các đỉnh A, B thuộc trục hoành và diện tích tam giác ABC bằng 6. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Toán học & Tuổi trẻ -2012: Cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc trục hoành và diện tích tam giác ABC bằng 6. Đường thẳng BC có phương trình là 4 3 4 0x y− − = . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. ĐS: − − 4 4 3; , 1; 3 3 G G chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: Cho [ ]1;2A − và đường thẳng : 2 3 0d x y− + = . Tìm trên d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC = 3BC. ĐS: 3 6 ; 5 5 C − và 13 16 ; 15 15 B − hoặc 1 4 ; 3 3 B − chuyên Hà Nội - Amsterdam: Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Đường thẳng : 7 31 0BC x y+ − = . Điểm 5 1; 2 N thuộc đường thẳng AC, điểm [ ]2; 3M − thuộc đường thẳng AB. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. ĐS: [ ] [ ] [ ]1;1 , 4;5 , 3;4A B C− − Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có I là trung điểm của cạnh BC. Gọi M là trung điểm của IB và N là điểm nằm trên đoạn thẳng IC sao cho NC=2NI. Biết rằng 11 ; 4 2 M − , phương trình đường thẳng AN là 2 0x y− − = và điểm A có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 3.2. Viết phương trình đường thẳng B10: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C[–4; 1], phân giác trong góc A có phương trình + − =5 0x y . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. ĐS: BC: x y3 4 16 0− + = ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 13. VỀ HÌNH CHỮ NHẬT 1. Tìm tọa độ của điểm B02: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 I ; 0 2 , phương trình đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. ĐS: A[–2; 0], B[2; 2], C[3; 0], D[–1; –2] D12: Cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là 3 0x y+ = và 4 0x y− + = . Đường thẳng BD đi qua điểm [ ]−1/ 3;1M . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]3;1 , 3; 1 , 1;3 , 1; 3A C D B− − − − A13: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng : 2 5 0d x y+ + = và [ ]4;8A − . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B, C biết rằng [ ]5; 4N − . ĐS: [ ] [ ]− − −1; 7 , 4; 7C B Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chữ nhật ABCD biết : 2 1 0; : 7 14 0AB x y BD x y− − = − + = . Đường chéo AC đi qua điểm M[2 ; 1]. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]1;0 , 7;3 , 6;5 , 0;2A B C D Đô Lương 4 - Nghệ An: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng : 3 0d x y− − = và 9 2Ix = , trung điểm của một cạnh là giao điểm của d và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1A B C D − Nguyễn Đức Mậu - Nghệ An: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, phương trình đường thẳng : 3 0AB x y− + = , điểm I[1 ; 2] là giao điểm của hai đường chéo. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]2;5 , 2;1 , 0; 1 , 4;3A B C D− − hoặc [ ] [ ] [ ] [ ]2;5 , 2;1 , 0; 1 , 4;3B A D C− − Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2012: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm 9 3 ; 2 2 I và trung điểm của cạnh AD là M[3;0]. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]−2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1A B C D Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2013: Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB, DA tiếp xúc với đường tròn [ ] [ ] [ ] 2 2 : 2 3 4C x y+ + − = , đường chéo AC cắt [C] tại các điểm 16 23 ; 5 5 − M và N thuộc trục Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm A có hoành độ âm, điểm D có hoành độ dương và diện tích tam giác AND bằng 10. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]− −4;5 , 4;0 , 6;0 , 6;5A B C D chuyên ĐHKHTN Hà Nội - 2013: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12. Tâm I của hình chữ nhật là giao điểm của hai đường thẳng 1 : 3 0d x y− − = và 2 : 6 0d x y+ − = . trung điểm của một cạnh là giao điểm của 1d với trục hoành. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6, đường chéo : 2 9 0AC x y+ − = . Điểm M[0;4] nằm trên cạnh BC, đường thẳng CD đi qua điểm N[2;8]. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh C có tung độ là một số nguyên. //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 14. [ ] [ ] [ ]−3;3 , 2;2 , 1;5 , 0;6A B C D chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh B, C thuộc trục tung. Đường chéo :3 4 16 0AC x y+ − = . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]4;1 , 0;1 , 0;4 , 4;4A B C D hoặc [ ] [ ] [ ] [ ]− − −4;7 , 0; 7 , 0;4 , 4;4A B C D chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48, đỉnh D[-3;2]. Đường phân giác của góc BAD có phương trình 7 0x y+ − = . Tìm tọa độ đỉnh B biết điểm A có hoành độ dương. ĐS: [ ]5;8B Hồng Quang - Hải Dương - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C[3;-1]. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, đường thẳng DM có phương trình 1 0y − = . Biết đỉnh A thuộc đường thẳng : 5 7 0d x y− + = và điểm D có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh A và D. ĐS: [ ] 2 ;5 , 2;1 5 A D − − Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có : 2 1 0AD x y+ − = , điểm I[-3;2] thuộc BD sao cho 2IB ID= − . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết 0Dx > và 2AD AB= . ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]5;11 , 11;8 , 5; 4 , 1; 1A B C D− − − − − Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của của MK. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết K[5;-1], : 2 3 0AC x y+ − = và 0Ay > . ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]1;1 , 3;1 , 3; 3 , 1; 3A B C D− − Can Lộc - Hà Tĩnh - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi N là trung điểm của cạnh BC, M là điểm thuộc cạnh CD sao cho DC=4DM. Biết tọa độ M[1;2], phương trình đường thẳng AN là 4 5 0.x y− + = Tìm tọa độ đỉnh A biết 0,5Ax < − . ĐS: [ ]1;1A − Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có B[1;1]. Trọng tâm của tam giác ABC nằm trên đường thẳng : 3 2 0.d x y− − = Điểm N[4;6] là trung điểm của cạnh CD. Tìm tọa độ đỉnh A. ĐS: [ ] 9 57 1;3 , ; 5 5 A A − Nguoi thay.vn - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có hai điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD sao cho EB=2EA, FA=3FD. Biết rằng F[2;1], phương trình đường thẳng CE là 3 9 0x y− − = , tam giác CEF vuông tại F và điểm C có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Nguoi thay.vn - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 30 và đỉnh B nằm trên đường thẳng : 2 2 0d x y− − = . Trung điểm của AB là M[4;3] và điểm N[1;-3] nằm trên đường thẳng CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm B có tung độ dương. Nguoi thay.vn - 2014: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 30 và hai điểm M[1;4], N[-4;-1] lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, AD. Phương trình đường chéo AC là 7 4 13 0.x y+ − = Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A và D đều có hoành độ âm. 2. Viết phương trình đường thẳng A09: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I[6; 2] là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M[1; 5] thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: + − =5 0x y . Viết phương trình đường thẳng AB. ĐS: y x y5 0, 4 19 0− = − + = //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 15. Tuổi trẻ: Cho hình chữ nhật, hai đường chéo lần lượt có phương trình là + − =1 : 7 4 0d x y − + =2; : 2 0d x y . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của hình chữ nhật biết nó đi qua điểm [ ]3;5M − . ĐS: 3 12 0x y− − = hoặc 3 14 0x y− + = Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6, : 2 12 0BD x y+ − = . Đường thẳng AB đi qua điểm M[5 ; 1], đường thẳng BC đi qua N[9 ; 3]. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật, biết điểm B có hoành độ lớn hơn 5. ĐS: : 6 0; : 6 0; : 0; : 8 0AB x y BC x y AD x y CD x y+ − = − − = − = + − = hoặc : 6 0; : 6 0; : 12 0; : 4 0AB x y BC x y AD x y CD x y+ − = − − = − − = + − = ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 16. VỀ HÌNH THOI 1. Tìm tọa độ của điểm Lương Tài 2 - Bắc Ninh: Cho ABCD là hình thoi với AC = 2BD, tâm I[2 ; 1]. Điểm [ ]0;1/3M thuộc đường thẳng AB, điểm N[0 ; 7] thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương. ĐS: [ ]1; 1B − chuyên Quốc Học Huế: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD. Biết đường thẳng AC có phương trình 2 1 0x y− − = ; đỉnh [ ]3;5A và điểm B thuộc đường thẳng + − =: 1 0d x y . Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình thoi ABCD. ĐS: [ ] [ ] [ ]1;2 , 3;0 , 1; 3B D C− − − hoặc [ ] 13 4 13 31 3; 2 , ; , ; 5 5 5 5 B D C − − − − Thuận Thành 3 - Bắc Ninh - 2014: Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh BD là 0x y− = , đường thẳng AB đi qua điểm [ ]1; 3P , đường thẳng CD đi qua [ ]2; 2 3Q − − . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết AB AC= và điểm B có hoành độ lớn hơn 1. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]− − − − − − − −1 3; 3 1 , 2;2 , 3 1; 1 3 , 4; 4A B C D Lạng Giang 1 - Bắc Giang: Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AC là 7 31 0x y+ − = , hai đỉnh B, D lần lượt thuộc các đường thẳng + − =1 : 8 0d x y và − + =2 : 2 3 0d x y . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]− −10;3 , 0;8 , 11;6 , 1;1A B C D GSTT.VN - 2013: Cho hình thoi ABCD biết : 3 1 0; : 5 0AB x y BD x y+ + = − + = . Đường thẳng AD đi qua điểm M[1;2]. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi. ĐS: [ ] [ ]−4;1 , 0;5B D Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2014: Cho hình thoi ABCD có : 1 0AC x y+ − = . Điểm E[9;4] nằm trên đường thẳng AB, điểm F[-2;-5] nằm trên đường thẳng CD và 2 2AC = . Xác định tọa độ A, B, C, D biết điểm C có hoành độ âm. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]0;1 , 3;0 , 2;3 , 1;4A B C D− − 2. Viết phương trình đường thẳng • Cho hình thoi ABCD có tâm I[3;3] và AC = 2BD. Điểm 4 2; 3 M thuộc đường thẳng AB, điểm 13 3; 3 N thuộc đường thẳng CD. Viết phương trình đường thẳng BD biết 3Bx < . Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2014: Cho hình thoi ABCD có 60o ABC = , đường tròn [C] có tâm I bán kính R=2 tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình thoi [tiếp xúc với AB và CD lần lượt tại M và N, tung độ của I dương]. Biết phương trình đường thẳng : 3 1 0MN x y+ − = , đường thẳng AD không vuông góc với trục tung và đi qua điểm P[3;0]. Viết phương trình đường thẳng AB, AD. ĐS: : 3 4 5 3 0; : 3 3 3 0AB x y AD x y− + − = + − = ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 17. VỀ HÌNH VUÔNG 1. Tìm tọa độ của điểm A05: Cho hai đường thẳng − =1 : 0d x y và + − =2 : 2 1 0d x y . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. ĐS: A[1; 1], B[0; 0], C[1; –1], D[2; 0] hoặc A[1; 1], B[2; 0], C[1; –1], D[0; 0] A12: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử 11 1 ; 2 2 M và đường thẳng : 2 3 0AN x y− − = . Tìm tọa độ điểm A. ĐS: [ ] [ ]1; 1 , 4;5A A− Toán học & Tuổi trẻ: Cho ba đường thẳng 1 2: 3 4 4 0; : 6 0d x y d x y− − = + − = và 3 : 3 0d x − = . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A, C thuộc 3d , B thuộc 1d và C thuộc 2d . ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]3;3 , 2;2 , 1;3 , 4;2A B C D hoặc [ ] [ ] [ ] [ ]1;3 , 2;2 , 3;3 , 4;2A B C D chuyên Vĩnh Phúc: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường thẳng : 2 0DM x y− − = và [ ]3; 3C − . Biết đỉnh A thuộc đường thẳng : 3 2 0d x y+ − = . Tìm tọa độ các điểm A, B, D. ĐS: [ ] [ ] [ ]1;5 , 3; 1 , 5;3A B D− − − Tứ Kỳ - Hải Dương: Cho hình vuông ABCD có [ ]2;6A − , đỉnh B thuộc : 2 6 0d x y− + = . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh BC, CD sao cho BM = CN. Biết AM cắt BN tại 2 14 ; 5 5 I . Xác định tọa độ điểm C. ĐS: C[0 ; 0] hoặc C[4 ; 8] Đô Lương 4 - Nghệ An: Cho hình vuông ABCD có tâm 3 1 ; 2 2 I . Các đường thẳng AB, CD lần lượt đi qua [ ]4; 1M − − , [ ]2; 4N − − . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết điểm B có hoành độ âm. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]2;3 , 1;1 , 1; 2 , 4;0A B C D− − chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Cho hình vuông ABCD có đỉnh C[1 ; 2]. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng DM có phương trình 2 7 0x y+ − = . Đỉnh A thuộc đường thẳng : 5 0d x y+ − = . Tìm tọa độ A, B, D. ĐS: [ ] 1 17 1 15 1;6 , ; , ; 2 4 2 4 A B D − − Đặng Thúc Hứa - Nghệ An: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc : 4 0d x y− − = . Đường thẳng BC, CD lần lượt đi qua M[4 ; 0] và N[0 ; 2]. Biết tam giác AMN cân tại A, xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]1; 5 , 2; 2 , 1; 1 , 2; 4A B C D− − − − − − hoặc [ ] [ ] [ ] [ ]1; 5 , 5; 3 , 3;3 , 3;1A B C D− − − − Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc: Cho [ ] [ ] [ ] 2 2 : 2 3 10C x y− + − = nội tiếp hình vuông ABCD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M[-3;-2] và điểm A có hoành độ dương. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]− −6;1 , 0; 1 , 2;5 , 4;7A B C D //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 18. Huế - 2014: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Biết rằng 1 ;2 2 M − và đường thẳng BN có phương trình 2 9 34 0x y+ − = . Tìm tọa độ các điểm A và B biết rằng điểm B có hoành độ âm. ĐS: [ ] [ ]−1;4 , 0;0B A chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2014: Cho hình vuông ABCD có A[2;-4], đỉnh C thuộc đường thẳng :3 2 0d x y+ + = . Đường thẳng : 2 0DM x y− − = với M là trung điểm của AB. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông, biết điểm C có hoành độ âm. ĐS: [ ] [ ] [ ]− − −4; 2 , 2;4 , 4;2B C D Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2014: Cho hình vuông ABCD có : 3 0BD x y+ − = , điểm M[-1;2] thuộc đường thẳng AB, điểm N[2;-2] thuộc đường thẳng AD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết 0Bx > . ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]2;2 , 1;2 , 1;1 , 2;1A B C D Tĩnh Gia 1 - Thanh Hóa - 2014: Cho hình vuông ABCD có D[5;1]. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho AC=4AN. Tìm tọa độ điểm C biết phương trình đường thẳng MN là 3 4 0x y− − = và M có tung độ dương. ĐS: C[5;5] Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2014: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AD, 11 2 ; 5 5 H − là hình chiếu vuông góc của B lên CE và 3 6 ; 5 5 H − là trung điểm của đoạn BH. Xác định tọa độ của các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm A có hoành độ âm. ĐS: [ ] [ ] [ ] [ ]1;2 , 1; 2 , 3; 2 , 3;2A B C D− − − − chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2014: Cho hình vuông ABCD có A[1;1], AB=4. Gọi M là trung điểm cạnh BC, điểm 9 3 ; 5 5 H − là hình chiếu vuông góc của D lên AM. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết 2.Bx < ĐS: [ ] [ ] [ ]1; 3 , 5; 3 , 5;1B C D− − Nguoithay.vn - 2014: Cho hình vuông ABCD có M[2;2] là trung điểm của cạnh AB, đường thẳng đi qua đỉnh C và trung điểm của cạnh AD có phương trình là 7 46 0.x y+ − = Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm C tung độ âm. 2. Viết phương trình đường thẳng • Cho hình vuông ABCD biết các điểm [ ] [ ] [ ] [ ]2;1 , 4; 2 , 2;0 , 1;2M N P Q− lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD. Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2014: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng : 4 0d x y− − = , đường thẳng BC đi qua điểm M[4;0], đường thẳng CD đi qua điểm N[0;2] và tam giác AMN cân tại A. Viết phương trình đường thẳng BC. ĐS: : 3 4 0BC x y− − = hoặc : 3 12 0BC x y+ − = ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 19. VỀ HÌNH THANG, HÌNH BÌNH HÀNH 1. Tìm tọa độ của điểm B13: Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình 2 6 0x y+ − = và tam giác ABD có trực tâm [ ]3;2H − . Tìm tọa độ các đỉnh C và D. ĐS: [ ]−1;6C và [ ]4;1D hoặc [ ]8;7D − chuyên Vĩnh Phúc: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết [ ] [ ]2;0 , 3;0A B và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng :d y x= . Tìm tọa độ của C và D. ĐS: [ ] [ ]3;4 , 2;4C D hoặc [ ] [ ]5; 4 , 6; 4C D− − − − Yển Khê - Phú Thọ: Cho hình bình hành ABCD có A[1 ; 2], : 2 1 0BD x y+ + = . Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng AD sao cho A nằm giữa M và D, AM = AC. Đường thẳng : 1 0MC x y+ − = . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành. ĐS: [ ] [ ] [ ]1/ 2; 2 , 7;8 , 13/ 2;12B C D− − − GSTT.VN - 2013: Cho hình bình hành ABCD có A[1;5]. Điểm H[1;3] là hình chiếu vuông góc của B trên AC và đường trung trực của BC có phương trình 4 5 0x y+ − = . Tìm tọa độ các điểm B, C, D. ĐS: [ ] [ ] [ ]− − − − −2; 6 , 4; 2 , 1; 3B C D chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2013: cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD, biết B[3;3], C[5;-3]. Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng : 2 3 0d x y+ − = và CI = 2BI. Xác định tọa độ của điểm A và điểm D biết tam giác ACB có diện tích bằng 12, 0; 0A Ix x< > . ĐS: [ ] [ ]− − −1;3 , 3; 3A D Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có AB AD CD= < [ ], 1;2B , đường thẳng BD có phương trình 2 0y − = . Biết đường thẳng :7 25 0d x y− − = cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M, N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC . Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ dương. Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2014: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A[1;1] và B. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2AM, điểm N[1;4] là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng CD. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết CM vuông góc với DM, điểm B thuộc đường thẳng : 2 0d x y+ − = . ĐS: [ ] [ ] [ ]2;4 , 1;5 , 3;3B C D− − Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2013: Cho hình thang cân ABCD có AB=2CD. Phương trình các đường thẳng AC là 4 0x y+ − = và đường thẳng BD là 2 0x y− − = . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành biết hoành độ của A và B dương và diện tích của hình bình hành bằng 36. ĐS: A[7; –3], B[7; 5], C[1; 3], D[1; –1] chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ - 2014: Cho hình bình hành ABCD có A[4;0], phương trình đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B của tam giác ABC là 7 4 5 0.x y+ − = Phương trình đường trung trực của đoạn BC là 2 8 5 0.x y+ − = Tìm tọa độ các điểm B, C, D. ĐS: [ ] [ ] [ ]1; 3 , 2; 1 , 3; 4B C D− − − − − 2. Viết phương trình đường thẳng Đào Duy Từ - Thanh Hóa: Cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 18, : 2 0CD x y− + = . Hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau và cắt nhau tại I[3 ; 1]. Viết phương trình đường thẳng BC, biết C có hoàng độ âm. ĐS: : 2 1 0BC x y+ − = //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 20. - Huế - 2013: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và B, có diện tích bằng 50, đỉnh C[2;-5], AD = 3BC. Biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm 1 ;0 2 M − , đường thẳng AD đi qua N[-3;5]. Viết phương trình đường thẳng AB biết đường thẳng AB không song song với các trục tọa độ. ĐS: − + =: 4 3 2 0AB x y hoặc + + =: 6 8 3 0AB x y ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 21. VỀ ĐƯỜNG TRÒN 1. Viết phương trình đường tròn D03: Cho đường tròn [C]: − + − =2 2 [ 1] [ 2] 4x y và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn [C′] đối xứng với đường tròn [C] qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của [C] và [C′]. ĐS: C x y2 2 [ ]:[ 3] 4′ − + = , A[1; 0], B[3; 2] B04: Cho hai điểm A[2; 0], B[6; 4]. Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của [C] đến điểm B bằng 5. ĐS: C x y C x y2 2 2 2 1 2[ ]:[ 2] [ 1] 1, [ ]:[ 2] [ 7] 49− + − = − + − = A07: Cho tam giác ABC có A[0; 2], B[–2; –2], C[4; –2]. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. ĐS: H[1; 1], x y x y2 2 2 0+ − + − = D07: Cho đường tròn − + + =2 2 [ ]:[ 1] [ 2] 9C x y và đường thẳng − + =:3 4 0d x y m . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới [C] [A, B là các tiếp điểm] sao cho tam giác PAB đều. ĐS: m = 19, m = –41 A09: Cho đường tròn + + + + =2 2 [ ]: 4 4 6 0C x y x y và đường thẳng ∆: + − + =2 3 0x my m , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn [C]. Tìm m để ∆ cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất. ĐS: m= 0 hoặc = 8/15m . A10: Cho hai đường thẳng + =1 : 3 0d x y và − =2 : 3 0d x y . Gọi [T] là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của [T], biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. ĐS: T x y 2 2 1 3 [ ]: 1 22 3 + + + = B10: Cho điểm [ ]2; 3A và elip [E]: + = 2 2 1 3 2 x y . Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của [E] [F1 có hoành độ âm]; M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với [E]; N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF2. ĐS: x y 2 2 2 3 4 [ 1] 3 3 − + − = B12: Cho hai đường tròn 2 2 1[ ] : 4C x y+ = và 2 2 2[ ] : 12 18 0C x y x+ − + = và đường thẳng : 4 0d x y− − = . Viết phương trình đường tròn [C] có tâm thuộc [ ]2C , tiếp xúc với d và cắt [ ]1C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB vuông góc với d. ĐS: 2 2 [ ] : [ 2] [ 2] 8C x y− + − = D12: Cho đường thẳng : 2 3 0d x y− + = . Viết phương trình đường tròn [C] có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD =2. ĐS: 2 2 [ ] : [ 3] [ 3] 10C x y+ + + = A13: Cho đường thẳng ∆ − =: 0x y . Đường tròn [C] có bán kính 10R = cắt ∆ tại hai điểm A và B sao //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 22. = . Tiếp tuyến của [C] tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn [C]. ĐS: − + − =2 2 [ ] : [ 5] [ 3] 10C x y B09: Cho đường tròn [C]: − + =2 2 4 [ 2] 5 x y và hai đường thẳng − = − =1 2: 0, : 7 0x y x y∆ ∆ . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn [C1]; biết đường tròn [C1] tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2 và tâm K ∈ [C] ĐS: K R 8 4 2 5 ; , 5 5 5 = D02[dự bị]: Cho hai đường tròn: C x y x C x y x y2 2 2 2 1 2[ ]: 10 0, [ ]: 4 2 20 0+ − = + + − − = . Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của [C1], [C2] và có tâm nằm trên đường thẳng d: x y6 6 0+ − = . ĐS: x y2 2 [ 12] [ 1] 125− + + = B03[dự bị]: Cho đường thẳng d x y: 7 10 0− + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆: x y2 0+ = và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A[4; 2]. ĐS: x y2 2 [ 6] [ 12] 200− + + = A04[dự bị]: Cho điểm A[–1; 1] và đường thẳng d x y: 1 2 0− + − = . Viết phương trình đường tròn đi qua A, qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d. ĐS: 2 2 [ 1] 1x y+ − = hoặc 2 2 [ 1] 1x y+ + = A05[dự bị]: Cho đường tròn [C]: x y x y2 2 12 4 36 0+ − − + = . Viết phương trình đường tròn [C1] tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn [C]. ĐS: C x y C x y C x y2 2 2 2 2 2 1 2 3[ ]:[ 2] [ 2] 4, [ ]:[ 18] [ 18] 18, [ ]:[ 6] [ 6] 36− + − = − + − = − + + = D05[dự bị]: Cho 2 điểm A[0;5], B[2; 3] . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10 . ĐS: x y x y2 2 2 2 [ 1] [ 2] 10, [ 3] [ 6] 10+ + − = − + − = D06[dự bị]: Cho điểm A[–1; 1] và đường thẳng d x y: 1 2 0− + − = . Viết phương trình đường tròn [C] đi qua điểm A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d. ĐS: C x y y C x y x2 2 2 2 1 2[ ]: 2 0, [ ]: 2 0+ − = + + = B07[dự bị]: Cho đường tròn [C] có phương trình x y x y2 2 2 4 2 0+ − + + = . Viết phương trình đường tròn [C′] có tâm M[5; 1] và [C′] cắt [C] tại các điểm A, B sao cho AB 3= . ĐS: C x y C x y' 2 2 ' 2 2 1 2[ ]:[ 5] [ 1] 13, [ ]:[ 5] [ 1] 43− + − = − + − = . chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: Cho tam giác ABC vuông cân tại A[1; 2]. Viết phương trình đường tròn [T] ngoại tiếp tam giác ABC biết tiếp tuyến của [T] tại B là đường thẳng : 1 0d x y− − = . ĐS: [ ] [ ]22 : 1 2T x y+ − = hoặc [ ] [ ] [ ]2 2 : 2 3 2T x y− + − = chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Cho điểm M[2 ; 1] và đường thẳng : 1 0d x y− + = . Viết phương trình đường tròn đi qua M và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích bằng 2. ĐS: [ ] [ ]2 2 1 2 8x y− + − = Lạng Giang 2 -Bắc Giang: Cho [ ] 2 2 : 4 3 4 0C x y x+ + − = . Tia Oy cắt [C] tại điểm A. Lập phương trình đường tròn [C’] có bán kính bằng 2 và tiếp xúc ngoài với [C] tại A. ĐS: [ ] [ ] [ ] 2 2 ' : 3 3 4C x y− + − = //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 23. - Bắc Ninh: Cho 1 2: 2 6 0; : 2 0d x y d x y+ − = + = và 3 : 3 2 0d x y− − = . Viết phương trình đường tròn [C] có tâm thuộc 3d , cắt 1d tại A và B, 2d tại C và D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. ĐS: [ ] [ ] [ ]2 2 : 1 1 18/ 5C x y− + − = ĐH Vinh: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 2 4 20 0C x y x y+ + − − = và điểm [ ]5; 6A − . Từ A vẽ tác tiếp tuyến AB, AC của đường tròn [C] với B, C là các tiếp điểm. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. ĐS: [ ] [ ]2 2 25 2 2 4 x y− + + = Toán học & Tuổi trẻ: Viết phương trình đường tròn có bán kính bằng 2, có tâm I nằm trên đường thẳng d1 : 3 0x y+ − = và đường tròn đó cắt đường thẳng 2 : 3 4 6 0d x y+ − = tại A, B sao cho o 120AIB = . Toán học & Tuổi trẻ: Cho điểm [ ]2; 1M − và đường tròn 2 2 [ ] : 9C x y+ = . Viết phương trình đường tròn [ ]1C có bán kính bằng 4 và cắt [C] theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. ĐS: [ ] 2 2 1 4 3 2 3 : 2 1 16 5 5 C x y − − + + + = ; [ ] 2 2 1 4 3 2 3 : 2 1 16 5 5 C x y − + + + − = Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC có A[1 ; 0], đường cao kẻ từ B và C lần lượt có phương trình 2 1 0x y− + = và 3 1 0x y+ − = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS: 2 2 36 10 43 [ ] : 0 7 7 7 C x y x y+ + − − = Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2013: Cho tam giác ABC vuông cân tại A[1;2]. Viết phương trình đường tròn [C] ngoại tiếp tam giác ABC biết đường thẳng : 1 0d x y− − = tiếp xúc với đường tròn [C] tại điểm B. ĐS: [ ] [ ] [ ]− + − = 2 2 : 2 3 2C x y hoặc [ ] [ ]+ − = 22 : 1 2C x y GSTT.VN - 2013: Cho A[1;5] và + − + =2 2 [ ] : 2 6 0C x y x y . Viết phương trình đường tròn [C'] có tâm nằm trên : 2 0d x y+ + = , đi qua A và cắt [C] tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho 2 2MN = . ĐS: [ ] + + − = 2 2 23 15 377 : 4 4 8 C x y hoặc [ ] + + + = 2 2 5 3 305 : 4 4 8 C x y Hùng Vương - Bình Phước - 2014: Cho hình vuông ABCD, A[-1;2]. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và DC, E là giao điểm của BN với CM . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết : 2 8 0BN x y+ − = và 2Bx > . ĐS: [ ] [ ] [ ]− + − = 2 2 : 1 3 5C x y Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho hai điểm A[1;2], B[3;4] và đường thẳng : 3 0d y − = . Viết phương trình đường tròn [C] đi qua hai điểm A, B và cắt d tại hai điểm phân biệt M, N sao cho o 60MAN = . ĐS: [ ] [ ] [ ]2 2 : 3 2 4C x y− + − = Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho điểm A[1;2] và đường tròn [ ] + + − + =2 2 : 2 4 1 0C x y x y . Viết phương trình đường tròn [C'] có tâm A và cắt [C] tại hai điểm phân biệt M và N sao cho diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất. ĐS: [ ] [ ] [ ]2 2 ' : 1 2 12C x y− + − = Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho điểm A[-1;2] và đường thẳng :3 4 7 0d x y− + = . Viết phương trình đường tròn [C] có bán kính R = 1, đi qua A và cắt d theo dây cung BC sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 / 5. //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 24. [ ] [ ]+ + − = 2 2 : 1 1 1C x y hoặc [ ] + + − = 2 2 1 43 : 1 25 25 C x y Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho hai đường thẳng 1 2: 1 0; : 1 0d x y d x y+ − = − + = . Lập phương trình đường tròn [C] cắt d1 tại A và d2 lần lượt tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC là tam giác đều có diện tích bằng 24 3 . ĐS: [ ] [ ] [ ]− + + = 2 2 : 2 1 32C x y hoặc [ ] [ ] [ ]+ + − = 2 2 : 2 3 32C x y Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho [ ] 1 3 1 1 3 4 ; , ; , ; , 2;0 . 2 2 5 52 2 A B C D − Viết phương trình đường tròn [T] có tâm là điểm D và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo một dây cung có độ dài bằng 2. chuyên Trần Đại Nghĩa - HCM - 2014: Cho hai đường thẳng 1 2: 4 3 8 0; : 4 3 2 0− + = + + =d x y d x y và đường tròn [ ] 2 2 : 20 2 20 0.C x y x y+ − − + = Viết phương trình đường tròn [C'] tiếp xúc với [C] và đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d1 và d2. ĐS: [ ] [ ]22 : 1 1C x y+ − = hoặc [ ] [ ] [ ]2 2 : 100 1 6561C x y− + − = Tĩnh Gia 1 - Thanh Hóa - 2014: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I[1;2], bán kính R=5. Chân đường cao kẻ từ B và C lân lượt là H[3;3] và K[0;-1]. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết A có tung độ dương. ĐS: [ ] 2 2 7 1 25 : 2 2 2 C x y − + + = chuyên ĐH Vinh - 2014: Cho hai điểm A[1;2], B[4;1] và đường thẳng : 3 4 5 0.x y∆ − + = Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và cắt ∆ tại C, D sao cho CD=6. ĐS: [ ] [ ] [ ]2 2 : 1 3 25C x y− + + = ; [ ] 2 2 43 51 1525 : 13 13 169 C x y − + − = 2. Tìm tọa độ của điểm D06: Cho đường tròn [C]: + − − + =2 2 2 2 1 0x y x y và đường thẳng − + =: 3 0d x y . Tìm toạ độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn [C], tiếp xúc ngoài với đường tròn [C]. ĐS: M[1; 4], M[–2; 1] A11: Cho đường tròn 2 2 [ ] : 4 2 0C x y x y+ − − = và đường thẳng : 2 0x y∆ + + = . Gọi I là tâm của [C], M là điểm thuộc ∆ . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến [C] [A và B là các tiếp điểm]. Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. ĐS: [ ] [ ]2; 4 , 3;1M M− − D13: Cho đường tròn − + − =2 2 [ ]: [ 1] [ 1] 4C x y và đường thẳng ∆ − =: 3 0y . tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của [C], các đỉnh N và P thuộc ∆ , đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc [C]. Tìm tọa độ điểm P. ĐS: [ ] [ ]−1;3 , 3;3P P A02[dự bị]: Cho đường thẳng d x y: 1 0− + = và đường tròn [C]: x y x y2 2 2 4 0+ + − = . Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với [C] tại A và B sao cho AMB 0 60= . ĐS: M M1 2[3;4], [ 3; 2]− − //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 25. đường tròn [C] có phương trình: C x y x y2 2 [ ]: 4 6 12 0+ − − − = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d có phương trình: x y2 3 0− + = sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn [C]. ĐS: M M 24 63 [ 4; 5], ; 5 5 − − B07[dự bị]: Cho đường tròn [C]: x y x y2 2 8 6 21 0+ − + + = và đường thẳng d x y: 1 0+ − = . Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn [C], biết A nằm trên d. ĐS: A[2; –1], B[2; –5], C[6; –5], D[6; –1] hoặc A[6; –5], B[6; –1], C[2; –1], D[2; –5] Toán học & Tuổi trẻ: Cho đường tròn 2 2 3 [ ] : 2 C x y+ = và parabol [ ] 2 :P y x= . Tìm trên [P] các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến [C] và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 60o . ĐS: [ ]2; 2M hoặc [ ]2; 2M − Toán học & Tuổi trẻ: Cho : 3 4 5 0d x y− + = và 2 2 [ ] : 2 6 9 0C x y x y+ + − + = . Tìm tọa độ điểm M thuộc [C] và điểm N thuộc d sao cho MN nhỏ nhất. ĐS: 2 11 1 7 ; , ; 5 5 5 5 M N − Toán học & Tuổi trẻ: Cho đường tròn 2 2 [ ] : [ 1] [ 3] 1C x y+ + − = và điểm 1 7 ; 5 5 M . Tìm trên [C] những điểm N sao cho MN nhỏ nhất. ĐS: [ ]8/ 5;19/ 5N − Trung Giã - Hà Nội: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ngoại tiếp đường tròn [ ] 2 2 : 2C x y+ = . Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC biết A thuộc tia Ox. ĐS: [ ] [ ] [ ]2;0 , 2,2 2 , 2, 2 2A B C− + − − − chuyên Vĩnh Phúc: Cho [ ] [ ]2 2 : 4 4C x y− + = , điểm E[4 ; 1]. Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến [C] với A, B là tiếp điểm và đường thẳng AB đi qua E. ĐS: [ ]0;4M Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2013: Cho [ ] + =2 2 : 25C x y , điểm M[1;-2]. Đường tròn [C'] có bán kính bằng 2 10 . Tìm tọa độ tâm của [C'] sao cho [C'] cắt [C] theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. ĐS: [ ]−1;2 hoặc [3;6] chuyên Vĩnh Phúc - 2013: Cho [ ] + − − − =2 2 : 2 4 4 0C x y x y . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác đều ABC ngoại tiếp [C] biết A thuộc đường thẳng : 1d y = − và 0Ax > . ĐS: A[6; –1], B[-4; -1], C[1; 8] chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2013: Cho điểm A[2;0] và [ ] [ ]− + + = 2 2 [ ] : 1 2 5C x y . Tìm tọa độ hai điểm B, C thuộc [C] sao cho tam giác ABC vuông tại B và có diện tích bằng 4. ĐS: [ ] [ ] 16 8 6 12 2; 4 , ; , 0;0 , ; 5 5 5 5 B B B B − − − − , C[0; -4] chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - 2013: Cho [ ]+ − = 22 [ ] : 1 1C x y . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng : 3 0d y − = sao cho các tiếp tuyến của [C] kẻ từ M cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB bằng 4. ĐS: M[2;3] hoặc M[-2;3] //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 26. Phú Yên: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp [ ]2 2 [ ] : 4 10C x y− + = , A[1 ; 1], trọng tâm 11 1 ; 3 3 G − . Tìm tọa độ của B và C [ ]0Cy > . ĐS: [ ] [ ]3; 3 , 7;1B C− Đào Duy Từ - Thanh Hóa: Cho [ ] 2 2 : 2 24 0C x y x+ − − = có tâm I ; đường thẳng : 3 4 28 0d x y+ − = . Chứng minh d tiếp xúc với [C]. Tìm tọa độ điểm A trên [C], điểm B và C trên d sao cho tam giác ABC nhận I làm trực tâm và trung điểm cạnh AC thuộc [C], biết điểm C có hoành độ dương. ĐS: [ ] [ ] [ ]2; 4 , 0;7 , 12; 2A B C− − − D09: Cho đường tròn − + =2 2 [ ]: [ 1] 1C x y . Gọi I là tâm của [C]. Xác định toạ độ điểm M thuộc [C] sao cho = o O 30IM . ĐS: [ ]±3/ 2; 3 / 2M ĐHSP Hà Nội - 2014: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 2 6 15 0C x y x y+ − − − = ngoại tiếp tam giác ABC có A[4;7]. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết H[4;5] là trực tâm của tam giác ABC. ĐS: [ ] [ ]− +1 2 6;2 , 1 2 6;2B C hoặc [ ] [ ]− +1 2 6;2 , 1 2 6;2C B Hà Nội -Amsterdam - 2014: Cho tam giác ABC có đỉnh A[1;5]. Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt là I[2;2] và 5 ;3 2 K . Tìm tọa độ các đỉnh B và C. ĐS: [ ] [ ]1;1 , 4;1B C hoặc [ ] [ ]1;1 , 4;1C B Ngô Gia Tự - Vính Phúc - 2014: Cho tam giác ABC có trung tuyến và phân giác trong đỉnh B có phương trình lần lượt là 2 3 0, 2 0x y x y+ − = + − = . Điểm M[2;1] nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB; đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 5 . Biết đỉnh A có hoành độ dương, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . ĐS: [ ] [ ] [ ]−1;1 , 3;1 , 1; 3B A C Đức Thọ - Hà Tĩnh - 2014: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 9C x y+ = , đường thẳng : 3 3y x∆ = − + và điểm A[3;0]. Gọi M là một điểm di động trên [C] và B là điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABM, biết G thuộc ∆ và G có tung độ dương. ĐS: [ ]3; 3G Toán học & Tuổi trẻ - 2013: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 4 2 4 0C x y x y+ − − − = có tâm là I và đường thẳng : 1 0d x y− + = . Tìm tọa độ điểm M thuộc d để từ M có thể kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với [C] tại A, B sao cho tứ giác IMAB là hình vuông. ĐS: [ ]1 2 2;2 2 2M − − hoặc [ ]1 2 2;2 2 2M + + Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C. Đỉnh A[3;-7], trung điểm của BC là điểm M[-2;3] và đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có phương trình [ ] [ ] [ ] 2 2 : 3 4 9C x y− + + = . Xác định tọa độ các điểm B và C. Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho [ ] [ ] [ ] 2 2 : 1 2 5C x y− + − = là phương trình đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. Đường thẳng BC đi qua điểm 7 ;2 2 M . Xác định tọa độ điểm A. //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 27. Tuổi trẻ - 2014: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 2 2 2 0C x y x y+ − + − = và + + =: 2 10 0d x y . Từ một điểm M bất kỳ trên d kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến [C] [A, B là các tiếp điểm]. Xác định tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất. ĐS: 14 58 ; 3 3 M − Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho đường tròn [ ] [ ] [ ] 2 2 : 1 2 2C x y− + + = và hai điểm A[3;5] và B[5;3]. Xác định tọa độ điểm M trên [C] sao cho diện tích tam giác MAB có giá trị lớn nhất. ĐS: [ ]0; 3M − Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 5+ =C x y và đường thẳng : 3 2 0.x y∆ − − = Tìm tọa độ điểm A, B trên ∆ để tam giác OAB có 10 5 OA = và có cạnh OB cắt đường tròn [C] tại M sao cho MA=MB [với O là gốc tọa độ]. ĐS: [ ] 4 22 2;4 , ; 5 5 − − B B Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho tam giác ABC có trực tâm H[5;5], phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là 8 0.x y+ − = Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua hai điểm M[7;3] và N[4;2]. Tính diện tích tam giác ABC. Phan Chu Trinh - Đà Nẵng - 2014: Cho đường thẳng − + =: 3 0.d x y Qua điểm A thuộc d kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn [ ] [ ] [ ] 2 2 : 2 1 4− + − =C x y tại B và C. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của điểm A, biết AG=2. ĐS: [ ] [ ]2;5 , 2;1−A A chuyên ĐH Vinh - 2014: Cho tam giác ABC có đỉnh A[3;3], tâm đường tròn ngoại tiếp I[2;1], phương trình đường phân giác trong góc BAC là 0x y− = . Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng 8 5 5 BC = và góc BAC nhọn. ĐS: [ ] 8 6 0;2 , ; 5 5 − B C hoặc ngược lại chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2014: Cho tam giác ABC có trực tâm H[-1;3], tâm đường tròn ngoại tiếp I[3;-3] và chân đường cao kẻ từ đỉnh A là K[-1;1]. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: [ ] [ ] [ ]1; 5 , 5;1 , 1;1A B C− − hoặc [ ] [ ] [ ]1; 5 , 1;1 , 5;1A B C− − chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ - 2014: Cho tam giác ABC vuông tại A[-1;1] và có tâm đường tròn nội tiếp là I[1;5]. Đường thẳng vuông góc với IA tại A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC tại điểm thứ hai là D[-7;4]. Tìm tọa độ điểm B. ĐS: [ ]17;7B Hà Huy Tập - Nghệ An - 2014: Cho đường tròn [ ] + =2 2 : 25C x y ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có tọa độ các chân đường cao hạ từ B, C lần lượt là M[-1;-3], N[2;-3]. Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng điểm A có tung độ âm. ĐS: [ ] [ ] [ ]0; 5 , 5;0 , 4;3A B C− − Hà Huy Tập - Nghệ An - 2014: Cho tam giác ABC cân tại A[0;3] và hai điểm B, C thuộc đường tròn [ ] + =2 2 : 9.C x y Tìm tọa độ của B, C biết rằng tam giác ABC có diện tích lớn nhất và điểm B có hoành độ dương. //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 28. 3 ; , ; 2 2 2 2 B C − − − chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2014: Cho điểm A[1;-3] và đường tròn [ ] − + + =2 2 :[ 2] [ 6] 50C x y co tâm là điểm I. Tìm tọa độ điểm M thuộc [C] sao cho số đo của góc AMI lớn nhất. ĐS: [ ] [ ]7; 1 , 5; 5− − −M M Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2014: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AB=3AM. Đường tròn tâm I[1;-1] đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng BC đi qua điểm 4 ;0 3 N , phương trình đường thẳng CD là 3 6 0x y− − = và điểm C có hoành độ dương. ĐS: [ ] [ ] [ ]2; 1 , 2;2 , 3; 1A B C− − − − Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC có đường cao AH, H thuộc cạnh BC sao cho BC=4BH. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có phương trình là + + − − =2 2 2 4 20 0x y x y . Điểm A nằm trên đường thẳng : 2 3 7 0d x y− − = và diện tích tam giác ABC bằng 60. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm A và C có hoành độ âm. Nguoithay.vn - 2014: Cho đường tròn [ ] + + − =2 2 :[ 1] [ 1] 20C x y và đường thẳng : 3 4 8 0.d x y− − = Viết phương trình đường tròn [T] có tâm nằm trên d và cắt [C] tại hai điểm A, B sao cho 2 5AB = , biết đường thẳng AB tạo với đường thẳng d một góc α với 1 cos . 10 α = 3. Viết phương trình đường thẳng B06: Cho đường tròn [C]: + − − + =2 2 2 6 6 0x y x y và điểm M[–3; 1]. Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến [C]. Viết phương trình đường thẳng T1T2. ĐS: Chứng tỏ toạ độ x y0 0[ ; ] của T1, T2 thoả phương trình x y2 3 0+ − = . D11: Cho điểm [ ]1;0A và đường tròn 2 2 [ ] : 2 4 5 0C x y x y+ − + − = . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt [C] tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A. ĐS: : 1y∆ = hoặc : 3y∆ = − Toán học & Tuổi trẻ: Cho điểm M[2 ; 1] và đường tròn [ ] [ ] [ ]2 2 : 1 2 5C x y− + − = . Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt [C] tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB nhỏ nhất. B02[dự bị]: Cho hai đường tròn: [C1]: x y y2 2 4 5 0+ − − = và [C2]: x y x y2 2 6 8 16 0+ − + + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn [C1] và [C2]. ĐS: 4 tiếp tuyến chung: x y y y x 4 2 3 5 2 0; 1; 3 3 + ± − = = − = − D02[dự bị]: Cho hai đường tròn: C x y x C x y x y2 2 2 2 1 2[ ]: 10 0, [ ]: 4 2 20 0+ − = + + − − = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn [C1], [C2]. ĐS: x y7 5 25 2 0+ − ± = B05[dự bị]: Cho 2 đường tròn 2 2 1C x y[ ]: 9+ = và C x y x y2 2 2[ ]: 2 2 23 0+ − − − = . Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn [C1] và [C2]. Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của [C1] nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của [C2]. ĐS: d x y: 7 0+ + = , xét OK IK2 2 16 0− = − < ⇒ OK < IK //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 29. đường tròn [C]: x y2 2 1+ = . Đường tròn [C′] tâm I[2; 2] cắt [C] tại các điểm A, B sao cho AB 2= . Viết phương trình đường thẳng AB. ĐS: Chú ý AB ⊥ OI. Phương trình AB: y x 1= − ± Toán học & Tuổi trẻ: Cho đường tròn 2 2 [ ] : 6 2 1 0C x y x y+ − − + = . Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng : 2 4 0x y∆ − − = và cắt [C] theo một dây cung có độ dài bằng 4. ĐS: 1 : 2 4 0d x y− + = hoặc 2 : 2 6 0d x y− − = Phước Bình - Bình Phước: Cho hai đường tròn [ ] 2 2 1 : [ 1] 1/ 2C x y− + = , [ ] 2 2 2 : [ 2] [ 2] 4C x y− + − = . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với [ ]1C và cắt [ ]2C tại hai điểm phân biệt AB sao cho 2 2AB = . ĐS: 2 0; 2 0; 7 6 0;7 2 0x y x y x y x y+ − = − − = + − = − − = Đông Hưng Hà - Thái Bình: Cho [ ] 2 2 1 : [ 6] 25C x y− + = và [ ] 2 2 2 : 13C x y+ = cắt nhau tại A[2 ; 3]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt [ ]1C , [ ]2C theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. ĐS: : 2 0d x − = hoặc : 3 7 0d x y− + = ĐH Vinh: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 4 2 15 0C x y x y+ − + − = . Gọi I là tâm đường tròn [C]. Đường thẳng d đi qua điểm [ ]1; 3M − cắt [C] tại hai điểm AB. Viết phương trình của d biết tam giác IAB có diện tích bằng 8 và AB là cạnh lớn nhất. ĐS: : 3 0d y + = hoặc : 4 3 5 0d x y+ + = THPT Lê Xoay: Cho [ ] [ ] [ ]2 2 1 : 1 2 4C x y− + − = và [ ] [ ] [ ]2 2 2 : 1 3 2C x y− + − = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A[1 ; 4] cắt [ ]1C tại M, [ ]2C tại N sao cho AM = 2AN. ĐS: : 1 0d x − = hoặc : 2 7 0d x y− + = chuyên Đại học quốc gia Hà Nội: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 2 2 23 0C x y x y+ − + − = . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A[7 ; 3] và cắt [C] tại B và C sao cho 3AB AC= . ĐS: 3 0y − = hoặc 12 5 69 0x y− − = chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: Cho [ ] 2 2 : 8 9 0C x y x+ − − = và điểm [ ]1; 1M − . Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt [C] tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB. ĐS: 2 3 0x y− − = hoặc 2 1 0x y+ + = chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội: Cho [ ] 2 2 : 2 4 0C x y x y+ − − = và điểm M[6 ; 2]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt [C] tại hai điểm A và B sao cho 2 2 50MA MB+ = . ĐS: 3 12 0x y+ − = hoặc 3 0x y− = Đặng Thúc Hứa - Nghệ An: Cho [ ] 2 2 : 10 10 30 0C x y x y+ − − + = . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với [C] biết d cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho 2 2 1 1 1 5OA OB + = . ĐS: : 2 5 0d x y+ − = hoặc : 2 5 0d x y+ − = Đại học sư phạm Hà Nội: Cho điểm M[0 ; 2] và [ ] 2 2 : 1 4 x H y− = . Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt [H] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 5 3 MA MB= . ĐS: : 2d y x= + hoặc : 2d y x= − + //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 30. Phúc - 2013: Cho [ ] + − + − =2 2 : 4 6 12 0C x y x y và điểm [ ]2;4 3M . Viết phương trình đường thẳng d cắt [C] tại hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều. ĐS: 0y = hoặc 4 3 9 2 y − = chuyên Vĩnh Phúc - 2013: Cho tam giác ABC cân tại A[4;-13] và [ ] + + − − =2 2 : 2 4 20 0C x y x y là phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng BC. ĐS: : 3 7 5 10 0BC x y− + + = Đoàn Thượng - Hải Dương - 2014: Cho tam giác ABC có đỉnh A[-3;4], đường phân giác trong của góc A có phương trình 1 0x y+ − = và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I[1;7]. Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 4 lần diện tích tam giác IBC. ĐS: + − =:15 20 131 0BC x y hoặc + − =: 9 12 114 0BC x y Toán học & Tuổi trẻ - 2012: Cho M[2;1] và đường tròn [ ] [ ] [ ]− + − = 2 2 : 1 2 5C x y . Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. ĐS: − − =: 1 0d x y Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho hai đường tròn [ ] [ ] 22 : 1 4C x y+ + = và [ ] [ ] 2 2 ' : 1 2C x y− + = . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với [C] và cắt [C'] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2. ĐS: − =: 1 0d y hoặc − =: 2 0d x Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - 2014: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [T] có tâm [ ]3 / 2;0I − và [T] tiếp xúc với đường thẳng : 4 2 19 0x y∆ + − = . Đường phân giác trong của góc A có phương trình là 1 0.x y− − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác IBC và điểm A có tung độ âm. ĐS: : 2 2 0BC x y+ − = hoặc : 4 2 11 0BC x y+ + = chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2014: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 9 18 0C x y x y+ − − + = và hai điểm A[4;1], B[3;-1]. Các điểm C, D thuộc [C] sao cho ABCD là hình bình hành. Viết phương trình đường thẳng CD. ĐS: : 2 6 0CD x y− + = hoặc : 2 1 0CD x y− + = Nguoithay.vn - 2014: Cho điểm M[3;1] và đường tròn [ ] [ ] 22 : [ 2] 2 10.− + − =C x y Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt [C] tại hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ giao điểm của hai tiếp tuyến với [C] tại A và B đến trục hoành bằng 3. ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 31. VỀ BA ĐƯỜNG CONIC 1. Tìm tọa độ của điểm D08: Cho parabol [P]: =2 16y x và điểm A[1; 4]. Hai điểm phân biệt B, C [B và C khác A] di động trên [P] sao cho góc = 0 90BAC . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. ĐS: Viết PT đường thẳng BC ⇒ BC đi qua điểm cố định I[17; –4] A10: Cho elip 2 2 [ ] : 1 4 1 x y E + = . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc [E], có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. ĐS: 2 2 2; , 2; 2 2 A B − hoặc 2 2 2; , 2; 2 2 A B − A03[dự bị]: Cho parabol y x2 = và điểm I[0; 2]. Tìm toạ độ hai điểm M, N thuộc [P] sao cho IM IN4= . ĐS: M N[4; 2], [1;1]− hoặc M N[36;6], [9;3] D05: Cho điểm C[2; 0] và elip [E]: x y2 2 1 4 1 + = . Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc [E], biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. ĐS: A B 2 4 3 2 4 3 ; , ; 7 7 7 7 − hoặc A B 2 4 3 2 4 3 ; , ; 7 7 7 7 − Toán học & Tuổi trẻ: Cho A[3 ; 0] và [ ] 2 2 : 1 9 x E y+ = . Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc [E] sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Toán học & Tuổi trẻ: Cho [ ] 2 :P y x= . Tìm tọa độ điểm B và C trên [P] sao cho tam giác OBC đều. ĐS: [ ] [ ]6;2 3 , 6; 3B C − hoặc [ ] [ ]6;2 3 , 6; 3C B − Toán học & Tuổi trẻ: Cho [ ] 2 2 : 1 16 4 x y E + = và điểm A[0 ; 2]. Tìm tọa độ điểm B và C trên [E] sao cho tam giác ABC đều. ĐS: 16 3 22 16 3 22 ; , ; 13 13 13 13 B C − − − hoặc 16 3 22 16 3 22 ; , ; 13 13 13 13 C B − − − Toán học & Tuổi trẻ: Cho [ ] 2 2 : 1 25 16 x y E + = và một tiêu điểm 1[ 3;0]F − . Tìm tọa độ điểm A trên [E] sao cho 1AF nhỏ nhất. ĐS: [ ]5;0A − và 1 2AF = Chu Văn An - Hà Nội - 2014: Cho [ ] 2 2 : 1 9 4 x y E + = có hai tiêu điểm 1F và 2F với 1 0Fx < . Tìm tọa độ điểm M trên [E] sao cho 2 2 1 22MF MF+ nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. ĐS: 3 4 ; 5 5 M ± và giá trị nhỏ nhất là 36. //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 32. Cho [ ] 2 2 : 1 16 12 x y E + = có hai tiêu điểm 1F và 2F với 1 0Fx < . Tìm tọa độ điểm M trên [E] sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 1 2MF F bằng 2 . 3 2. Viết phương trình ba đường conic A08: Viết phương trình chính tắc của elip [E] biết rằng [E] có tâm sai bằng 5 3 và hình chữ nhật cơ sở của [E] có chu vi bằng 20. ĐS: x y2 2 1 9 4 + = A12: Cho đường tròn 2 2 [ ] : 8C x y+ = . Viết phương trình chính tắc của elip [E] có độ dài trục lớn bằng 8 và [E] cắt [C] tại 4 điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. ĐS: 2 2 [ ] : 1 1616 3 x y E + = B12: Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình 2 2 4x y+ = . Viết phương trình chính tắc của elip [E] đi qua các đỉnh của hình thoi biết A thuộc Ox. ĐS: 2 2 [ ] : 1 20 5 x y E + = A06[dự bị]: Cho elip [E]: x y2 2 1 12 2 + = . Viết phương trình hypebol [H] có hai đường tiệm cận là y x2= ± và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elip [E]. ĐS: [H]: x y2 2 1 2 8 − = D06[dự bị]: Lập phương trình chính tắc của elip [E] có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của [E] cùng nằm trên một đường tròn. ĐS: [E]: x y2 2 1 8 4 + = Toán học & Tuổi trẻ: Cho elip [E] đi qua điểm [ ]2; 3M − − và có phương trình đường chuNn là 8 0x + = . Viết phương trình chính tắc của elip [E]. ĐS: [ ] 2 2 : 1 16 12 x y E + = hoặc [ ] 2 2 : 1 52 39 x y E + = Toán học & Tuổi trẻ: Cho parabol [ ] 2 :P y x= và điểm [ ]1; 1M − . Giả sử A, B là hai điểm phân biệt khác M, thay đổi trên [P] sao cho MA MB⊥ . Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 16C x y+ = . Viết phương trình chính tắc của elip [E] có tâm sai 1/ 2e = biết elip cắt [C] tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB song song với trục hoành và AB = 2CD. ĐS: [ ] 2 2 : 1 256 64 15 5 x y E + = //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế
- 33. Nội - 2013: Cho parabol [ ] 2 : 4P y x= . Đường thẳng d đi qua điểm 5 ;1 2 M cắt [P] tại hai điểm E và F sao cho ME=MF. Tính độ dài đoạn EF. ĐS: [ ] [ ]− =4;4 , 1; 2 , 3 5E F EF Đào Duy Từ - Thanh Hóa: Cho đường tròn [ ] 2 2 : 10 16 0C x y x+ + + = và điểm T[1 ; 0]. Viết phương trình chính tắc của hipebol [H] biết [H] nhận tâm của [C] làm một tiêu điểm và có hai tiệm cận lần lượt song song với hai tiếp tuyến kẻ từ điểm T đến [C]. ĐS: [ ] 2 2 : 1 75 25 4 4 x y H − = chuyên ĐH Vinh: Cho parabol [ ] 2 : 4P y x= có tiêu điểm F. Gọi M là điểm thỏa mãn điều kiện 3FM FO= − ; d là đường thẳng bất kỳ đi qua M cắt [P] tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh tam giác OAB là tam giác vuông. chuyên Vĩnh Phúc: Viết phương trình chính tắc của elip [E] biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của [E] tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của [E] bằng 24 12 3+ . ĐS: [ ] 2 2 : 1 36 27 x y E + = chuyên Quốc Học Huế - 2013: Cho elip [E] có hai tiêu điểm 1F và 2F với [ ]1 3;0F − . Viết phương trình chính tắc của elip [E] biết rằng tồn tại một điểm M thuộc elip [E] sao cho tam giác 1 2F MF có diện tích bằng 1 và vuông tại M. ĐS: [ ] + = 2 2 : 1 4 1 x y E chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2013: Viết phương trình chính tắc của hypebol [H], biết hình chữ nhật cơ sở của [H] có diện tích bằng 48 và một đường chuNn của [H] có phương trình 5 16 0x + = . ĐS: [ ] − = 2 2 : 1 16 9 x y H chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2013: Viết phương trình chính tắc của elip [E] biết rằng khi M thay đổi trên [E] thì độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 và độ dài lớn nhất của 1MF bằng 8 với 1F là tiêu điểm có hoành độ âm. ĐS: [ ] + = 2 2 : 1 25 16 x y E Hà Huy Tập - Nghệ An - 2014: Viết phương trình chính tắc của elip [E] biết rằng [E] có tâm sai bằng 4 5 và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của [E] có phương trình 2 2 34x y+ = . Tìm tọa độ điểm M trên [E] sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông và M có hoành độ dương. ĐS: + = 2 2 1 25 9 x y ; 5 7 9 ; 4 4 M ± ***** //megabook.vn/ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế