Định nghĩa :
${M_0}[{x_0};{y_0}]$ là điểm cực trị của hàm $z=f[x;y]$ Nếu với mọi điểm $M[{x_0} + \Delta x;{y_0} + \Delta y]$ là lân cận của ${M_0}[{x_0};{y_0}]$ thì ta luôn có :
$\Delta f = f[{x_0};{y_0}] - M[{x_0} + \Delta x;{y_0} + \Delta y]$ không đổi dấu, Với : $$\left[ \matrix{ \Delta f \ge 0 \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{đại} }\\ \Delta f \le 0 \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{tiểu} } } \right.$$ [M là lân cận của ${M_0}$ khi $\Delta x$,$\Delta y$ khá nhỏ].
Quy tắc tìm cực trị:
Giả sử hàm số $z=f[x;y]$ có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng $[M_0[x_0;y_0]$
Đặt $\matrix{ {A = z''_{xx}}&;&{B = z''_{xy}}&;&{C = z''_{yy}} }$
Khi đó: $$\left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {B^2} - AC < 0\\ \matrix{ {A > 0}&{[{\rm{or}}}&{C > 0]} } } \right. \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{tiểu} }\\ \left\{ \matrix{ {B^2} - AC < 0\\ \matrix{ {A < 0}&{[{\rm{or}}}&{C < 0]} } } \right. \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{đại} }\\ {B^2} - AC > 0 \Rightarrow \matrix{ {Hàm}&{không}&{đạt}&{cực}&{trị}&{tại}&{{M_0}} }\\ {B^2} - AC = 0 \Rightarrow \matrix{ {Dùng}&{định}&{nghĩa}&{để}&{xác}&{định} } } \right.$$ Các bước làm bài :
Bước 1 :Giải hệ phương trình
$$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 0\\ z{'_y} = 0 } \right. \Rightarrow \matrix{ {Tìm}&{được}&{nghiệm}&{[{x_1};{y_1}]}&{[{x_2};{y_2}]}&{...}&{[{x_n};{y_n}]} }$$ Bước 2 :Tìm các đạo hàm cấp 2. $$\left\{ \matrix{ A = z'{'_{xx}}\\ B = z'{'_{xy}}\\ C = z'{'_{yy}} } \right.$$ Bước 3 :Xét các điểm nghiệm $[{x_1};{y_1}]$, $[{x_2};{y_2}]$,...,$[{x_n};{y_n}]$ để tính A, B, C và xem nó thuộc trường hợp nào để tính và kết luận
Tìm cực trị hàm số $z = 2{x^4} + {y^4} - 4{x^2} + 2{y^2}$
[Bài 7-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59]
Bài làm:
Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 8{x^3} - 8x = 0\\ z{'_y} = 4{y^3} + 4y = 0 } \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = - 1\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = 1\\ y = 0 } \right. } \right.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ ${M_1}[ - 1;0],{M_2}[0;0],{M_3}[1;0]$
Đặt :
$$\matrix{ A = z'{'_{xx}} = 24{x^2} - 8\\ B = z'{'_{xy}} = 0\\ C = z'{'_{yy}} = 12{y^2} + 4 }$$
Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}[ - 1;0]$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 16,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 64 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_1}[ - 1;0] \Rightarrow {z_{CT}} = z[ - 1;0] = - 2}$
_Tại ${M_2}[0;0]$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = - 8,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow {B^2} - AC = 32 > 0 }$$ Suy ra hàm không đạt cực trị tại ${M_2}[0;0]$
_Tại ${M_3}[1;0]$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 16,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 64 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_3}[1;0] \Rightarrow {z_{CT}} = z[1;0] = - 2}$
Ví dụ 2 :
Tìm cực trị hàm số $$z = 2{x^2} + 3{y^2} - {e^{ - [{x^2} + {y^2}]}}$$ [Bài 7-Đề 3-Giải tích I cuối kì BKHN-K59]
Bài làm:
Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 4x + 2x{e^{ - [{x^2} + {y^2}]}} = 0\\ z{'_y} = 6y + 2y{e^{ - [{x^2} + {y^2}]}} = 0 } \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.$$ Suy ra có 1 điểm nghi ngờ ${M_1}[0;0]$
Đặt :
$$\left\{ \matrix{ A = z''_{xx} = 4 + 2{e^{ - [{x^2} + {y^2}]}} - 4{x^2}{e^{ - [{x^2} + {y^2}]}}\\ B = z''_{xy} = - 4xy{e^{ - [{x^2} + {y^2}]}}\\ C = z''_{yy} = 6 + 2{e^{ - [{x^2} + {y^2}]}} - 4{y^2}{e^{ - [{x^2} + {y^2}]}} } \right.$$
Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}[0;0]$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 6,}&{B = 0,}&{C = 8} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 48 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_1}[0;0] \Rightarrow {z_{CT}} = z[0;0] = - 1}$
Ví dụ 3 :
Tìm cực trị hàm số $$z = {x^3} - \frac{3}{2}{y^4} - 3x{y^2}$$ [Bài 10-Đề 6-Giải tích I cuối kì BKHN-K60]
Bài làm:
Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 3{x^2} - 3{y^2} = 0\\ z{'_y} = -6{y^3} - 6xy = 0 } \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = -1\\ y = 1 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = -1\\ y = - 1 } \right. } \right.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ ${M_1}[0;0]$, ${M_2}[-1;1]$, ${M_3}[-1;-1]$
Đặt :
$$\left\{ \matrix{ A = z''_{xx} = 6x\\ B = z''_{xy} = -6y\\ C = z''_{yy} = -18{y^2} - 6x } \right.$$
Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}[0;0]$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 0,}&{B = 0,}&{C = 0} }\\ \Rightarrow {B^2} - AC = 0 }$$ Suy ra ta phải dùng định nghĩa
Giả sử $N[0 + \Delta x;0 + \Delta y]$ là lân cân của ${M_1}[0;0]$ Khi đó : $$\matrix{ \Delta z = z[0;0] - z[0 + \Delta x;0 + \Delta y] = z[0;0] - z[\Delta x;\Delta y]\\ \Leftrightarrow \Delta z = - {[\Delta x]^3} + \frac{3}{2}{[\Delta y]^4} + 3[\Delta x].{[\Delta y]^2}\\ \left\{ \matrix{ \Delta x > 0,\Delta y = 0\matrix{ :&{\Delta z < 0} }\\ \Delta x < 0,\Delta y = 0\matrix{ :&{\Delta z > 0} } } \right. }$$ $ \Rightarrow \Delta z$ đã đổi dấu trong lân cận ${M_1}[0;0]$
Suy ra hàm không đạt cực trị tại ${M_1}[0;0].$
_Tại ${M_2}[-1;1]$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = -6,}&{B = -6,}&{C = -12} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = -36< 0\\ A