mẹo hay

Bai tap thày nguyen thanh van toán cao cap năm 2024

Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh [2006], Bài tập Toán học cao cấp, tập 1: Đại số và hình học giải tích, NXB Giáo dục Hà Nội.

[3] Nguyễn Đình Trí [chủ biên], Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Xuân Thảo[2015]. Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục Hà Nội.

[4] Nguyễn Đình Trí [chủ biên], Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Xuân Thảo [2017]. Bài tập Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục Hà Nội.

Bài tập Xstk chọn lọc dành cho sinh viên ĐH ĐIỆN LỰC: download BT-XSTK.
Bài tập Toán cao cấp 1 dành cho sinh viên ĐH ĐIỆN LỰC[Chương trình mới]: Tải bài tập toán 1;
Bài tập Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên ĐH ĐIỆN LỰC[Chương trình mới]: Tải bài tập Toán 2.

@@@@@@@@@@@@@@@@@

Bài tập Toán cao cấp 1,2,3 chọn lọc dành cho sinh viên ĐH ĐIỆN LỰC[chương trình cũ]: download BT-Toán 1; download BT-Toán 2; download BT-Toán 3.
PDE VNU-IS Sach 1, Sách 2, Slide
Bài tập Xstk chọn lọc dành cho sinh viên UEB-VNU: download BT-XSTK.

@@@@@@@@@@@@@@@@@

Slide bài giảng Toán cao cấp 1 download Ở ĐÂY
Slide bài giảng XSTK download Ở ĐÂY
Bài tập Xstk chọn lọc cho các trường kinh tế download Ở ĐÂY
Sách XSTK tiếng Anh: Probability & Statistics for Engineers & Scientists [9th Edition] – Walpole
Giáo trình XSTK[Nguyễn Cao Văn]: 3. Lý Thuyết Xác Suất và Thống kê toán – Pgs.Ts.Nguyễn Cao Văn, 662 Trang
Sách bài tập XSTK [Nguyễn Cao Văn]: btxsnguyencaovan1
Sách bài tập XSTK[Đào Hữu Hồ]: giaibaitapxacsuatthongkedaohuuho-130209075521-phpapp01
Sách toán Cao cấp 1,2,3 Nguyễn Đình Trí: Toan cao cap 1; Toan cao cap2; TOANCAO CAP TAP 3
Bài tập toán Cao cấp 1,2,3 Nguyễn Đình Trí: Bài Tập Toán Cao Cấp 1- Phép Tính Giải Tích – Nguyễn Đình Trí; Bài Tập Toán Cao Cấp 2- Phép Tính Giải Tích – Nguyễn Đình Trí; Bài Tập Toán Cao Cấp 3- Đại Số Và Hình Học Giải Tích – Nguyễn Đình Trí.
Sách ôn tập Toán cao cấp theo dạng các đề thi: ontaptoancaocap tap1; ontaptoancaocap tap2; ontaptoancaocap tap3; ontaptoancaocap tap4
Sách tiếng Anh môn giải tích hay download
Sách Lý thuyết hàm biến phức: Cơ Sở Lý Thuyết Của Hàm Biết Phức – Nguyễn Thủy Thanh, 566 Trang; Sách tiếng Anh: giao-trinh-ham-phuc .
Bài tập hàm biến phức:bthamphucd

Đề cương chi tiết môn toán 1: DECUONG TOAN 1

Đề cương chi tiết môn toán 2: DECUONG Toan 2

Đề cương chi tiết môn toán 3 download ở đây

Đề cương chi tiết XSTK: DC_SXTK

Đề cương chi tiết Hàm Biến Phức: ĐỀ CƯƠNG HÀM PHỨC _Đã chỉnh sửa_

Bộ cài Latex download ở đây fullMilkTex hướng dẫn cài download ở đây truy tìm ngược pdf –> tex download ở đây

Tất cả ký hiệu trong LaTeX: symbols-a4, thông dụng: Golatex; LatexSymbol1.

Phần mềm đọc sách Djvu down ở đây

Tài liệu ôn thi Olympic Sinh viên

TaskbarHide Download

Tài liệu NCS

Mẫu đề thi latex

1. THUY’ THANH B`AI TˆA. P TO´AN CAO CˆA ´ P Tˆa. p 2 Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am NH`A XUˆA ´ T BA ’ N DA. C QUˆO ´ C GIA H`A NˆO. I HO. I
2. 7 Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 3 7.1 Gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n . 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su. . hˆo. cu’ a d˜ay sˆo´ du. i tu. .a trˆen c´ac nh l´y vˆe` gi´o.i ha. di. n . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. .a trˆen diˆe`u cu’ a d˜ay sˆo´ du. n du’ dˆe’ d˜ay hˆo. kiˆe. i tu. [nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass] . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. .a trˆen diˆe`u cu’ a d˜ay sˆo´ du. n cˆa`n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo. kiˆe. i tu. [nguyˆen l´y hˆo.i tu. Bolzano-Cauchy] . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´o.i ha. n h`am mˆo. t biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 m v`a di. 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe. nh l´y co. ba’n vˆe` gi´o.i ha. n . . 27 7.3 H`am liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4 Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . 51 t biˆe´n 60 8 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. 8.1 D-a. o h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 D-a. o h`am cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.2 D-a. o h`am cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.2 Vi phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3. LU. C 8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 nh l´y co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi. Quy t˘a´c l’Hospital. 8.3 C´ac di. i. Cong ˆthu.´c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.3.1 Cac ´dnh ly ´co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi . . . . . . . . 84 8.3.2 Khu. ’ c´ac da.ng vˆo di. nh. Quy t˘a´c Lˆopitan [L’Hospitale] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe`u biˆe´n 109 9.1 D- a. o h`amriˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.1.1 D- o h`am riˆeng cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 110 a. 9.1.2 D- o h`am cu’ a h`am ho. a. .p . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.3 H`am kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.4 D- o h`am theo hu.´o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 112 a. 9.1.5 D- o h`am riˆeng cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . 113 a. 9.2 Vi phˆan cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.2.2 ´Ap du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆa `n d´ung . . . . . . . 126 9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’ a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 127 9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.2.5 Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2.6 Vi phˆan cu’ a h`am ˆa’n . . . . . . . . . . . . . . . 130 .c tri. cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3 Cu. .c tri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3.1 Cu. .c tri. c´o diˆe`u kiˆe. 9.3.2 Cu. n . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.3.3 Gi´a tri. l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’ a h`am . . . . . . 147
4. ha. n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 7.1 Gi´o.i ha. n cu’a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . 4 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su.. hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen nh l´y vˆe ` gi´o.i ha. c´ac di. n . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3 Ch´u.ng minh su.. hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. trˆen diˆe `u kiˆe. [nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass] . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´u.ng minh su.. hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen n cˆa`n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo. diˆe `u kiˆe. i tu. [nguyˆen l ´y hˆo.i tu. Bolzano-Cauchy] . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´o.i ha. t biˆe´n . . . . . . . . . . . . 27 n h`am mˆo. m v`a di. 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe. nh l´y co. ba’n vˆe` gi´o.i ha. n 27 . 7.3 H`aam liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4 Gi´o.i hn v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n . 51
5. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 7.1 Gi´o.i ha. n cu’a d˜ay sˆo´ H`am sˆo´ x´ac di. nh trˆen tˆa. .p N du.o. p ho. .c go. i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n. D˜ay sˆo´ thu.`o.ng du.o. .c viˆe´t du . ´o.i da. ng: a1, a2, . . . ,an, . . . [7.1] ho˘a. c {an}, trong d´o an = f[n], n 2 N du.o. .c go. i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at cu’ a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe. u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay. Ta cˆa `n lu . u ´y c´ac kh´ai niˆe. m sau dˆay: i] D˜ay [7.1] du.o. .c go. n nˆe´u 9M 2 R+ : 8 n 2 N ] |an| 6 i l`a bi. ch˘a. n nˆe´u: 8M 2 R+ : 9 n 2 N ] |an|>M. M; v`a go. i l`a khˆong bi. ch˘a. ii] Sˆo´ a du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay [7.1] nˆe´u: 8" > 0, 9N["] : 8 n > N ] |an − a| < ". [7.2] iii] Sˆo´ a khˆong pha’ i l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay [7.1] nˆe´u: 9" > 0, 8N : 9 n > N ] |an − a| > ". [7.3] iv] D˜ay c´o gi´o.i ha. n du.o. .c go. i l`a d˜ay hˆo. , trong tru.`o.ng ho. i tu. .p ngu.o. .c la. i d˜ay [7.1] go. i l`a d˜ay phˆan k`y. v] D˜ay [7.1] go. i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe´u lim n!1 an = 0 v`a go. i l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n nˆe´u 8A > 0, 9N sao cho 8n > N ] |an| > A v`a viˆe´t lim an = 1. n cˆa`n dˆe’ d˜ay hˆo. vi] Diˆe`u kiˆe. i tu. l`a d˜ay d´o pha’i bi. ch˘a. n. Ch´u ´y: i] Hˆe.th´u.c [7.2] tu.o.ng du.o.ng v´o.i: −" < an −a < " , a − " < an < a+ ". [7.4]
6. n cu’ a d˜ay sˆo´ 5 Hˆe. th´u.c [7.4] ch´u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´n > N cu’ a d˜ay hˆo. i tu. d`ˆeu n`a˘m trong khoa’ng [a − ", a + "], khoa’ng na`y go. i la` "-laˆn n cu’a diˆe’m a. Nhu. vˆa. cˆa. y, nˆe´u d˜ay [7.1] hˆo. i tu. dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’ a n´o tr`u. t sˆo´ h˜u.u ha. ra mˆo. n sˆo´ ha.ng dˆe`u n˘a`m trong "-lˆan cˆa. n bˆa´t k`y b´e bao nhiˆeu t`uy ´y cu’a diˆe’m a. ii] Ta lu.u ´y r˘a`ng d˜ay sˆo´ vˆo c`ung l´o.n khˆong hˆo. i tu. v`a k´y hiˆe. u lim an = 1 [−1] chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an l`a vˆo c`ung l´o.n v`a k´y hiˆe. u d´o ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha. n. 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n Dˆe’ ch´u.ng minh liman = a b˘a`ng c´ach su. ’ du.ng di. nh ngh˜ıa, ta cˆa `n tiˆe´n h`anh theo c´ac bu.´o.c sau dˆay: p biˆe’ u th´u.c |an − a| i] Lˆa. .i] sao cho |an − a| 6 bn 8 n v`a ii] Cho.n d˜ay bn [nˆe´u diˆe`u d´o c´o l o. v´o.i " du’ b´e bˆa´t k`y bˆa´t phu . o.ng tr`ınh dˆo´i v´o . i n: bn < " [7.5] t c´ach dˆe˜ d`ang. Gia’ su. ’ [7.5] c´o nghiˆe.m l`a n > f["], c´o thˆe’ gia’i mˆo. f["] > 0. Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l`a [f["]], trong d´o [f["]] l`a phˆa ` n nguyˆen cu’ a f["]. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Gia’ su’. an = n[−1]n. Ch´u.ng minh r˘a`ng: i] D˜ay an khˆong bi. ch˘a. n. ii] D˜ay an khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n. Gia’ i. i] Ta ch´u.ng minh r˘a`ng an tho’a m˜an di. nh ngh˜ıa d˜ay khˆong bi. ch˘a. n. Thˆa. y, 8M >0 sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe. t vˆa. u n = 2[[M] + 1] b˘a`ng n v`a l´o.n ho . n M. Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi. ch˘a. n.
7. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ ii] Ta ch´u.ng minh r˘a`ng an khˆong pha’ i l`a vˆo c`ung l´o.n. Thˆa. t vˆa. y, ta x´et khoa’ng [−2, 2]. Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’ a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe. u le’ dˆe`u thuˆo. c khoa’ng [−2, 2] v`ı khi n le’ th`ı ta c´o: n[−1]n = n−1 = 1/n 2 [−2, 2]. Nhu. vˆa. y trong kho’ng [−2, 2] c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’ a d˜ay. T`u. d´o, nh ngh˜ıa suy ra an khˆong pha’ i l`a vˆo c`ung l´o.n. N theo di. V´ı du. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. 2. D`ung di. n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng: 1] lim n!1 [−1]n−1 n = 0. 2] lim n!1 n n + 1 = 1. Gia’ i. Dˆe’ ch´u.ng minh d˜ay an c´o gi´o.i ha. n l`a a, ta cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng dˆo´i v´o . i mˆo˜ i sˆo´ " > 0 cho tru.´o.c c´o thˆe’ t`ım du.o. .c sˆo´ N [N phu. thuˆo. c "] sao cho khi n >N th`ı suy ra |an − a| < ". Thˆong thu.`o.ng ta c´o thˆe’ chı’ ra cˆong th´u.c tu . `o.ng minh biˆe’u diˆe˜n N qua ". 1] Ta c´o: |an − 0| =
8.
9.
10.
11.
12.
13. · Gia’ su’. " la` sˆo´ du.o.ng cho tru.o´.c tu`y y´. Khi do´: 1 n < " , n > 1 " · . nhiˆen n`ao d´o tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. V`ı thˆe´ ta c´o thˆe’ lˆa´y N l`a sˆo´ tu. n: N > 1 " ] 1 N < ". [Ch˘a’ ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/"], trong d´o [1/"] l`a phˆa ` n nguyˆen cu’a 1/"]. Khi d´o 8 n > N th`ı: |an − 0| = 1 n 6 1 N < ".
14. n cu’ a d˜ay sˆo´ 7 Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a lim n!1 [−1]n n = 0. . nhiˆen N["] sao cho 8n > 2] Ta lˆa´y sˆo´ " > 0 bˆa´t k`y v`a t`ım sˆo´ tu. N["] th`ı:
15.
16.
17. 1 − 1
18.
19.
20. d˘a’ng th´u.c |an − 1| < " , 1 n + 1 < " , 1 " − 1. Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y sˆo´ N["] l`a phˆa ` n nguyˆen cu’ a 1 " − 1, t´u.c l`a: N["] = E[[1/"] − 1]. Khi d´o v´o . i n > N ta c´o: i mo.
21.
22.
23. 1 − 1
24.
25.
26. + 1 6 1 N + 1 < " ] lim n!1 n n + 1 = 1. N V´ı du. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y: 1] an = n, n 2 N [7.6] 2] an = [−1]n, n2 N [7.7] 3] an = [−1]n + 1 n · [7.8] Gia’ i. 1] Gia’ su. ’ d˜ay [7.6] hˆo. i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa´y " = 1. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. Khi d´o theo di. n tˆo`n ta. i sˆo´ hiˆe.u N sao cho 8n > N th`ı ta c´o |an−a| < 1 ngh˜ıa l`a |n−a| < 1 8n >N. T`u. d´o −1 < n−a < 1 8n > N , a − 1 < n < a+ 1 8n > N. Nhu.ng bˆa´t d˘a’ ng th´u.c n < a+ 1, 8n > N l`a vˆo l´y v`ı tˆa. .p c´ac p ho. . nhiˆen khˆong bi. ch˘a. sˆo´ tu. n. 2] C´ach 1. Gia’ su. ’ d˜ay an hˆo. i tu. v`a c´o gi´o.i ha. n l`a a. Ta lˆa´y lˆan cˆa. n a − 1 2 , a + 1 2 cu’a diˆe’m a. Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da. ng: {an} = −1, 1,−1, 1, . . . . [7.9]
27. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ V`ı dˆo. d`ai cu’ a khoa’ng a − 1 2 , a + 1 2 l`a b˘a`ng 1 nˆen hai diˆe’m −1 v`a +1 khˆong thˆe’ dˆo`ng th`o.i thuˆo. c lˆan cˆa. n a − 1 2 , a + 1 2 cu’a diˆe’m a, a. v`ı khoa’ng cach ´giu.˜a −1 v`a +1 ba`˘ng 2. Di`ˆeu do´ co´ ngh˜ıa la` o’. ngoa`i lan ˆcˆn a − 1 2 , a + 1 2 c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ [xem ch´u ´y o. ’ trˆen] sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay. Ca´ch 2. Gia’ su’. an ! a. Khi do´ 8 0 [lˆa´y = 1 2 ] ta c´o |an − a| 1 2 8 n N. V`ı an = ±1 nˆen |1 − a| 1 2 , | − 1 − a| 1 2 ]2 = |[1 − a] + [1 + a]| 6 |1 − a| + |a+ 1| 6 1 2 + 1 2 = 1 ]2 1, vˆo l´y. 3] Lu.u ´y r˘a`ng v´o.i n = 2m ] a2m = 1+ 1 2m . Sˆo´ ha.ng kˆe` v´o.i n´o c´o sˆo´ hiˆe. u le’ 2m+1 [hay 2m − 1] v`a a2m+1 = −1 + 1 2m + 1 0 [hay a2m−1 = −1 + 1 2m − 1 6 0]. T`u. d´o suy r˘a`ng |an − an−1| 1. Nˆe´u sˆo´ a n`ao d´o l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay [an] th`ı b˘a´t dˆa ` u t`u. sˆo´ hiˆe. u n`ao ng th´u.c |an − a| d´o [an] tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ 1 2 . Khi d´o |an − an+1| 6 |an − a| + |an+1 − a| 1 2 + 1 2 = 1. Nhu.ng hiˆe. u gi˜u.a hai sˆo´ ha.ng kˆe ` nhau bˆa´t k`y cu’a d˜ay d˜a cho luˆon luˆon l´o.n ho . n 1. Diˆe`u mˆau thuˆa˜n n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng khˆong mˆo. t sˆo´ thu. .c n`ao c´o thˆe’ l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay d˜a cho. N
28. n cu’ a d˜ay sˆo´ 9 B`AI TˆA. P H˜ay su. ’ du.ng di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng 1. lim n!1 an = 1 nˆe´u an = 2n − 1 2n + 2 2. lim n!1 an = 3 5 nˆe´u an = 3n2 + 1 5n2 − 1 B˘a´t dˆa ` u t`u. sˆo´ hiˆe. u N n`ao th`ı: |an − 3/5| 0, 01 [DS. N = 5] 3. lim n!1 an = 1 nˆe´u an = 3n + 1 3n . 4. lim n!1 cos n n = 0. 5. lim n!1 2n + 5 · 6n 3n + 6n = 5. 6. lim n!1 3 p n2 sin n2 n + 1 = 0. 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng sˆo´ a = 0 khˆong pha’ i l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay an = n2 − 2 2n2 − 9 . 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng lim n!1 n2 + 2n + 1 + sinn n2 + n + 1 = 1. 9. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: an = [−1]n + 1/n phˆan k`y. 10. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay; an = sin n0 phˆan k`y. 11. T`ım gi´o.i ha. n cu’ a da˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, |22{.z. . 2} n , . . . Chı’ dˆa˜n. Biˆe’u diˆe˜n an du.´o.i da. ng an = 0, 22 . . .2 = 2 10 + 2 10 2 + · · · + 2 10n [DS. lim an = 2/9]
29. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 12. T`ım gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay sˆo´: 0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 3|3{.z. . }3 n , . . . Chı’ dˆa˜n. Biˆe’u diˆe˜n an du.´o.i da. ng an = 2 10 + 3 102 + 3 103 + · · · + 3 10n [DS. 7/30] 13. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u d˜ay an hˆo. i tu. dˆe´n a, c`on d˜ay bn dˆa `n dˆe´n 1 th`ı d˜ay an/bn dˆa `n dˆe´n 0. 14. Ch´u.ng minh r˘a`ng i] lim n!1 n 2n = 0. ii] lim n!1 n an = 0 [a 1]. Chı’ dˆa˜n. i] Su. ’ du.ng hˆe. th´u.c: 2n = [1 + 1]n = 1+n + n[n − 1] 2 + · · · + 1 n + n[n − 1] 2 n2 2 · v`a u.´o.c lu . .ng |an − 0|. o. ii] Tu.o.ng tu. . nhu. i]. Su’. du.ng hˆe. th´u.c: an = [1+[a − 1]]n n[n − 1] 2 [a − 1]. 15. Ch´u.ng minh r˘a`ng lim an = 2 nˆe´u an = 1+ 1 2 + · · · + 1 2n Chı’ dˆa˜n. ´Ap du.ng cˆong th´u.c t´ınh tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan dˆe’ t´ınh an rˆo`i u.´o.c lu . .ng |an − 2|. o. 16. Biˆe´t r˘a`ng d˜ay an c´o gi´o.i ha. n, c`on d˜ay bn khˆong c´o gi´o.i ha. n. C´o thˆe’ n´oi g`ı vˆe` gi´o.i ha.n cu’ a d˜ay: i] {an + bn}. ii] {anbn}. [DS. i] lim{an + bn} khˆong tˆo`n ta. i. H˜ay ch´u.ng minh.
30. n cu’ a d˜ay sˆo´ 11 ii] C´o thˆe’ g˘a. p ca’ hai tru.`o.ng ho. .p c´o gi´o.i ha. n v`a khˆong c´o gi´o.i ha. n, u. v´ı d: an = n − 1 n , bn = [−1]n; an = 1 n , bn = [−1]n. 7.1.2 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du. .a trˆen c´ac di. nh l´y vˆe` gi´o.i ha. n Dˆe’ t´ınh gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay sˆo´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng su. ’ du.ng c´ac di. nh l´y v`a kh´ai niˆe. m sau dˆay: Gia’ su’. liman = a, limbn = b. i] lim[an ± bn] = liman ± lim bn = a ± b. ii] lim anbn = lim an · lim bn = a · b. iii] Nˆe´u b6= 0 th`ı b˘a´t dˆa ` u t`u. mˆo. t sˆo´ hiˆe. u n`ao d´o d˜ay an/bn x´ac nh [ngh˜ıa l`a 9N : 8 n N ] bn6= 0] v`a: di. lim an bn = lim an lim bn = a b · iv] Nˆe´u liman = a, limbn = a v`a b˘a´t dˆa ` u t`u. mˆo. t sˆo´ hiˆe. u n`ao d´o an 6 zn 6 bn th`ı lim zn = a [Nguyˆen l´y bi. ch˘a. n hai phi´a]. v] T´ıch cu’ a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o.i d˜ay bi. ch˘a. n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e. vi] Nˆe´u [an] l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v`a an6= 0 th`ı d˜ay 1 an l`a d˜ay vˆo c`ung b´e; ngu.o. .c la. i, nˆe´u n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a n6= 0 th`ı d˜ay 1 n l`a vˆo c`ung l´o.n. n x´et. Dˆe’ ´ap du. ng d´ung d˘a´n c´ac di. Nhˆa. nh l´y trˆen ta cˆa `n lu . u ´y mˆo. t sˆo´ nhˆa. n x´et sau dˆay: nh l´y [iii] vˆe` gi´o.i ha. i] Di. n cu’a thu . o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o. .c nˆe´u tu. ’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha. n h˜u.u ha. n ho˘a. c mˆa˜ u sˆo´ c´o gi´o.i ha. n b˘a`ng 0. Trong nh˜u.ng tru.`o.ng ho. .p d´o nˆen biˆe´n dˆo’i so . bˆo. d˜ay thu.o.ng, ch˘a’ ng ha.n b˘a`ng c´ach chia ho˘a. c nhˆan tu. ’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ v´o.i c`ung mˆo. t biˆe’u th´u.c.
31. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ ii] Dˆo´i v´o . nh l´y [i] v`a [ii] c˜ung cˆa ` n pha’ i thˆa. i di. n tro.ng khi ´ap du. ng. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta cˆa ` n pha’i biˆe´n dˆo’i c´ac biˆe’u th´u.c an ± bn v`a an · bn tru.´o.c khi t´ınh gi´o.i ha. n [xem v´ı du. 1, iii]. iii] Nˆe´u an = a const 8 n th`ı lim n!1 an = a. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. T`ım lim an nˆe´u: . o 1] an = [1 + 7n+2]/[3 − 7n] 2] an = [2 + 4 +6+· · · + 2n]/[1 + 3 + 5+· · · + [2n + 1]] 3] an = n3/[12 + 22 + · · · + n2] Gia’ i. Dˆe’ gia’ i cac ´b`ai toan ´n`ay ta d`ung ly ´thuyˆe´t caˆ´p sˆo´ 1] Nhan ˆtu. ’ soˆ´ v`a maˆ˜u sˆo´ phan ˆthu.´c v´i 7−n ta co: ´an = 1 + 7n+2 3 − 7n = 7−n + 72 3 · 7−n − 1 Do d´o lim an = lim 7−n + 72 3 · 7−n − 1 = −49 v`ı lim 7−n = 0, n!1. 2] Tu. ’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ dˆe`u l`a cˆa´p sˆo´ cˆo. ng nˆen ta c´o: 2 + 4 + 6+· · · + 2n = 2 + 2n 2 · n; 1+3 + 5+· · · + [2n + 1] = 1 + [2n + 2] 2 [n + 1]. Do d´o an = n n + 1 ] lim an = 1. 3] Nhu. ta biˆe´t: 12 + 22 + · · · + n2 = n[n + 1][2n + 1] 6
32. n cu’ a d˜ay sˆo´ 13 v`a do d´o: lim an = lim 6n3 n[n + 1][2n + 1] = lim 6 [1 + 1/n][2 + 1/n] = 3. N V´ı du. 2. T`ım gi´o.i ha. n lim 1 + 1 2 + 1 4 + · · · + 1 2n 1 + 1 3 + 1 9 + · · · + 1 3n Gia’ i. Tu’. soˆ´ va` maˆ˜u sˆo´ d`ˆeu la` caˆ´p sˆo´ nhaˆn nˆen 1 + 1 2 + · · · + 1 2n = 2[2n − 1] 2n , 1 + 1 3 + · · · + 1 3n = 3[3n − 1] 2 · 3n v`a do d´o: lim an = lim 2[2n − 1] 2n · 2 · 3n 3[3n − 1] = 2 lim 2n − 1 2n · 2 3 lim 3n 3n − 1 = 2 lim[1 − [1/2]n] · 2 3 lim 1 1 − [1/3]n = 2· 1 · 2 3 ·1 = 4 3 · N V´ı du. 3. 1] an = p n2 + n − n 2] an = 3 p n + 2 − 3 p n 3] an = 3 p n2 − n3 + n Gia’ i. 1] Ta biˆe´n dˆo’i an b˘a`ng c´ach nhˆan v`a chia cho da. i lu . .ng liˆen ho. o. .p an = [ p n2 + n − n][ p n2 + n + n] p n2 + n + n = n p n2 + n + n = 1 p 1 + 1/n + 1 Do d´o lim an = 1 lim n!1 [ p 1 + 1/n + 1] = 1 2 ·
33. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 2] Biˆe´n dˆo’i an tu.o.ng tu. . nhu. 1] ta c´o: an = 3 p 3 n + 2 − 3 p 3 n 3 p 2 n + 2 + 3 p n + 2 · 3 p n + 3 p 2 n an = 2 3 p 2 n + 2 + 3 p n + 2 · 3 p n + 3 p 2 n Biˆe’u th´u.c mˆa˜ u sˆo´ b˘a`ng: n2/3 3 p 1 + 2/n 2 + 3 p 1 + 2/n + 1 !1 khi n!1v`a do d´o lim an = 0. 3] Ta c´o thˆe’ viˆe´t n = 3 p n3 v`a ´ap du.ng cˆong th´u.c: a3 + b3 = [a + b][a2 − ab + b2] suy ra an = 3 p 3 p n2 − n3 + n n2 − n3 2 − n 3 p n2 − n3 + n2 3 p n2 − n3 2 − n 3 p n2 − n3 + n2 = n2 3 p n2 − n3 2 − n 3 p n2 − n3 + n2 = 1 [1/n − 1]2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1 suy ra lim an = 1 3 · N V´ı du. 4. T`ım gi´o.i ha. n cu’ a c´ac d˜ay sau an = n p n2 + n , bn = n p n2 + 1 , cn = 1 p n + 1 + 1 p n2 + 2 + · · · + 1 p n2 + n · Gia’ i. Dˆa `u tiˆen ta ch´u.ng minh lim an = 1. Thˆa. t vˆa. y: lim an = lim n p n 1 + 1/n = lim 1 p 1 + 1/n = 1.
34. n cu’ a d˜ay sˆo´ 15 Tu.o.ng tu. . lim bn = 1. Dˆe’ t`ım gi´o.i ha. n cu’ a cn ta s˜e ´ap du.ng Nguyˆen l´y bi. ch˘a. n hai ph´ıa. Mˆo. t m˘a. t ta c´o: cn 1 p n2 + 1 + 1 p n2 + 1 + · · · + 1 p n2 + 1 = n p n2 + 1 = bn nhu.ng m˘a. t kh´ac: cn 1 p n2 + n + 1 p n2 + n + · · · + 1 p n2 + n = an. Nhu. vˆa. y an cn bn v`a lim n!1 an = lim n!1 bn = 1. T`u. d´o suy ra lim n!1 cn = 1. N V´ı du. 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay [qn] l`a: 1] d˜ay vˆo c`ung l´o.n nˆe´u |q| 1; 2] d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| 1. Gia’ i. 1] Gia’ su’. |q| 1. Ta lˆa´y sˆo´ A 0 baˆ´t ky`. Tu`. da˘’ng thu´.c |q|n Ata thu du.o. .c n log|q|A. Nˆe´u ta lˆa´y N = [log|q|A] th`ı 8n N ta c´o |q|n A. Do d´o d˜ay [qn] l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n. 2] Gia’ su’. |q| 1, q6= 0. Khi do´ qn = h1 q ni−1 . V`ı
35.
36.
37.
38.
39.
40. 1 q n l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v`a do d´o d˜ay h1 q n i−1 l`a vˆo c`ung b´e, t´u.c l`a d˜ay [qn] l`a d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| 1. 3] Nˆe´u q = 0 th`ı qn = 0, |q|n 8 n v`a do d´o [qn] l`a vˆo c`ung b´e. N B`AI TˆA.P T`ım gi´o.i ha. n lim n!1 an nˆe´u 1. an = n2 − n n − p n . [DS. 1] 2. an = n2[n − p n2 + 1]. [DS. −1]
41. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 3. an = 1 + 2 + 3+· · · + n p 9n4 + 1 . [DS. 1/6] 4. an = p n cos n n + 1 . [DS. 0] 5. an = 5n n + 1 + sin n n . [DS. 5] 6. an = n3 n2 + 1 − 3n2 3n + 1 . [DS. 1/3] 7. an = n n + 11 − cos n 10n . [DS. 1] 8. an = n3 + 1 n2 − 1 [DS. 1] 9. an = cos n3 n − 3n 6n + 1 . [DS. − 1 2 ] 10. an = [−1]n 5 p n + 1 . [DS. 0] 11. an = p n2 + 1+ p n 3 p n3 + n − p n . [DS. +1] 12. an = 3 p 1 − n3 + n. [DS. 0] 13. an = p n2 + 4n 3 p n3 − 3n2 . [DS. 1] 14. an = [n + 3]! 2[n + 1]! − [n + 2]! . [DS. −1] 15. an = 2 + 4+· · · + 2n n + 2 − 2. [DS. −1] 16. an = n − 3 p n3 − n2. [DS. 1 3 ] 17. an = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ·· ·−2n p n2 + 1+ p 4n2 + 1 . [DS. − 1 3 ] 18. an = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + · · · + 1 n[n + 1] . Chı’ dˆa˜n. ´Ap du. ng 1 n[n + 1] = 1 n − 1 n + 1 [DS. 1]
42. n cu’ a d˜ay sˆo´ 17 19. an = 1− 1 3 + 1 9 − 1 27 + · · · + [−1]n−1 3n−1 . [DS. 3 4 ] 20. an = 2n+1 + 3n+1 2n + 3n . [DS. 3] 21. an = n + [−1]n n − [−1]n. [DS. 1] 22. an = 1 p n 1 p 1 + p 3 + 1 p 3 + p 5 + · · · + 1 p 2n − 1 + p 2n + 1 Chı’ dˆa˜n. Tru. c c˘an th´u.c o. ’ mˆa˜u sˆo´ c´ac biˆe’u th´u.c trong dˆa´u ngo˘a. c. [DS. 1 p 2 ] 23. an = 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + · · · + 1 n[n + 1][n + 2] Chı’ dˆa˜n. Tru.´o.c hˆe´t ta ch´u.ng minh r˘a`ng 1 n[n + 1][n + 2] = 1 2 h 1 n[n + 1] − 1 [n + 1][n + 2] i [DS. 1 4 ] 24. an = 1 a1a2 + 1 a2a3 + · · · + 1 anan+1 . [DS. 1 a1d ] ng v´o.i cˆong sai d6= 0, an6= 0. trong d´o {an} l`a cˆa´p sˆo´ cˆo. 25. an = [1 − 1/4][1 − 1/9] · · · [1 − 1/[n + 1]2]. [DS. 1 2 ] Chı’ dˆa˜n. B˘a`ng quy na.p to´an ho.c ch´u.ng to’ r˘a`ng an = n + 2 2n + 2 . 7.1.3 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du. .a trˆen n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. diˆe`u kiˆe. [nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass] D˜ay sˆo´ an du.o. .c go. i l`a: i] D˜ay t˘ang nˆe´u an+1 an 8 n ii] D˜ay gia’m nˆe´u an+1 an 8 n C´ac d˜ay t˘ang ho˘a.c gia’m c`on du.o. .c go. i l`a d˜ay do.n diˆe. u. Ta lu.u ´y r˘a`ng d˜ay do.n diˆe. u bao gi`o. c˜ung bi. ch˘a. t ph´ıa. Nˆe´u d˜ay n ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.
43. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ do.n diˆe. n du . u t˘ang th`ı n´o bi. ch˘a. ´o.i bo . ’ i sˆo´ ha.ng dˆa ` u tiˆen cu’ a n´o, d˜ay do.n diˆe. n trˆen bo. ’ i sˆo´ ha.ng dˆa ` u. Ta c´o di. u gia’m th`ı bi. ch˘a. nh l´y sau dˆay thu.`o.ng du.o. .c su . ’ du.ng dˆe’ t´ınh gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay do.n diˆe. u. D- nh l´y Bolzano-Weierstrass. D˜ay do.n diˆe. i. u v`a bi. ch˘a. n th`ı hˆo. i tu. . Di. nh l´y n`ay kh˘a’ ng di. nh vˆe` su. . tˆo`n ta. i cu’ a gi´o.i ha. n m`a khˆong chı’ ra du.o. .c phu . o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha. y, trong nhiˆe`u tru.`o.ng n d´o. Tuy vˆa. ho. .p khi biˆe´t gi´o.i ha. i, c´o thˆe’ chı’ ra phu.o.ng ph´ap t´ınh n cu’ a d˜ay tˆo`n ta. c t´ınh to´an thu.`o.ng du. n´o. Viˆe. .a trˆen d˘a’ ng th´u.c d´ung v´o.i mo. i d˜ay hˆo. i tu. : lim n!1 an+1 = lim n!1 an. Khi t´ınh gi´o.i ha. .a trˆen d˘a’ ng th´u.c v`u.a n du. .i ho . n ca’ la` su’. nˆeu ti ˆe.n lo. du. ng c´ach cho d˜ay b˘a`ng cˆong th´u.c truy hˆo `i. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Ch´u.nh minh r˘a`ng d˜ay: an = 1 5 + 1 + 1 52 + 1 + · · · + 1 5n + 1 hˆi . ut. o.Gia’ i. D˜ay d˜a cho do.n diˆe. u t˘ang. Thˆa. t vˆa. y v`ı: an+1 = an + 1 5n+1 + 1 nˆen an+1 an. D˜ay d˜a cho bi. ch˘a. n trˆen. Thˆa. t vˆa. y: an = 1 5 + 1 + 1 52 + 1 + 1 53 + 1 + · · · + 1 5n + 1 1 5 + 1 52 + · · · + 1 5n = 1 5 − 1 5n+1 1 − 1 5 = 1 4 1 − 1 5n 1 4 · Nhu. vˆa. y d˜ay an d˜a cho do.n diˆe. u t˘ang v`a bi. ch˘a. n trˆen nˆen n´o hˆo. i tu. . N
44. n cu’ a d˜ay sˆo´ 19 V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = 2n n! hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’ a n´o. Gia’ i. D˜ay d˜a cho c´o da.ng 2 1 , 22 2 , . . . , 2n n! , . . . D˜ay an do.n diˆe. u gia’m. Thˆa. t vˆa. y an+1 an = 2n+1 [n + 1]! : 2n n! = 2 n + 1 1 8n 1. n trˆen bo. ’ i phˆa ` n tu . Do d´o an+1 an v`a d˜ay bi. ch˘a. ’ a1. Ngo`ai ra n du . an 0, 8 n nˆen d˜ay bi. ch˘a. ´o.i. Do d´o d˜ay do.n diˆe. u gia’m v`a bi. ch˘a. n. N´o hˆo. i tu. nh l´y Weierstrass. Gia’ su. ’ a l`a gi´o.i ha. theo di. n cu’ a n´o. Ta c´o: an+1 an = 2 n + 1 ] an+1 = 2 n + 1 an. T`u. d´o lim an+1 = lim 2an n + 1 = lim 2 n + 1 lim an v`a nhu. vˆa. y: a = 0· a ! a = 0. Vˆa. y: lim 2n n! = 0. N V´ı du. 3. Cho d˜ay an = p 2, an+1 = p 2an. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’ a n´o. Gia’ i. Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng: a1 a2 a3 · · · . D´o l`a d˜ay do.n diˆe. u n du . t˘ang v`a bi. ch˘a. ´o.i bo . ’ i sˆo´ p 2. Ta ch´u.ng minh r˘a`ng n´o bi. ch˘a. n trˆen bo’.i sˆo´ 2. Thˆa. t vˆa. y a1 = p 2; a2 = p 2a1 p 2 · 2 = 2. Gia’ su. ’ d˜a ch´u.ng minh du.o..c r˘a`ng an 6 2. Khi d´o: an+1 = p 2an 6 p 2 ·2 = 2.
45. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ e. Vˆy theo tiˆen d`ˆe quy na.p ta co´ an 6 2 8 n. Nhu. thˆe´ day ˜an do.n dia. ˆn nˆen n´o c´o gi´o.i ha. u t˘ang v`a bi. ch˘a. n d´o l`a a. Ta c´o: an+1 = p 2an ] a2 n+1 = 2an. Do d´o: lim a2 n+1 = 2 lim an hay a2 − 2a = 0 v`a thu du.o. .c a1 = 0, a2 = 2. V`ı d˜ay do.n diˆe. u t˘ang 8 n nˆen gi´o.i ha. n a = 2. N V´ı du. 4. Ch´u.ng minh t´ınh hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay x1 = p a; x2 = q a + p a, . . . , xn = r a + q a + · · · + p a, a 0, n dˆa´u c˘an. Gia’ i. i] R˜o r`ang: x1 x2 x3 · · · xn xn+1 .. . ngh˜ıa l`a d˜ay d˜a cho l`a d˜ay t˘ang. ii] Ta ch´u.ng minh d˜ay xn l`a d˜ay bi. ch˘a. n. Thˆa. t vˆa. y, ta c´o: x1 = p a p a+ 1 x2 = q a + p a q a + p a+ 1 q p a+ 1 = a + 2 p a + 1. Gia’ su. ’ d˜a ch´u.ng minh du.o..c r˘a`ng: xn p a + 1. Ta cˆa `n ch´u.ng minh xn+1 p a + 1. Thˆa. t vˆa. y, ta c´o: xn+1 = p a + xn q a + p a + 1 q p a + 1 = a+ 2 p a + 1. Do d´o nh`o. ph´ep quy na.p to´an ho.c ta d˜a ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay d˜a cho bi. ch˘a.n trˆen bo’.i p a+ 1.
46. n cu’ a d˜ay sˆo´ 21 iii] Dˆe’ t`ım gi´o.i ha. n ta x´et hˆe. th´u.c xn = p a + xn−1 hay x2 n = a + xn−1. T`u. d´o: lim x2 n = lim[a + xn−1] = a + lim xn−1 hay nˆe´u gia’ thiˆe´t limxn = A th`ı: A2 = a + A ! A2 − A − a = 0 v`a A1 = 1 + p 1 + 4a 2 , A2 = 1 − p 1 + 4a 2 · V`ı A2 0 nˆen gi´a tri. A2 bi. loa.i v`ı xn 0. Do d´o; lim xn = 1 + p 1 + 4a 2 · N V´ı du. 5. T`ım gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay an du.o. .c x´ac di. nh nhu. sau: a1 l`a sˆo´ t`uy ´y m`a 0 a1 1, an+1 = an[2 − an] 8 n 1. [7.10] Gia’ i. i] Dˆa ` u tiˆen ch´u.ng minh r˘a`ng an bi. ch˘a. n, m`a cu. thˆe’ l`a b˘a`ng ph´ep quy na.p to´an ho.c ta ch´u.ng minh r˘a`ng 0 an 1. [7.11] Ta c´o 0 a1 1. Gia’ su. ’ [7.11] d˜a du.o. .c ch´u.ng minh v´o.i n v`a ta s˜e ch´u.ng minh [7.11] d´ung v´o.i n + 1 . T`u. [7.10] ta c´o; an+1 = 1− [1 − an]2. T`u. hˆe. th´u.c n`ay suy ra 0 [1 − an]2 1, v`ı 0 an 1. . aa. T`u. do ´suy ra: 0 an+1 1 8 n. ii] Bay ˆgi`o. ta chu.´ng minh r˘a`ng an l`a day ˜tang. ˘Thˆt vˆy, v`ı an 1 nˆen 2 − an 1. Chia [7.10] cho an ta thu du.o. .c: an+1 an = 2− an 1.
47. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ T`u. d´o an+1 an 8 n. Nhu . vˆa. y d˜ay an do.n diˆe. u t˘ang v`a bi. ch˘a. n. nh l´y Weierstrass, limAn tˆo`n ta. Do d´o theo di. i v`a ta k´y hiˆe. u n´o l`a a. iii] T`u. [7.10] ta c´o: lim an+1 = lim an · lim[2 − an] hay a = a[2 − a]. T`u. d´o a = 0 v`a a = 1. V`ı x1 0 v`a d˜ay an t˘ang nˆen a = 1 = liman. N V´ı du. 6. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = n! nn hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’ a n´o. Gia’ i. i] Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an do.n diˆe. u gia’m, thˆa. t vˆa. y: an+1 = [n + 1]! [n + 1]n+1 = n! [n + 1]n = n! nn · nn [n + 1]n = nn [n + 1]n an v`ı nn [n + 1]n 1 nˆen an+1 an. n du . V`ı an 0 nˆen n´o bi. ch˘a. ´o.i v`a do d´o lim an tˆo`n ta. i, k´y hiˆe. u lim an = a v`a r˜o r`ang l`a a = lim an 0. ii] Ta ch´u.ng minh a = 0. Thˆa. t vˆa. y ta c´o: [n + 1]n nn = n + 1 n n = 1 + 1 n n 1 + n n = 2. Do d´o: nn [n + 1]n 1 2 v`a an+1 1 2 an. Chuyˆe’n qua gi´o.i ha. .c a 6 a n ta du.o. 2 ] a = 0. N B`AI TˆA. P
48. n cu’ a d˜ay sˆo´ 23 1. Cho c´ac d˜ay sˆo´: 1] an = 5n2 n2 + 3 · 2] bn = [−1]n 2n n + 1 sin n. 3] cn = n cos n. H˜ay chı’ ra d˜ay n`ao bi. ch˘a. n v`a d˜ay n`ao khˆong bi. ch˘a. n. [DS. 1] v`a 2] bi. ch˘a. n; 3] khˆong bi. ch˘a. n] 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: a1 = a0 a + a0 , a2 = a1 a + a1 , a3 = a2 a + a2 , . . . , an = an−1 a + an−1 , . . . [a 1, a0 0] hˆo. i t. . u3. Ch´u.ng minh c´ac d˜ay sau dˆay hˆo. i tu. 1] an = n2 − 1 n2 2] an = 2+ 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! n du.o. Chı’ dˆa˜n. T´ınh bi. ch˘a. .c suy t`u. n! 2n−1 v`a do d´o an 6 2 + 1 2 + 1 22 + · · · + 1 2n−1 = 3− 1 2n−1 3. 4. Ch´u.ng minh c´ac d˜ay sau dˆay hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n a cu’a ch´ung 1] a1 = k p 5, an+1 = k p 5an, k 2 N. [DS. k−1 p 5] 2] an = 2n [n + 2]! Chı’ dˆa˜n. an+1 an = 2 n + 3 1. [DS. a = 0] 3] an = E[nx] n trong d´o E[nx] l`a phˆa ` n nguyˆen cu’ a nx. Chı’ dˆa˜n. Su. ’ du.ng hˆe. th´u.c: nx−1 E[nx] 6 nx. [DS. a = x] 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: an = a1/2n hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’a n´o [a 1].
49. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ [DS. a = 1. Chı’ dˆa˜n. Ch´u.ng minh r˘a`ng an l`a d˜ay do.n diˆe. u gia’m v`ı an+1 = a1/2n+1 = a1/[2n·2] = p an, an 1] 6. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = 1+ 1 22 + 1 32 + · · · + 1 n2 hˆo. i t. . uChı’ dˆa˜n. Ch´u.ng to’ r˘a`ng d˜ay do.n diˆe. n cu’a n´o u t˘ang, t´ınh bi. ch˘a. du.o. .c x´ac lˆa. p b˘a`ng c´ach su. ’ du.ng c´ac bˆa´t d˘a’ ng th´u.c: 1 n2 1 n[n − 1] = 1 n − 1 − 1 n , n 2. 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = 1 3 + 1 + 1 32 + 2 + · · · + 1 3n + n c´o gi´o.i ha. n h˜u.u ha. n. n cu’ a an du.o. Chı’ dˆa˜n. T´ınh bi. ch˘a. .c x´ac lˆa. p b˘a`ng c´ach so s´anh an v´o.i tˆo’ ng mˆo. t cˆa´p sˆo´ nhˆan n`ao d´o. 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay 1 + 1 n n+1 do.n diˆe. u gia’m v`a lim n!1 1 + 1 n n+1 = e. 9. T´ınh lim n!1 an, nˆe´u 1] an = 1 + 1 n + k n , k 2 N. [DS. e] 2] an = n n + 1 n . [DS. 1 e ] 3] an = 1 + 1 2n n . [DS. p e] 4] an = 2n + 1 2n 2n . [DS. e]
50. n cu’ a d˜ay sˆo´ 25 7.1.4 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du. .a trˆen n cˆa`n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo. diˆe`u kiˆe. i tu. [nguyˆen l´y hˆo. i tu. Bolzano-Cauchy] Trˆen dˆay ta d˜a nˆeu hai phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’ a d˜ay. Hai phu.o.ng ph´ap n`ay khˆong ´ap du.ng du.o. .c dˆo´i v´o . i c´ac d˜ay khˆong do.n u du.o. diˆe. .c cho khˆong b˘a`ng phu.o.ng ph´ap gia’ i t´ıch m`a du.o. .c cho b˘a`ng phu.o.ng ph´ap kh´ac [ch˘a’ ng ha.n b˘a`ng phu.o.ng ph´ap truy hˆo `i]. M˘a. t kh´ac, trong nhiˆe`u tru.`o.ng ho. .p ngu.`o.i ta chı’ quan tˆam dˆe´n su. . hˆo. i tu. hay phˆan k`y cu’ a d˜ay m`a thˆoi. Sau dˆay ta ph´at biˆe’u mˆo. t tiˆeu chuˆa’n c´o t´ınh chˆa´t “nˆo. i” cho ph´ep kˆe´t luˆa. i ta. . hˆo. n su. i tu. cu’ a d˜ay chı’ du. .a trˆen gi´a tri. cu’a c´ac sˆo´ ha. ng cu’ a d˜ay: Nguyˆen l´y hˆo. . D˜ay [an] c´o gi´o.i ha. i tu. n h˜u.u ha. n khi v`a chı’ khi n´o tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. n: 8 0, 9N0 = N0[] 2 N : 8n N0 v`a 8 p 2 N ] |an − an+p| . T`u. nguyˆen l´y hˆo. i tu. r´ut ra: D˜ay [an] khˆong c´o gi´o.i ha.n khi v`a chı’ khi n´o tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. n: 9 0, 8N 2 N 9 n N 9m N ! |an − am| . C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = cos 1 3 + cos 2 32 + · · · + cos n 3n , n2 N hˆo. i t. . u
51. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ Gia’ i. Ta u.´o.c lu . .ng hiˆe. o. u |an+p − an| =
52.
53.
54. 3n+1 + · · · + cos[n + p] 3n+p
55.
56.
57. + · · · + 1 3n+p = 1 3n+1 1 − 1 3p 1 − 1 3 1 2 · 1 3n 1 3n · Gia’ su’. la` sˆo´ du.o.ng tu`y y´. V`ı lim n!1 1 3n = 0 nˆen v´o.i sˆo´ 0 d´o, i sˆo´ N 2 N sao cho 8 n N ta c´o tˆo`n ta. 1 3n . Ngh˜ıa l`a nˆe´u n N, . nhiˆen t`uy ´y th`ı c`on p l`a sˆo´ tu. |an+p − an| 1 3n . Do d´o theo tiˆeu chuˆa’n hˆo. i tu. d˜ay d˜a cho hˆo. . N i tu. V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = 1 p 1 + 1 p 2 + · · · + 1 p n phˆan k`y. Gia’ i. Ta u.´o.c lu . .ng hiˆe. o. u |an − an+p| =
58.
59.
60. + 1 + 1 p n + 2 + · · · + 1 p n + p
61.
62.
63. + p 8 n, p 2 N. D˘a. t v´o . c biˆe. i p = n ta c´o |an − a2n| p n p 2 1 p 2 8 n. [*] Ta lˆa´y = 1 p 2 i nh˜u.ng gi´a tri. n N v`a . Khi d´o 8N 2 N tˆo`n ta. 9 p 2 N sao cho |an − an+p| . Thˆa. y, theo bˆa´t d˘a’ng th´u.c [*] ta t vˆa.
64. n h`am mˆo. t biˆe´n 27 chı’ cˆa `n lˆa´y sˆo´n N bˆa´t k`y v`a p = n. T`u. d´o theo mˆe. nh dˆe` phu’ di. nh nguyˆen l´y hˆo. i tu. ta c´o d˜ay d˜a cho phˆan k`y. N B`AI TˆA. P Su. ’ du.ng tiˆeu chuˆa’n hˆo. i tu. dˆe’ ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’ a d˜ay [an] nˆe´u 1. an = Pn k=1 sin n 2n , 2 R. 2. an = Pn k=1 akqk, |q| 1, |ak| M 8 k,M 0. 3. an = Pn k=1 [−1]k−1 k[k + 1] · 4. an = Pn k=1 [−1]k k! · 5. an = 0, |77{.z. . 7} nch˜u. sˆo´ . 6. an = Pn k=1 1 2k + k · Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y: 7. an = 1+ 1 2 + · · · + 1 n , n 2 N. 8. an = 1 ln2 + 1 ln3 + · · · + 1 lnn , n = 2, . . . 7.2 Gi´o.i ha. t biˆe´n n h`am mˆo. 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di. nh l´y co . ba’n vˆe` gi´o.i ha. n nh ngh˜ıa gi´o.i ha. Di. n cu’ a c´ac h`am dˆo´i v´o . i n˘am tru.`o.ng ho. .p: x ! a, x ! a ± 0, x!±1du.o. .c ph´at biˆe’u nhu . sau.
65. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 1] Sˆo´ A du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. i diˆe’m a [khi x ! a] n cu’ a h`am f[x] ta. nˆe´u 8 0 b´e bao nhiˆeu t`uy ´y t`ım du.o. .c sˆo´ = [] 0 [9 = [] 0] sao cho 8 x m`a x 2 Df {x; 0 |x − a| []} th`ı |f[x] − A| . K´y hiˆe. u: lim x!a f[x] = A. 2] Sˆo´ A du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. . an bˆen pha’ i [bˆen tr´ai] cu’ a h`am f[x] ti diˆe’m x = a nˆe´u 8 0, 9 = [] 0 sao cho v´o.i mo. i x tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. n x 2 Df {x : a x a+ } [x 2 Df {x : a − x a}] th`ı |f[x] − A| . K´y hiˆe. u: lim x!a+0 f[x] = f[a + 0] lim x!a−0 f[x] = f[a − 0] . Tu.o.ng tu. .: 3] lim x!+1 f[x] = A, 8 0 9 0 : 8 x 2 Df {x : x } ] |f[x] − A| . nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n khi x!−1du.o. Di. .c ph´at biˆe’u tu . o.ng tu. .. 4] Nˆe´u lim x!+1 f[x] = lim x!−1 f[x] = A th`ı ngu.`o.i ta viˆe´t lim x!1 f[x] = A.
66. n h`am mˆo. t biˆe´n 29 Tru.`o.ng ho. .p d˘a. t nˆe´u A = 0 th`ı h`am f[x] du.o. c biˆe. .c go. i l`a h`am vˆo c`ung b´e khi x ! a [x ! a ± 0, x!±1]. m h`am vˆo c`ung l´o.n ta. Kh´ai niˆe. i diˆe’m a c˜ung du.o. .c ph´at biˆe’u dˆo´i v´o.i ca’ n˘am tru.`o.ng ho. .p. Ch˘a’ ng ha.n, h`am f[x] du.o. .c go. i l`a h`am vˆo c`ung l´o.n ta. i diˆe’m a nˆe´u 8M 0 9 = [M] 0 : 8 x 2 Df {x : 0 |x − a| } ] |f[x]|M. Ngo`ai ra, nˆe´u f[x] 0 [f[x] 0] 8 x 2 Df {x : 0 |x−a| } th`ı ta viˆe´t lim x!a f[x] = +1 lim x!a f[x] = −1 . Ta lu.u ´y r˘a`ng c´ac k´y hiˆe. u v`u.a nˆeu chı’ ch´u.ng to’ f[x] l`a vˆo c`ung l´o.n ch´u. ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa r˘a`ng f c´o gi´o.i ha. n. Khi t´ınh gi´o.i ha. n ta thu . `o.ng su. ’ du.ng c´ac diˆe`u kh˘a’ ng di. nh sau dˆay. D- nh l´y 7.2.1. Nˆe´u c´ac gi´o.i ha. i. n lim x!a f1[x], lim x!a i h˜u . f2[x] tˆo`n ta. u ha. n th`ı 1] lim [f1[x] + f2[x]] = lim x!a x!a f1[x] + lim x!a f2[x] 2] lim [f1[x] · f2[x]] = lim x!a x!a f1[x] · lim x!a f2[x] 3] Nˆe´u lim x!a f2[x]6= 0 th`ı lim x!a f1[x] f2[x] = lim x!a f1[x] lim x!a f2[x] 4] Nˆe´u trong lˆan cˆa. n U[a; ] = {x : 0 |x − a| } ta c´o f1[x] 6 f[x] 6 f2[x] v`a lim x!a f1[x] = lim x!a f2[x] = A th`ı lim x!a f[x] = A [nguyˆen l´y bi. ch˘a. n hai phi´a]. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. Di. n h`am sˆo´ c´o thˆe’ ph´at biˆe’u du . ´o.i da. ng ngˆon ng˜u. d˜ay nhu. sau. D- nh l´y 7.2.2. Gia’ su. ’ D R, a 2 R l`a diˆe’m tu. i. cu’a n´o; A 2 R, f : D ! R. Khi d´o lim x!a f[x] = A
67. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ khi v`a chı’ khi 8[an], an 2 D {a}, an ! a f[an] ! A T`u. d´o dˆe’ ch´u.ng minh mˆo. t h`am n`ao d´o khˆong c´o gi´o.i ha. n khi x ! a, ta chı’ cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng 9[an], 9[a0 n] dˆe`u hˆo. i tu. dˆe´n a nhu.ng lim x!a f[an]6= lim x!a f0[an]. nh l´y co . C´ac di. ba’n vˆe` gi´o.i ha. n d˜a ph´at biˆe’u trˆen dˆay khˆong ´ap du. ng du.o. .c dˆo´i v´o . i c´ac gi´o.i ha. n sau dˆay khi x ! a, a 2 R. 1] lim x!a [f[x]+g[x]]; f, g l`a c´ac vˆo c`ung l´o.n [vˆo di. nh da.ng “1±1”]. 2] lim x!a f[x] g[x] ; f, g ho˘a. c dˆo`ng th`o.i l`a hai vˆo c`ung b´e, ho˘a. c dˆo`ng th`o.i l`a hai vˆo c`ung l´o.n [vˆo di. nh da.ng “0/0” ho˘a. c “1/1”]. 3] lim x!a f[x] ·g[x]; f l`a vˆo c`ung b´e, c`on g l`a vˆo c`ung l´o.n ho˘a. c ngu.o. .c la.i [vˆo di. nh da.ng “0 · 1”]. 4] lim x!a f[x] g[x] : nh da.ng “11”] a] khi f[x] ! 1, g[x]!1[vˆo di. b] khi f[x] ! 0, g[x] ! 0 [vˆo di. nh da.ng “00”] c] khi f[x]!1, g[x] ! 0 [vˆo di. nh da.ng “10”] c t´ınh gi´o.i ha. Viˆe. n trong c´ac tru.`o.ng ho. .p n`ay thu.`o.ng du.o. .c gi . ola` khu’. da. ng voˆ d.inh. Trong nhi`ˆeu tru.o`.ng ho. .p khi t´ınh gi´o.i ha. n ta thu.`o.ng su. ’ du.ng c´ac gi´o.i ha. n quan tro.ng sau dˆay: lim x!0 sin x x = 1, [7.12] lim x!0 [1 + x] 1 x = e [7.13]
68. n h`am mˆo. t biˆe´n 31 v`a c´ac hˆe. qua’ cu’ a [7.13] lim x!1 1 + 1 x x = e, [7.14] lim x!0 loga[1 + x] x = 1 lna , 0 a6= 1, [7.15] lim x!0 ax − 1 x = lna, 0 a6= 1. [7.16] C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Su. ’ du.ng [ − ] - di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!−3 x2 = 9. Gia’ i. Ta cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng 8 0, 9 0 sao cho v´o.i |x+ 3| th`ı ta c´o |x2 − 9| . Ta cˆa `n u.´o.c lu . .ng hiˆe. o. u |x2 − 9|. ta c´o |x2 − 9| = |x − 3||x + 3|. Do th`u.a sˆo´ |x − 3| khˆong bi. ch˘a. n trˆen to`an tru.c sˆo´ nˆen dˆe’ u.´o.c lu . .ng o. t´ıch do.n gia’n ho . n cu’a diˆe’m a = −3 t´u.c l`a n ta tr´ıch ra 1 - lˆan cˆa. khoa’ng [−4;−2]. V´o.i mo. i x 2 [−4;−2] ta c´o |x − 3| 7 v`a do d´o |x2 − 9| 7|x + 3|. n diˆe’m a = −3 [t´u.c l`a khoa’ng [−3 − ;−3 + ]] khˆong V`ı -lˆan cˆa. du.o. .c vu . .t ra kho’i ranh gi´o.i cu’ a 1-lˆan cˆa.n nˆen ta lˆa´y = min o. 1, 7 . Khi d´o v´o . i 0 |x + 3| ] |x2 − 9| . Do vˆa. y lim x!−3 x2 = 9. N V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!2 p 11 − x = 3. Gia’ i. Gia’ su’. 0 la` sˆo´ du.o.ng cho tru.o´.c b´e bao nhiˆeu tu`y y´. Ta x´et bˆa´t phu . o.ng tr`ınh p 11 − x − 3| . [7.17] |
69. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ Ta c´o [7.17],− p 11 − x − 3 , 8 p 11 − x − 3 − p 11 − x − 3 : , 8 : x − 11 −[3 − ]2 x − 11 −[3 + ]2 , 8 : x − 2 6 − 3 x − 2 −[6 + 2]. V`ı 6 − 2 | − [6 + ]2| = 6 + 2 nˆen ta c´o thˆe’ lˆa´y [] l`a sˆo´ 6 6 − 2. V´o . i sˆo´ d´o ta thˆa´y r˘a`ng khi x tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ ng th´u.c p 11 − x − 3| v`a 0 |x − 2| th`ı | lim x!2 p 11 − x = 3. N V´ı du. 3. T´ınh c´ac gi´o.i ha. n 1] lim x!2 2x − x2 x − 2 [vˆo di. nh da.ng 0 0 ]; 2] lim x! 4 cotg2x · cotg 4 − x [vˆo di. nh da.ng 0 · 1]; 3] lim x!1 e 1 x + 1 x x nh da.ng 11]. [vˆo di. Gia’ i 1] Ta c´o 2x − x2 x − 2 = 2x − 22 − [x2 − 22] x − 2 = 4 · 2x−2 − 1 x − 2 − x2 − 4 x − 2 · T`u. d´o suy r˘a`ng lim x!2 2x − x2 x − 2 = 4 lim x!2 2x−2 − 1 x − 2 − lim x!2 x2 − 4 x − 2 = 4ln2 − 4. 2] D˘a. t y = 4 − x. Khi d´o lim x! 4 cotg2x · cotg 4 − x = lim y!0 cotg 2 − 2y cotgy = lim y!0 sin 2y sin y · cos y cos 2y = 2.
70. n h`am mˆo. t biˆe´n 33 3] D˘a. t y = 1 x . Khi d´o lim x!1 e 1 x + 1 x x = lim y!0 [ey + y] lim y!0 1 y = e ln[ey+y] y ; lim y!0 ln[ey + y] y = lim y!0 ln[1 + [ey + y − 1]] ey + y − 1 · ey + y − 1 y = lim t!0 ln[1 + t] t · lim y!0 1 + ey − 1 y = 2. T`u. d´o suy r˘a`ng lim y!0 ey + y 1 y = e2. N V´ı du. 4. Ch´u.ng to’ r˘a`ng h`am f[x] = sin 1 x khˆong c´o gi´o.i ha. n khi x ! 0. Gia’ i. Ta lu.u ´y mˆe. nh dˆo´i v´o . nh dˆe` phu’ di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. i di. n: lim x!a f[x]6= A, 90 0 8 0 9 x [0 |x − a| ] ! |f[x0] − A| 0. Nˆe´u A = 0 ta lˆa´y 0 = 1 2 v`a xk = 2 2 + 2k . Khi d´o 8 0, 9 k 2 N : 0 xk v`a |f[xk] − 0| = |f[xk]| = 1 0 v`a nhu. vˆa. y A = 0 khˆong pha’ i l`a gi´o.i ha. n cu’a h`am d˜a cho khi x ! 0. Nˆe´u A6= 0 th`ı ta lˆa´y 0 = |A| 2 v`a xk = 1 2k . Khi d´o 8 0, 9 k 2 N : 0 xk th`ı |f[xk] − A| = |A| . Nhu . vˆa. i sˆo´ y mo. A6= 0 dˆe`u khˆong l`a gi´o.i ha. n cu’ a h`am sin 1 x khi x ! 0. N V´ı du. 5. H`am Dirichlet D[x]: D[x] = 8 : 1 nˆe´u x 2 Q, 0 nˆe´u x 2 R Q
71. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha. i 8 a 2 R. n ta. Gia’ i. Ta ch´u.ng minh r˘a`ng ta.i mo. i diˆe’m a 2 R h`am D[x] khˆong nh l´y 2. Dˆe’ l`am viˆe. tho’a m˜an Di. c d´o, ta chı’ cˆa `n chı’ ra hai d˜ay [an] v`a [a0 n] c`ung hˆo. i tu. dˆe´n a sao cho lim n!1 D[an]6= lim n!1 D[a0 n]. Dˆa ` u tiˆen ta x´et d˜ay c´ac diˆe’m h˜u.u ty’ [an] hˆo. i tu. dˆe´n a. Ta c´o D[an] = 1 8 n v`a do d´o lim n!1 D[an] = 1. Bˆay gi`o. ta x´et d˜ay [a0 n] - d˜ay c´ac diˆe’m vˆo ty’ hˆo. dˆe´n a. Ta c´o D[a0 i tu. n] = 0 8 n v`a do vˆa. y lim n!1 D[a0 n] = 0. Nhu. vˆa. y lim n!1 D[an]6= lim n!1 n]. T`u. d´o suy ra r˘a`ng ta.i diˆe’m a D[a0 h`am D[x] khˆong c´o gi´o.i ha. n . N V´ı du. 6. Gia’ su’. lim x!a f[x] = b, lim x!a g[x] = +1. Ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!a [f[x] + g[x]] = +1. Gia’ i. Ta cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng 8M 0, 9 0 sao cho 8 x : 0 |x − a| th`ı f[x] + g[x]M. V`ı lim x!a f[x] = b nˆen tˆo`n ta. n U[a, 1] cu’a diˆe’m a sao cho i 1-lˆan cˆa. |f[x]| C, x6= a [7.18] trong d´o C l`a h˘a`ng sˆo´ du.o.ng n`ao d´o. Gia’ su’. M 0 la` sˆo´ cho tru.o´.c tu`y y´. V`ı lim x!a g[x] = +1 nˆen dˆo´i v´o.i sˆo´ M + C, 9 0 [ 6 1] sao cho 8 x : 0 |x − a| th`ı g[x] M + C [7.19] T`u. c´ac bˆa´t d˘a’ ng th´u.c [7.18] v`a[7.19] ta thu du.o. .c l`a: v´o.i x tho’a n 0 |x − a| 6 1 th`ı m˜an diˆe`u kiˆe. f[x] + g[x] g[x] − |f[x]|M + C − C = M. N B`AI TˆA. P
72. n h`am mˆo. t biˆe´n 35 1. Su. ’ du.ng di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n h`am sˆo´ dˆe’ ch´u.ng minh c´ac d˘a’ ng th´u.c sau dˆay: 1] lim x! 6 sin x = 1 2 ; 2] lim x! 2 sin x = 1; 3] lim x!0 x sin 1 x = 0; 4] lim x!+1 arctgx = 2 . Chı’ dˆa˜n. D`ung hˆe. th´u.c 2 − arctgx tg 2 − arctgx = 1 x ] 5] lim x!1 x − 1 3x + 2 = 1 3 ; 6] lim x!+1 logax = +1; 7] lim x!+1 p x2 + 1 − x = 0; 8] lim x!−5 x2 + 2x − 15 x + 5 = −8; 9] lim x!1 [5x2 − 7x + 6] = 4; 10] lim x!2 x2 − 3x + 2 x2 + x − 6 = 1 5 ; 11] lim x!+1 x sin x x2 − 100x + 3000 = 0. 2. Ch´u.ng minh c´ac gi´o.i ha. n sau dˆay khˆong tˆo`n ta. i: 1] lim x!1 sin 1 x − 1 ; 2] lim x!1 sin x; 3] lim x!o 2 1 x ; 4] lim x!0 e 1 x ; 5] lim x!1 cos x. Nˆe´u tu . ’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ cu’ a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ dˆe`u triˆe. t tiˆeu ta.i diˆe’m x = a th`ı c´o thˆe’ gia’n u.´o.c phˆan th´u.c cho x − a [6= 0] mˆo. t ho˘a. c mˆo. t sˆo´ lˆa ` n. Su. ’ du. ng phu.o.ng ph´ap gia’n u.´o.c d´o, h˜ay t´ınh c´ac gi´o.i ha. n sau dˆay [3-10]. 3. lim x!7 2x2 − 11x − 21 x2 − 9x + 14 [DS. 17 5 ] 4. lim x!1 x4 − x3 + x2 − 3x + 2 x3 − x2 − x + 1 [DS. 2] 5. lim x!1 x4 + 2x2 − 3 x2 − 3x + 2 [DS. −8] 6. lim x!1 xm − 1 xn − 1 ; m, n 2 Z [DS. m n ]
73. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 7. lim x!1 1 1 − x − 3 1 − x3 [DS. −1] 8. lim x!1 a 1 − xa − b 1 − xb ; a, b 2 N [DS. a − b 2 ] 9. lim x!1 [xn − 1][xn−1 − 1] · · · [xn−k+1 − 1] [x − 1][x2 − 1] · · · [xk − 1] [DS. Ck n] 10. lim x!a [xn − an] − nan−1[x − a] [x − a]2 , n 2 N [DS. n[n − 1] 2 an−1] Chı’ dˆa˜n. Dˆo’i biˆe´n x − a = t. C´ac b`ai to´an sau dˆay c´o thˆe’ du.a vˆe` da.ng trˆen nh`o. ph´ep dˆo’i biˆe´n [11-14] 11. lim x!1 p x q − 1 x r s − 1 [DS. ps qr ] 12. lim x!−1 1 + 3 p x 1 + 5 p x [DS. 5 3 ] 13. lim x!0 3 3 p 1 + x − 4 4 p 1 + x + 1 2 − 2 p 1 + x + x [DS. 1 6 ] 14. lim x!0 n p 1 + x − 1 x [DS. 1 n ] Mˆo. t trong c´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh gi´o.i ha. n cu’ a c´ac biˆe’u th´u.c vˆo ty’ l`a chuyˆe’n vˆo ty’ t`u. mˆa˜u sˆo´ lˆen tu. ’ sˆo´ ho˘a. c ngu.o. .c la. i [15-26] 15. lim x!0 p 1 + x + x2 − 1 x [DS. 1 2 ] 16. lim x!2 p 3 + x + x2 − p 9 − 2x + x2 x2 − 3x + 2 [DS. 1 2 ] 17. lim x!0 5x 3 p 1 + x − 3 p 1 − x [DS. 15 2 ] 18. lim x!0 3 p 1 + 3x − 3 p 1 − 2x x + x2 [DS. 2] 19. lim x!1 p x2 + 1 − p x2 − 1 [DS. 0]
74. n h`am mˆo. t biˆe´n 37 20. lim x!1 3 p 1 − x3 + x [DS. 0] 21. lim x!+1 p x2 + 5x + x [DS. +1] 22. lim x!−1 p x2 + 5x + x [DS. − 5 2 ] 23. lim x!+1 p x2 + 2x − x [DS. 1] 24. lim x!−1 p x2 + 2x − x . [DS. +1] 25. lim x!1 h [x + 1] 2 3 − [x − 1] 2 3 i [DS. 0] 26. lim x!+1 n p [x + a1][x + a2] · · · [x + an] − x [DS. a1 + a2 + · · · + an n ] Khi gia’ i c´ac b`ai to´an sau dˆay ta thu.`o.ng su. ’ du.ng hˆe. th´u.c lim t!0 [1 + t] − 1 t = [27-34] 27. lim x!0 5 p 1 + 3x4 − p 1 − 2x 3 p 1 + x − p 1 + x [DS. −6] 28. lim x!0 n p a + x − n p a − x x , n 2 N [DS. 2 n a 1 n −1] 29. lim x!0 p 1 + 3x + 3 p 1 + x − 5 p 1 + x − 7 p 1 + x 4 p 1 + 2x + x − 6 p 1 + x [DS. 313 280 ] 30. lim x!0 3 p a2 + ax + x2 − 3 p a2 − ax + x2 p a + x − p a − x [DS. 3 2 a 1 6 ] 31. lim x!0 p 1 + x2 + x n − p 1 + x2 − x n x [DS. 2n] 32. lim x!0 n p a + x − n p a − x x , n 2 N, a 0 [DS. 2 n p a na ] 33. lim x!0 1 + ax − k p 1 + bx n p x , n 2 N, a 0 [DS. ak − bn nk ] 34. lim x!1 n p [1 + x2][2 + x2] · · · [n + x2] − x2 [DS. n + 1 2 ]
75. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ Khi t´ınh gi´o.i ha. n c´ac biˆe’u th´u.c lu . .ng gia´c ta thu.o`.ng su’. du.ng cˆong o. th´u.c co . ba’n lim x!0 sin x x = 1 c`ung v´o.i su. . kˆe´t ho. .p c´ac phu.o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha. n da˜ nˆeu o’. trˆen [35-56]. 35. lim x!1 x 2 x sin [DS. 0] 36. lim x!1 arctgx 2x [DS. 0] 37. lim x!−2 x2 − 4 arctg[x + 2] [DS. −4] 38. lim x!0 tgx − sin x x3 [DS. 1 2 ] 39. lim x!0 xcotg5x [DS. 1 5 ] 40. lim x!1 [1 − x]tg x 2 [DS. 2 ] 41. lim x!1 1 − x2 sin x [DS. 2 ] 42. lim x! sin x 2 − x2 [DS. 1 2 ] 43. lim x!0 cos mx − cos nx x2 [DS. 1 2 [n2 − m2]] 44. lim x!1 x2 h cos 1 x − cos 3 x i [DS. 4] 45. lim x!0 sin[a + x] + sin[a − x] − 2 sin a x2 [DS. −sin a] 46. lim x!0 cos[a + x] + cos[a − x] − 2 cos a 1 − cos x [DS. −2 cos a] 47. lim x!1 sin p x2 + 1 − sin p x2 − 1 [DS. 0]
76. n h`am mˆo. t biˆe´n 39 48. lim x!0 p cos x − 1 x2 [DS. − 1 4 ] 49. lim x! 2 cos x 2 − sin x 2 cos x [DS. 1 p 2 ] 50. lim x! 3 sin x − 3 1 − 2 cos x [DS. 1 p 3 ] 51. lim x! 4 p 2 cos x − 1 1 − tg2x [DS. 1 4 ] 52. lim x!0 p 1 + tgx − p 1 − tgx sin x [DS. 1] 53. lim x!0 p m cos x − m p cos
77.
78. 2m ] 54. lim x!0 cos x − 3 p cos x sin2 x [DS. − 1 3 ] 55. lim x!0 1 − cos x p cos 2x tgx2 [DS. 3 2 ] 56. lim x!0 p 1 + x sin x − cos x sin2 x 2 [DS. 4] Dˆe’ t´ınh gi´o.i ha. n lim x!a [f[x]]'[x], trong d´o f[x] ! 1, '[x] ! 1 khi x ! a ta c´o thˆe’ biˆe´n dˆo’i biˆe’u th´u.c [f[x]]'[x] nhu. sau: lim x!a [f[x]]'[x] = lim x!a n [1 + [f[x] − 1]] 1 f[x]−1 o'[x][f[x]−1] = e lim x!a '[x][f[x]−1] o’. daˆy lim x!a '[x][f[x]−1] du.o. .c t´ınh theo c´ac phu.o.ng ph´ap d˜a nˆeu trˆen dˆay. Nˆe´u lim x!a '[x][f[x] − 1] = A th`ı lim x!a [f[x]]'[x] = eA [57-68].
79. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 57. lim x!1 2x + 3 2x + 1 x+1 [DS. e] 58. lim x!1 x2 − 1 x2 x4 [DS. 0] 59. lim x!0 [1 + tgx]cotgx [DS. e] 60. lim x!0 [1 + 3tg2x]cotg2x [DS. e3] 61. lim x!0 cos x cos 2x 1 x2 [DS. e 3 2 ] 62. lim x! 2 [sin x] 1 cotgx [DS. −1] 63. lim x! 2 [tgx]tg2x [DS. e−1] 64. lim x!0 h tg 4 + x icotg2x [DS. e] 65. lim x!0 cos x 1 x2 [DS. e−1 2 ] 66. lim x!0 cos 3x 1 sin2 x [DS. e−9 2 ] 67. lim x!0 1 + tgx 1 + sin x 1 sin x [DS. 1] 68. lim x! 4 sin 2x tg22x [DS. e−1 2 ] Khi t´ınh gi´o.i ha. n c´ac biˆe’u th´u.c c´o ch´u.a h`am lˆodarit v`a h`am m˜u ta o . . athu.o`.ng su’. du.ng ca´c coˆng thu´.c [7.15] va` [7.16] va` ca´c phu.o.ng pha´p t´ınh gio.´i hn da ˜nˆeu ’ trˆen [69-76]. 69. lim x!e lnx − 1 x − e [DS. e−1] 70. lim x!10 lgx − 1 x − 10 [DS. 1 10ln10 ] 71. lim x!0 ex2 − 1 p 1 + sin2 x − 1 [DS. 2] 72. lim x!0 ex2 − cos x sin2 x [DS. 3 2 ]
80. tu. c 41 73. lim x!0 ex − e
81. − sin
82. 74. lim x!0 esin 5x − esin x ln[1 + 2x] [DS. 2] 75. lim x!0 ax2 − bx2 ln cos 2x , a 0, b 0 [DS. − 1 2 ln a b ] 76. lim x!0 hasin x + bsinx 2 i1 x , a 0, b 0 [DS. p ab] 7.3 H`am liˆen tu. c D-i. nh ngh˜ıa 7.3.1. H`am f[x] x´ac di. n cu’a diˆe’m x0 nh trong lˆan cˆa. du.o. .c go. i diˆe’m d´o nˆe´u i l`a liˆen tu.c ta. lim x!x0 f[x] = f[x0]. nh ngh˜ıa 7.3.1 tu.o.ng du.o.ng v´o.i Di. D-i. nh ngh˜ıa 7.3.1. H`am f[x] x´ac di. n cu’a diˆe’m x0 nh trong lˆan cˆa. du.o. .c go. i diˆe’m x0 nˆe´u i l`a liˆen tu.c ta. 8 0 9 0 8 x 2 Df : |x − x0| ] |f[x] − f[x0]| . u x − x0 = x du.o. Hiˆe. .c go. i l`a sˆo´ gia cu’a dˆo´i sˆo´, c`on hiˆe. u f[x] − f[x0] = f du.o. .c go. i l`a sˆo´ gia cu’a h`am sˆo´ ta. i x0 tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ gia x, t´u.c l`a x = x − x0, f[x0] = f[x0 +x] − f[x0]. V´o.i ngˆon ng˜u. sˆo´ gia di. nh ngh˜ıa 7.3.1 c´o da.ng D-i. nh ngh˜ıa 7.3.1. H`am f[x] x´ac di. nh trong lˆan cˆa. n cu’a diˆe’m x0 du.o. .c go. i x0 nˆe´u i l`a liˆen tu.c ta. lim x!0 f = 0.
83. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ B˘a`ng “ngˆon ng˜u. d˜ay” ta c´o di. nh ngh˜ıa tu.o.ng du.o.ng D-i. nh ngh˜ıa 7.3.1. H`am f[x] x´ac di. n diˆe’m x0 2 Df nh trong lˆan cˆa. du.o. .c go. i diˆe’m x0 nˆe´u i l`a liˆen tu.c ta. 8[xn] 2 Df : xn ! x0 ] lim n!1 f[xn] = f[x0]. D-i. n cˆa`n v`a du’ dˆe’ h`am f[x] liˆen tu.c ta. nh l´y 7.3.1. Diˆe`u kiˆe. i diˆe’m x0 l`a h`am f[x] tho’a m˜ac c´ac diˆe`u kiˆe. n sau dˆay: i] H`am pha’ i x´ac di.nh ta.i mˆo. n n`ao d´o cu’a diˆe’m x0. t lˆan cˆa. ii] H`am c´o c´ac gi´o.i ha. t ph´ıa nhu. nhau n mˆo. lim x!x0−0 f[x] = lim x!x0+0 f[x]. iii] lim x!x0−0 = lim x!x0+0 = f[x0]. Gia’ su. ’ h`am f[x] x´ac di. nh trong nu. ’ a lˆan cˆa. n bˆen pha’ i [bˆen tr´ai] cu’ a diˆe’m x0, ngh˜ıa la` trˆen nu’.a khoa’ng [x0, x0 + ] [tu.o.ng u´.ng: trˆen [x0 − , x0]] n`ao d´o. H`am f[x] du.o. .c go. i l`a liˆen tu.c bˆen pha’i [bˆen tr´ai] ta.i diˆe’m x0 nˆe´u f[x0 + 0] = f[x0] [tu.o.ng ´u.ng: f[x0 − 0] = f[x0]]. D- i. i diˆe’m x0 2 Df khi v`a chı’ khi nh l´y 7.3.2. H`am f[x] liˆen tu.c ta. n´o liˆen tu.c bˆen pha’i v`a bˆen tr´ai ta.i diˆe’m x0. H`am liˆen tu.c ta. t diˆe’m c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau. i mˆo. i diˆe’m x0 th`ı f[x] ± g[x], I] Nˆe´u c´ac h`am f[x] v`a g[x] liˆen tu.c ta. f[x] · g[x] liˆen tu.c ta. i x0 nˆe´u g[x0]6= 0. i x0, v`a f[x]/g[x] liˆen tu.c ta. II] Gia’ su. ’ h`am y = '[x] liˆen tu. c ta. i x0, c`on h`am u = f[y] liˆen tu.c ta. .p u = f['[x]] liˆen tu.c ta. i y0 = '[x0]. Khi d´o h`am ho. i x0. T`u. d´o suy ra r˘a`ng lim x!x0 f['[x]] = f lim x!x0 '[x] . i diˆe’m x0 nˆe´u n´o x´ac di. H`am f[x] go.i l`a gi´an doa.n ta. nh ta.i nh˜u.ng . ediˆe’m g.oa` ˆn x0 bao nhiˆeu t`uy y ´nhu.ng ta.i ch´ınh x0 h`am khong ˆtho’a man ˜´ıt nhaˆ´t mˆt trong cac ´diˆe`u kiˆn liˆen tu. c o’. trˆen.
84. tu. c 43 Diˆe’m x0 du.o. .c go. i l`a 1] Diˆe’m gi´an doa. n khu. ’ du.o. .c cu’ a h`am f[x] nˆe´u tˆo`n ta. i lim x!x0 f[x] = b nhu.ng ho˘a. nh ta.i diˆe’m x0 ho˘a. c f[x] khˆong x´ac di. c f[x0]6= b. Nˆe´u bˆo’ sung gi´a tri. f[x0] = b th`ı h`am f[x] tro. ’ nˆen liˆen tu. c ta. i x0, t´u.c l`a khu. ’ du.o. gi´an doa.n c´o thˆe’ .c. 2] Diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u I cu’ a h`am f[x] nˆe´u 9 f[x0+0] v`a 9 f[x0−0] nhu.ng f[x0 + 0]6= f[x0 − 0]. 3] Diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u II cu’ a h`am f[x] nˆe´u ta. i diˆe’m x0 mˆo. t trong c´ac gi´o.i ha. n lim x!x0+0 f[x] ho˘a. c lim x!x0−0 f[c] khˆong tˆo `n ta. i. H`am f[x] du.o. .c go. i l`a h`am so. cˆa´p nˆe´u n´o du.o. .c cho bo . t biˆe’u ’i mˆo. th´u.c gia’ i t´ıch lˆa. p nˆen nh`o. mˆo. t sˆo´ h˜u.u ha. n ph´ep t´ınh sˆo´ ho.c v`a c´ac .p h`am thu. ph´ep ho. .c hiˆe. n trˆen c´ac h`am so. cˆa´p co . ba’n. Mo. i h`am so. cˆa´p x´ac di. n cu’a mˆo. nh trong lˆan cˆa. t diˆe’m n`ao d´o l `a i diˆe’m d´o. liˆen tu.c ta. Lu.u ´y r˘a`ng h`am khˆong so. cˆa´p c´o thˆe’ c´o gi´an doa.n ta. i nh˜u.ng diˆe’m nh c˜ung nhu. ta.i nh˜u.ng diˆe’m m`a n´o x´ac di. n´o khˆong x´ac di. nh. D˘a.c biˆe.t l`a nˆe´u h`am du.o. .c cho bo . ’ i nhiˆe`u biˆe’ u th´u.c gia’ i t´ıch kh´ac nhau trˆen c´ac i nh˜u.ng diˆe’m thay dˆo’i khoa’ng kh´ac nhau th`ı n´o c´o thˆe’ c´o gi´an doa.n ta. biˆe’u th´u.c gia’ i t´ıch. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f[x] = sin[2x−3] liˆen tu. c 8 x 2 R. Gia’ i. Ta lˆa´y diˆe’m x0 2 R t`uy ´y. X´et hiˆe.u sin[2x − 3] − sin[2x0 − 3] = 2 cos[x + x0 − 3] sin[x − x0] = [x]. . V`ı | o a. cos[x + x0 − 3]| 6 1 v`a sin[x − x0]| |x − x0| nˆen khi x ! x0 h`am sin[x − x0] l`a h`am vo ˆc`ung b´e. T`u. do ´suy ra`˘ng [x] l`a t´ıch cu’ a h`am bi. ch˘n v´i vo ˆc`ung b´e v`a lim x!x0 sin[2x − 3] = sin[2x0 − 3]. N
85. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f[x] = p x + 4 liˆen tu.c ta. i diˆe`m x0 = 5. Gia’ i. Ta c´o f[5] = 3. Cho tru.´o.c sˆo´ 0. Theo di. nh ngh˜ıa 1 ta lˆa. p hiˆe. u f[x] − f[5] = p x+ 4 − 3 v`a u.´o.c lu . .ng mˆodun cu’ a n´o. Ta o. c´o p x + 4 − 3| = | |x − 5| p x + 4 + 3| | |x − 5| 3 [*] Nˆe´u ta cho.n = 3 th`ı v´o.i nh˜u.ng gi´a tri. x m`a |x − 5| = 3 p x + 4 −3| . T`u. d´o suy r˘a`ng h`am f[x] liˆen tu.c ta. ta s˜e c´o | i diˆe’m x0 = 5. N V´ı du. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f[x] = . p x aliˆen tu. c bˆen pha’i ti diˆe’m x0 = 0. p x−0| Gia’ i. Gia’ su. ’ cho tru.´o.c sˆo´ 0 t`uy ´y. Bˆa´t d˘a’ ng th´u.c | tu.o.ng du.o.ng v´o.i bˆa´t d˘a’ ng th´u.c 0 6 x 2. Ta lˆa´y = 2. Khi d´o t`u. bˆa´t d˘a’ ng th´u.c 0 6 x suy r˘a`ng p x . Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa r˘a`ng lim x!0+0 p x = 0. N V´ı du. 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am y = x2 liˆen tu. c trˆen to`an tru.c sˆo´. Gia’ i. Gia’ su’. x0 2 R la` diˆe’m tu`y y´ trˆen tru. c soˆ´ va` 0 la` sˆo´ cho tru.´o.c t`uy ´y. Ta x´et hiˆe. u |x2 − x20 | = |x + x0||x − x0| v`a cˆa `n u.´o.c lu . .ng n´o. V`ı |x + x0| khˆong bi. ch˘a. o. n trˆen R nˆen dˆe’ u.´o.c lu.o. .ng hiˆe. u trˆen ta x´et mˆo. t lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’ a x0, ch˘a’ ng ha.n U[x0; 1] = [x0 − 1; x0 + 1]. V´o.i x 2 U[x0; 1] ta c´o |x + x0| = |x − x0 + 2x0| 6 |x − x0| + 2|x0| 1 + 2|x0| v`a do d´o |x2 − x20 | [1 + 2|x0|]|x − x0|.
86. tu. c 45 n cu’a diˆe’m x0 cˆa ` n pha’i n˘a`m trong U[x0; 1] nˆen ta lˆa´y V`ı -lˆan cˆa. = min 1 + 2|x0| v`a v´o.i |x − x0| = min ; 1 1 + 2|x0| ta s˜e ; 1 c´o |x2 − x20 | . N V´ı du. nh v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’ a h`am 5. X´ac di. f[x] = 1 1 + 2 1 x−1 · nh 8 x6= 1. Nhu. vˆa. Gia’ i. H`am d˜a cho x´ac di. y diˆe’m gi´an doa.n l`a diˆe’m x0 = 1. Nˆe´u [xn] l`a d˜ay hˆo. i tu. dˆe´n 1 v`a xn 1 th`ı 1 xn − 1 l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v´o . i sˆo´ ha.ng dˆe`u du . i mo. o.ng. Do d´o 1 + 2 1 xn−1 l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n. T`u. d´o suy r˘a`ng f[xn] = 1 1 + 2 1 xn−1 l`a d˜ay vˆo c`ung b´e, t´u.c l`a lim n!1 f[xn] = 0 v`a lim x!1+0 f[x] = 0. Nˆe´u [xn] ! 1 v`a xn 1 th`ı 1 xn − 1 l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v´o . i c´ac sˆo´ ha.ng dˆe`u ˆam. Do vˆa. y 2 1 xn−1 ! 0 [n!1] v`a f[xn] = 1 1 + 2 1 xn−1 !1 [n!1], t´u.c l`a lim x!1−0 u I. N f[x] = 1. Do d´o diˆe’m x0 = 1 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ V´ı du. nh v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’ a h`am 6. X´ac di. f[x] = 8 : x cos 1 x khi x 0 0 khi x = 0 cos 1 x khi x 0.
87. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ Gia’ i. Diˆe’m gi´an doa.n c´o thˆe’ c´o cu’ a h`am l`a x0 = 0. Ta x´et c´ac gi´o.i t ph´ıa ta.i diˆe’m x0 = 0. ha.n mˆo. i] Ta ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!0−0 f[x] = 0. Thˆa. y, nˆe´u d˜ay [xn] t vˆa. hˆo. i tu. dˆe´n 0 v`a xn 0 8 n th`ı
88.
89.
90. = |xn| cos 1 xn
91.
92.
93. |xn| ! 0 khi n!1 nˆen lim n!1 f[xn] = 0. ii] H`am d˜a cho khˆong c´o gi´o.i ha. i diˆe’m x0 = 0. Dˆe’ n bˆen pha’i ta. ch´u.ng minh diˆe`u d´o t a x´et hai d˜ay hˆo. i tu. p nˆen t`u. c´ac d˜ay dˆe´n 0 lˆa. sˆo´ du.o.ng xn = 1 2 + n v`a x0 n = 1 2n . Nˆe´u nhu . h`am f c´o gi´o.i ha. n i diˆe’m x0 = 0 th`ı hai d˜ay f[xn] v`a f[x0 bˆen pha’i ta. n] pha’i hˆo. i tu. dˆe´n t gi´o.i ha. c`ung mˆo. n. Thˆe´ nhu.ng f[x0 n] = cos2n = 1 hˆo. i tu. dˆe´n 1, c`on f[xn] = cos 2 + n = 0 hˆo. i tu. dˆe´n 0. T`u. d´o suy r˘a`ng h`am c´o gi´an doa.n kiˆe’ i diˆe’m x0 = 0. N u II ta. V´ı du. 7. T`ım v`a phˆan loa.i c´ac diˆe’m gi´an doa.n cu’ a c´ac h`am: 1] y = [signx]2; 2] y = [x] Gia’ i 1] T`u. di. nh ngh˜ıa h`am signx suy r˘a`ng [signx]2 = 8 : 1, x6= 0 0, x= 0. T`u. d´o suy r˘a`ng h`am y = [signx]2 liˆen tu. c 8 x6= 0 [h˜ay du. .ng d`oˆ o. . thi. cu’ a u h`am] v`a ta.i diˆe’m x0 = 0 ta co ´y[0 − 0] = y[0 + 0]6= y[0]. Diˆe`u do ´co ´ngh˜ıa r˘a`ng x0 = 0 l`a diˆe’m gian ´doa.n kh’ du..c. 2] Gia’ su’. n 2 Z. Nˆe´u n − 1 6 x n th`ı [x] = n − 1, nˆe´u n 6 x n + 1 th`ı [x] = n [h˜ay du. .ng dˆo` thi. cu’ a h`am phˆa ` n nguyˆen [x]]. Nˆe´u x062 Z th`ı tˆo`n ta. n cu’a diˆe’m x0 [khˆong ch´u.a c´ac sˆo´ i lˆan cˆa.
94. tu. c 47 nguyˆen] sao cho ta.i d´o h`am b˘a`ng h˘a`ng sˆo´. Do vˆa. y n´o liˆen tu.c ta. i x0. Nˆe´u x0 = n l`a sˆo´ nguyˆen th`ı [n − 0] = n − 1, [n + 0] = n. T`u. d´o suy r˘a`ng x0 = n l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I. N V´ı du. 8. Kha’o s´at su. . liˆen tu. c v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’ a c´ac h`am 1] f[x] = x2 x , 2] f[x] = e−1 x , 3] f[x] = 8 x nˆe´u x 6 1 lnx nˆe´u x 1. : Gia’ i 1] H`am f[x] = x nˆe´u x6= 0 v`a khˆong x´ac di. nh khi x = 0. V`ı 8 a ta c´o lim x!a x = a nˆen khi a6= 0: lim x!a f[x] = a = f[a] v`a do vˆa. y h`am f[x] liˆen tu. c 8 x6= 0. Ta.i diˆe’m x = 0 ta c´o gi´an doa.n khu. ’ du.o. . .c av`ı tˆo`n ti lim x!0 f[x] = lim x!0 x = 0. x l`a h`am so. cˆa´p v`ı n´o l`a ho. 2] H`am f[x] = e−1 .p cu’ a c´ac h`am y = −x−1 v`a f = ey. Hiˆe’ n nhiˆen l`a h`am f[x] x´ac di.nh 8 x6= 0 v`a do d´o n´o liˆen tu. c 8 x6= 0. V`ı h`am f[x] x´ac di. n diˆe’m nh trong lˆan cˆa. nh ta.i ch´ınh diˆe’m x = 0 nˆen diˆe’m x = 0 l`a diˆe’m x = 0 v`a khˆong x´ac di. gi´an doa. n. Ta t´ınh f[0 + 0] v`a f[0 − 0]. Ta x´et d˜ay vˆo c`ung b´e t`uy ´y [xn] sao cho xn 0 8 n. V`ı lim x!1 − 1 xn = −1nˆen lim x!1 e− 1 xn = 0. T`u. d´o suy r˘a`ng lim x!0+0 e−1 x = 0. Bˆay gi`o. ta x´et d˜ay vˆo c`ung b´e bˆa´t k`y [x0 n] sao cho x0 0 0 8 n. V`ı lim n!1 − 1 x0 n = +1 nˆen lim x!0 − 1 e x0 n = +1. Do d´o lim x!0−0 e−1 x = +1 t´u.c l`a f[0 − 0] = +1. Nhu. vˆa. y gi´o.i ha. i diˆe’m x = 0 khˆong tˆo`n n bˆen tr´ai cu’ a h`am f[x] ta. ta.i do d´o diˆe’m x = 0 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u II.
95. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 3] Ta ch´u.ng minh r˘a`ng f[x] liˆen tu.c ta. i diˆe’m x = a6= 1. Ta lˆa´y n cu’a diˆe’m x = a khˆong ch´u.a diˆe’m |a − 1|, 0. Khi d´o -lˆan cˆa. x = 1 nˆe´u |a − 1|. Trong -lˆan cˆa. n n`ay h`am f[x] ho˘a. c tr`ung v´o.i h`am '[x] = x nˆe´u a 1 ho˘a. c tr`ung v´o.i h`am '[x] = lnx nˆe´u a 1. V`ı c´ac h`am so. cˆa´p co . ba’n n`ay liˆen tu.c ta. i diˆe’m x = a nˆen h`am f[x] i diˆe’m x = a6= 1. liˆen tu.c ta. i diˆe’m x = a = 1. Dˆe’ l`am Ta kha’o s´at t´ınh liˆen tu.c cu’ a h`am f[x] ta. c d´o ta cˆa ` n t´ınh c´ac gi´o.i ha. viˆe. t ph´ıa cu’ a f[x] ta. n mˆo. i diˆe’m x = a = 1. Ta c´o f[1 + 0] = lim x!1+0 f[x] = lim x!1+0 lnx = 0, f[1 − 0] = lim x!1−0 f[x] = lim x!1−0 x = lim x!1 x = 1. Nhu. vˆa. y f[1 +0]6= f[1−0] v`a do d´o h`am f[x] c´o gi´an doa.n kiˆe’u I ta. i x = a = 1. B`AI TˆA. P Kha’o s´at t´ınh liˆen tu. c v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’ a h`am 1. f[x] = |2x − 3| 2x − 3 [DS. H`am x´ac di. nh v`a liˆen tu. c 8 x6= 3 2 ; ti . ax0 = 3 2 h`am c´o gi´an doa.n kiˆe’ u I] 2. f[x] = 8 : 1 x nˆe´u x6= 0 1 nˆe´u x = 0. [DS. H`am liˆen tu. c 8 x 2 R] i hay khˆong gi´a tri. a dˆe’ h`am f[x] liˆen tu.c ta. 3. C´o tˆo`n ta. i x0 nˆe´u: 1] f[x] = 8 : 4 · 3x nˆe´u x 0 2a + x khi x 0. [DS. H`am f liˆen tu. c 8 x 2 R nˆe´u a = 2]
96. tu. c 49 2] f[x] = 8 : x sin 1 x , x6= 0; a, x = 0, x0 = 0. . [DS. a = 0] 3] f[x] = 8 : 1 + x 1 + x3, x6= −1 a, x = −1, x0 = −1. [DS. a = 1 3 ] 4] f[x] = 8 : cos x, x 6 0; a[x − 1], x 0; x0 = 0. [DS. a = −1] 4. f[x] = | sin x| sin x i x = k, k 2 Z v`ı: [DS. H`am c´o gi´an doa.n ta. f[x] = 8 : 1 nˆe´u sinx 0 −1 nˆe´u sinx 0] 5. f[x] = E[x] − E[−x] [DS. H`am c´o gi´an doa.n khu . ’ du.o. .c ta. i x = n, x 2 Z v`ı: f[x] = 8 : −1 nˆe´u x = n 0 nˆe´u x6= n.] 6. f[x] = 8 : e1/x khi x6= 0 0 khi x = 0. [DS. Ta.i diˆe’m x = 0 h`am c´o gi´an doa.n kiˆe’u II; f[−0] = 0, f[+0] = 1] T`ım diˆe’m gi´an doa.n v`a t´ınh bu.´o.c nha’y cu’ a c´ac h`am: 7. f[x] = x + x + 2 |x + 2| [DS. x = −2 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I, [−2] = 2]
97. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 8. f[x] = 2|x − 1| x2 − x3 [DS. x = 0 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u II, x = 1 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I, [1] = −4] H˜ay bˆo’ sung c´ac h`am sau daˆy ta. i diˆe’m x = 0 dˆe’ chu´ng tro’. tha`nh liˆen tu. c 9. f[x] = tgx x [DS. f[0] = 1] 10. f[x] = p 1 + x − 1 x [DS. f[0] = 1 2 ] 11. f[x] = sin2 x 1 − cos x [DS. f[0] = 2] u cu’ a c´ac gi´o.i ha. 12. Hiˆe. t ph´ıa cu’ a h`am f[x]: n mˆo. d = lim x!x0+0 f[x] − lim x!x0−0 f[x] du.o. .c go. i l`a bu.´o.c nha’y cu’ a h`am f[x] ta. i diˆe’m x0. T`ım diˆe’m gi´an doa. n v`a bu.´o.c nha’y cu’ a h`am f[x] nˆe´u: 1] f[x] = 8 : − 1 2 x2 nˆe´u x 6 2, x nˆe´u x 2. [DS. x0 = 2 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I; d = 4] 2] f[x] = 8 : p 2 x nˆe´u 0 6 x 6 1; 4 − 2x nˆe´u 1 x 6 2, 5; 2x −7 nˆe´u 2, 5 6 x +1. [DS. x0 = 2,5 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I; d = −1] 3] f[x] = 8 : 2x + 5 nˆe´u −1 x −1, 1 x nˆe´u − 1 6 x +1. [DS. x0 = 0 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u II; diˆe’m x0 = −1 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u I, d = −4]
98. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 51 7.4 Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 1. Gia’ su. ’ u = f[M] = f[x, y] x´ac di. nh trˆen tˆa. .p D. Gia’ su’. p ho. M0[x0, y0] l`a diˆe’m cˆo´ di. nh n`ao d´o cu’a m˘a. t ph˘a’ ng v`a x ! x0, y ! y0, khi d. u o ´diˆe’m M[x, y] ! M0[x0, y0]. Diˆe`u n`ay tu.o.ng du.o.ng vo.´i khoa’ng cach ´[M,M0] giu.˜a hai diˆe’m M v`a M0 d`a ˆn dˆe´n 0. Ta lu y ´r˘a`ng [M,M0] = [[x − x0]2 + [y − y0]2]1/2. Ta c´o c´ac di. nh ngh˜ıa sau dˆay: nh ngh˜ıa gi´o.i ha. i] Di. n [theo Cauchy] Sˆo´ b du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. n cu’ a h`am f[M] khi M ! M0 [hay ta. i diˆe’m M0] nˆe´u 8 0, 9 = [] 0 : 8M 2 {D : 0 [M,M0] []} ] |f[M] − b| . nh ngh˜ıa gi´o.i ha. ii] Di. n [theo Heine] Sˆo´ b du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. i diˆe’m M0 nˆe´u dˆo´i v´o . n cu’ a h`am f[M] ta. i d˜ay diˆe’m {Mn} bˆa´t k`y hˆo. i tu. dˆe´n M0 sao cho Mn 2 D, Mn6= M0 8 n 2 N th`ı d˜ay c´ac gi´a tri. tu.o.ng ´u.ng cu’ a h`am {f[Mn]} hˆo. i tu. dˆe´n b. K´y hiˆe. u: i] lim M!M0 f[M] = b, ho˘a. c ii] lim x ! x0 y ! y0 f[x, y] = b Hai di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n trˆen dˆay tu.o.ng du.o.ng v´o.i nhau. nh r˘a`ng theo di. Ch´u ´y. Ta nhˆa´n ma. nh ngh˜ıa, gi´o.i ha. n cu’ a h`am khˆong phu. thuˆo. c v`ao phu.o.ng M dˆa `n t´o . i M0. Do d´o nˆe´u M ! M0 theo . acac ´hu.o.´ng khac ´nhau m`a f[M] da`ˆn dˆe´n cac ´gia ´tri. khac ´nhau th`ı khi M ! M0 h`am f[M] khong ˆco ´gio.´i hn.
99. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ iii] Sˆo´ b du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. n cu’ a h`am f[M] khi M !1nˆe´u 8 0, 9R 0 : 8M 2 {D : [M,0] R} ] |f[M] − b| . Dˆo´i v´o . i h`am nhiˆe`u biˆe´n, c`ung v´o.i gi´o.i ha. . n tho ˆong thu.`o.ng d˜a nˆeu ’ trˆen [gi´o.i ha. n k´ep !], ngu.`o.i ta c`on x´et gi´o.i ha. n l˘a. p. Ta s˜e x´et kh´ai m n`ay cho h`am hai biˆe´n u = f[M] = f[x, y]. Gia’ su. ’ u = f[x, y] x´ac di. niˆe. nh trong h`ınh ch˜u. nhˆa. t Q = {[x, y] : |x − x0| d1, |y − y0| d2} c´o thˆe’ tr`u. ra ch´ınh c´ac diˆe’m x = x0, y = y0. Khi cˆo´ di. nh mˆo. t gi´a tri. y th`ı h`am f[x, y] tro. ’ th`anh h`am mˆo. t biˆe´n. Gia’ su. ’ dˆo´i v´o . i gi´a tri. cˆo´ nh y bˆa´t k`y tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. di. i gi´o.i ha. n 0 |y − y0| d2 tˆo`n ta. n lim x!x0 y cˆo´ di. nh f[x, y] = '[y]. Tiˆe´p theo, gia’ su’. lim y!y0 i. Khi d´o ngu.`o.i ta n´oi r˘a`ng '[y] = b tˆo`n ta. i gi´o.i ha. tˆo`n ta. p cu’ a h`am f[x, y] ta. n l˘a. i diˆe’m M0[x0, y0] v`a viˆe´t lim y!y0 lim x!x0 f[x, y] = b, trong d´o gi´o.i ha. n lim x!x0 y cˆo´ di. nh 0|y−y0|d2 i l`a gi´o.i ha. f[x, y] go. n trong. Tu.o.ng tu. ., ta nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n l˘a. c´o thˆe’ ph´at biˆe’u di. p kh´ac lim x!x0 lim y!y0 f[x, y] trong d´o gi ´o.i ha. n lim y!y0 x cˆo´ di. nh 0|x−x0|d1 f[x, y] l`a gi´o.i ha. n trong. Mˆo´i quan hˆe. gi˜u.a gi´o.i ha. n k´ep v`a c´ac gi´o.i ha. p du.o. n l˘a. .c thˆe’ hiˆe. n trong di. nh l´y sau dˆay:
100. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 53 Gia’ su. ’ ta. i diˆe’m M0[x0, y0] gi´o.i ha. n k´ep v`a c´ac gi´o.i ha. n trong cu’a c´ac gi´o.i ha. p cu’a h`am tˆo`n ta. n l˘a. i. Khi d´o c´ac gi´o.i ha. p tˆo`n ta. n l˘a. i v`a lim x!x0 lim y!y0 f[x, y] = lim y!y0 lim x!x0 = lim x!x0 y!y0 f[x, y]. T`u. di. c thay dˆo’i th´u. tu. nh l´y n`ay ta thˆa´y r˘a`ng viˆe. . trong c´ac gi´o.i ha.n khˆong pha’ i bao gi`o. c˜ung du.o. .c ph´ep. Dˆo´i v´o . i h`am nhiˆe`u biˆe´n ta c˜ung c´o nh˜u.ng di. nh l´y vˆe` c´ac t´ınh chˆa´t sˆo´ ho.c cu’ a gi´o.i ha. n tu . o.ng tu. . c´ac di. nh l´y vˆe` gi´o.i ha. n cu’ a h`am mˆo. t biˆe´n. 2. T`u. kh´ai niˆe. m gi´o.i ha. m vˆe` t´ınh liˆen tu. c n ta s˜e tr`ınh b`ay kh´ai niˆe. cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n. H`am u = f[M] du.o. .c go. i l`a liˆen tu. c ta.i diˆe’m M0 nˆe´u: nh ta.i ch´ınh diˆe’m M0 c˜ung nhu. trong mˆo. i] f[M] x´ac di. t lˆan cˆa. n n`ao d´o cu’a diˆe’m M0. ii] Gi´o.i ha. n lim M!M0 f[M] tˆo`n ta. i. iii] lim M!M0 f[M] = f[M0]. . liˆen tu.c v`u.a du.o. Su. .c di. . liˆen tu. c theo tˆa.p ho. nh ngh˜ıa go. i l`a su. .p biˆe´n sˆo´. i diˆe’m cu’ a H`am f[M] liˆen tu. c trong miˆe`n D nˆe´u n´o liˆen tu.c ta.i mo. miˆe`n d´o. Diˆe’m M0 du.o. .c go. . o i l`a diˆe’m gian ´doa. n cu’ a h`am f[M] nˆe´u doˆ´i v´i diˆe’m M0 c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t trong ba diˆe`u kiˆe. n trong di. nh ngh˜ıa liˆen tu. c l`a nh˜u.ng khˆong tho’a m˜an. Diˆe’m gi´an doa.n cu’ a h`am nhiˆe `u biˆe´n c´o thˆe’ diˆe’m cˆo lˆa. t du.`o.ng [du.`o.ng gi´an doa. n]. p, v`a c˜ung c´o thˆe’ l`a ca’ mˆo. i diˆe’m M0[x0, y0] theo tˆa. Nˆe´u h`am f[x, y] liˆen tu.c ta. .p biˆe´n sˆo´ p ho. th`ı n´o liˆen tu. c theo t`u.ng biˆe´n sˆo´. Diˆe`u kh˘a’ ng di. nh ngu.o. .c la. i l`a khˆong d´ung. C˜ung nhu. dˆo´i v´o . t biˆe´n, tˆo’ng, hiˆe. i h`am mˆo. u v`a t´ıch c´ac h`am liˆen i diˆe’m M0 l`a h`am liˆen tu.c ta. tu. c hai biˆe´n ta. i diˆe’m d´o; thu.o.ng cu’ a hai h`am liˆen tu.c ta. i M0 nˆe´u ta. i M0 c˜ung l`a h`am liˆen tu.c ta. i diˆe’m M0 h`am
101. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ mˆa˜u sˆo´ kh´ac 0. Ngo`ai ra, di. .p vˆa˜n nh l´y vˆe ` t´ınh liˆen tu.c cu’ a h`am ho. d´ung trong tru.`o.ng ho. .p n`ay. n x´et. Tu.o.ng tu. Nhˆa. . nhu. trˆen ta c´o thˆe’ tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe. m co . ba’n liˆen quan dˆe´n gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am ba biˆe´n,... C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f[x, y] = [x + y] sin 1 x sin 1 y l`a vˆo c`ung b´e ta.i diˆe’m O[0, 0]. nh ngh˜ıa vˆo c`ung b´e [tu.o.ng tu. Gia’ i. Theo di. . nhu. dˆo´i v´o . i h`am mˆo. t biˆe´n] ta cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!0 y!0 f[x, y] = 0. Ta ´ap du. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. ng di. n theo Cauchy. Ta cho sˆo´ 0 t`uy ´y v`a d˘a. t = 2 . Khi d´o nˆe´u M[x, y],O[0, 0] = p x2 + y2 th`ı |x| , |y| . Do d´o |f[x, y] − 0| =
102.
103.
104. sin 1 x sin 1 y
105.
106.
107. |y| 2 = . Diˆe`u d´o ch´u.ng to’ r˘a`ng lim x!0 y!0 f[x, y] = 0. V´ı du. 2. T´ınh c´ac gi´o.i ha.n sau dˆay: 1] lim x!0 y!2 1 + xy 2 x2 + xy , 2] lim x!0 y!2 p x2 + [y − x]2 + 1 − 1 x2 + [y − 2]2 , 3] lim x!0 y!0 x4 + y4 x2 + y2 .
108. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 55 Gia’ i. 1] Ta biˆe’u diˆe˜n h`am du.´o.i dˆa´u gi´o.i ha. n du . ´o.i da. ng h 1 + xy 1 xy i 2y x + y . V`ı t = xy ! 0 khi x ! 0 y ! 0 ! nˆen lim x!0 y!2 1 + xy 1 xy = lim t!0 1 + t 1 t = e. Tiˆe´p theo v`ı lim x!0 y!2 2 x + y nh l´y thˆong thu.`o.ng vˆe ` gi´o.i ha. = 2 [theo di. n cu’a thu . o.ng], do d´o gi´o.i ha. n cˆa` n t`ım b˘a`ng e2. 2] Ta t`ım gi´o.i ha. n v´o . i diˆe`u kiˆe. n M[x, y] ! M0[0, 2]. Khoa’ng c´ach gi˜u.a hai diˆe’m M v`a M0 b˘a`ng = p x2 + [y − 2]2 . Do d´o lim x!0 y!2 f[x, y] = lim !0 p 2 + 1 − 1 2 = lim !0 [2 p + 1] − 1 2[ 2 + 1 + 1] = lim !0 1 p 2 + 1 + 1 = 1 2 · .c ta c´o x = cos ', y = sin '. Ta c´o 3] Chuyˆe’n sang to.a dˆo. cu. x4 + y4 x2 + y2 = 4[cos4 ' + sin4 '] 2[cos2 ' + sin2 '] = 2[cos4 ' + sin4 ']. V`ı cos4 ' + sin4 ' 6 2 nˆen lim x!0 y!0 x4 + y4 x2 + y2 = lim !0 2[cos4 ' + sin4 '] = 0.
109. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ V´ı du. 3. 1] Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f1[x, y] = x − y x + y khˆong c´o gi´o.i ha. i diˆe’m [0, 0]. n ta. 2] H`am f2[x, y] = xy x2 + y2 c´o gi´o.i ha. i diˆe’m [0, 0] hay khˆong ? n ta. nh kh˘a´p no . Gia’ i. 1] H`am f1[x, y] x´ac di. i ngoa.i tr`u. du.`o.ng th˘a’ ng x + y = 0. Ta ch´u.ng minh r˘a`ng h`am khˆong c´o gi´o.i ha. n ta. i [0, 0]. Ta lˆa´y hai d˜ay diˆe’m hˆo. i tu. dˆe´n diˆe’m [0, 0]: Mn = 1 n , 0 ! [0, 0], n!1, M0 n = 0, 1 n ! [0, 0], n!1. Khi d´o thu du.o. .c lim n!1 f1[Mn] = lim n!1 1 n − 0 1 n + 0 = 1; lim n!1 f1[M0 n] = lim n!1 0 − 1 n 0 + 1 n = −1. Nhu. vˆa. y hai d˜ay diˆe’m kh´ac nhau c`ung hˆo. i tu. dˆe´n diˆe’m [0, 0] nhu.ng hai d˜ay gi´a tri. tu.o.ng ´u.ng cu’ a h`am khˆong c´o c`ung gi´o.i ha. n. Do d´o nh ngh˜ıa h`am khˆong c´o gi´o.i ha. theo di. n ta. i [0, 0]. 2] Gia’ su. ’ diˆe’m M[x, y] dˆa ` n dˆe´n diˆe’m [0, 0] theo du.`o.ng th˘a’ ng y = kx qua gˆo´c to. a dˆo. . Khi d´o ta c´o lim x!0 y!0 [y=kx] xy x2 + y2 = lim x!0 kx2 x2 + k2x2 = k 1 + k2 ·
110. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 57 Nhu. vˆa. y khi dˆa `n dˆe´n diˆe’m [0, 0] theo c´ac du.`o.ng th˘a’ ng kh´ac nhau [tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac gi´a tri. k kh´ac nhau] ta thu du.o. .c c´ac gi´a tri. gi´o.i ha.n kh´ac nhau, t´u.c l`a h`am d˜a cho khˆong c´o gi´o.i ha. i [0, 0]. N n ta. V´ı du. 4. Kha’o s´at t´ınh liˆen tu.c cu’ a c´ac h`am 1] f[x, y] = x2 + 2xy + 5 y2 − 2x + 1 2] f[x, y] = 1 x2 + y2 − z 3] f[x, y] = x + y x3 + y3 Gia’ i. 1] Diˆe`u kiˆe. i nh˜u.ng n liˆen tu.c cu’a h`am d˜a cho bi. vi pha.m ta. t ph˘a’ ng R2 m`a to.a dˆo. cu’a ch´ung tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh diˆe’m cu’a m˘a. y2−2x+1 = 0. D´o l`a phu . o.ng tr`ınh du.`o.ng parabon ˆvo. ´i d’ınh ta. i diˆe’m 1 , 0 . Nhva. ˆy cac ´diˆe’m cu’ a parabon ˆn`ay l`a nhu.˜ng diˆe’m gian ´doa.n 2 . u - d´o l`a du.`o.ng gi´an doa.n cu’ a h`am. Nh˜u.ng diˆe’m cu’a m˘a. t ph˘a’ ng R2 c parabˆon d´o l`a nh˜u.ng diˆe’m liˆen tu. c. khˆong thuˆo. 2] H`am d˜a cho liˆen tu.c ta. i diˆe’m cu’ a khˆong gian R3 m`a to.a dˆo. i mo. n x2 + y2 − z6= 0. D´o l`a phu.o.ng tr`ınh cu’a ch´ung tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. t paraboloit tr`on xoay. Trong tru.`o.ng ho. m˘a. .p n`ay m˘a. t paraboloit l`a t gi´an doa.n cu’ a h`am. 3] V`ı tu’. soˆ´ va` maˆ˜u sˆo´ la` nhu˜.ng ha`m liˆen tu. c nˆen thu.o.ng la` ha`m m˘a. i nh˜u.ng diˆe’m m`a mˆa˜ u sˆo´ x3+y36= 0. H`am c´o gi´an doa.n ta. liˆen tu.c ta. i a’ nhu.˜ng diˆe’m m`a x3 + y3 = 0 hay y = −x. Ngh˜ıa l`a h`am co ´gian ´doa.n trˆen du.`o.ng th˘ng y = −x. Gia’ su’. x06= 0, y06= 0. Khi do´ lim x!x0 y!y0 x + y x3 + y3 = lim x!x0 y!y0 1 x2 − xy + y2 = 1 x20 − x0y0 + y2 0 · T`u. d´o suy ra r˘a`ng c´ac diˆe’m cu’a du.`o.ng th˘a’ ng y = x [x6= 0] l`a
111. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ .ng diˆe’m gi´an doa.n khu . nhu. ’ du.o. .c. V`ı lim x!0 y!0 x + y x3 + y3 = lim x!0 y!0 1 x2 − xy + y2 = +1 nˆen diˆe’m O[0, 0] l`a diˆe’m gi´an doa.n vˆo c`ung. B`AI TˆA. P Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay [1-10] h˜ay t`ım miˆe `n x´ac di. nh cu’ a c´ac h`am nˆe´u: 1. w = p x2 − y2. [DS. |y| 6 |x|] 2. w = p xy. [DS. x 0, y 0 ho˘a. c x 6 0, y 6 0] 3. w = p a2 − x2 − y2. [DS. x2 + y2 6 a2] 4. w = 1 p x2 + y2 − a2 . [DS. x2 + y2 a2] 5. w = r 1 − x2 a2 − y2 b2. [DS. x2 a2 + y2 b2 6 1] 6. w = ln[z2 − x2 − y2 − 1]. [DS. x2 + y2 − z2 −1] 7. w = arcsin x 2 + p xy. [DS. Hai nu. ’ a b˘ang vˆo ha.n th˘a’ ng d´u.ng {0 6 x 6 2, 0 6 y +1} v`a {−2 6 x 6 0,−1 y 6 0}] 8. w = p x2 + y2 − 1 + ln[4 − x2 − y2]. [DS. V`anh tr`on 1 6 x2 + y2 4] 9. w = p sin [x2 + y2]. [DS. Tˆa. .p c´ac v`anh dˆo`ng tˆam p ho. 0 6 x2 + y2 6 1; 2 6 x2 + y2 6 3; . . . ] 10. w = p ln[1 + z − x2 − y2]. t paraboloid z = x2 + y2 − 1]. [DS. Phˆa ` n trong cu’a mˆa. Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay [11-18] h˜ay t´ınh c´ac gi´o.i ha. n cu’ a h`am
112. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 59 11. lim x!0 y!0 sin xy xy . [DS. 1] 12. lim x!0 y!0 sin xy x . [DS. 0] 13. lim x!0 y!0 xy p xy + 1 − 1 . [DS. 2] 14. lim x!0 y!0 x2 + y2 p x2 + y2 + 1 − 1 . [DS. 2] Ch’ı daˆ˜n. Su’. du.ng khoa’ng ca´ch = p x2 + y2 ho˘a. c nhˆan - chia v´o.i da. i lu . .ng liˆen ho. o. .p v´o . i mˆa˜ u sˆo´. 15. lim x!0 y!3 1 + xy2 y x2y + xy2. [DS. e3] 16. lim x!0 y!0 x2y x2 + y2. [DS. 0] 17. lim x!0 y!5 p [x2 + [y − 5]2 + 1 − 1 x2 + [y − 5]2 . [DS. 1 2 ] 18. lim x!1 y!0 tg[2xy] x2y . [DS. 2].
113. t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n 8.1 D-a. o h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 D-a. o h`am cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.2 D-a. o h`am cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.2 Vi phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . 77 nh l´y co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi. Quy 8.3 C´ac di. i. t´˘ac l’Hospital. Cˆong thu.´c Taylor . . . . . . 84 8.3.1 Cac ´dnh ly ´co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi . . . . . 84 8.3.2 Khu. ’ cac ´da.ng vo ˆdnh. Quy t´a˘c Lopitan i.ˆ[L’Hospitale] . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 96
114. h`am 61 8.1 D-a. o h`am 8.1.1 D-a. o h`am cˆa´p 1 Gia’ su. ’ h`am y = f[x] x´ac di. n cu’a diˆe’m x0 [U[x0; ] = nh trong -lˆan cˆa. {x 2 R : |x − x0| ] v`a f[x0] = f[x0 +x] − f[x0] l`a sˆo´ gia cu’ a n´o ta.i diˆe’m x0 tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ gia x = x − x0 cu’a dˆo´i sˆo´. nh ngh˜ıa: Nˆe´u tˆo`n ta. Theo di. i gi´o.i ha. n h˜u.u ha. n lim x!0 f[x0+x] − f[x0] x khi x ! 0 th`ı gi´o.i ha. n d´o du.o. .c go. i l`a da. . o h`aam cu’ a h`am f[x] ti diˆe’m x0 v`a du.o. .c chı’ bo. ’ i mˆo. t trong c´ac k´y hiˆe. u: lim x!0 f[x0+x] − f[x0] x dy dx d dx f[x] f0[x] y0. i lu . Da. .ng o. f0 +[x0] = f0[x0 + 0] = lim x!0 x0 y x = lim x!0+0 y x v`a f0 −[x0] = f0[x0 − 0] = lim x!0 x0 y x = lim x!0−0 y x du.o. .c go. o h`am bˆen pha’ i v`a da. i l`a da. o h`am bˆen tr´ai cu’ a h`am y = f[x] ta.i diˆe’m x0 nˆe´u c´ac gi´o.i ha. n d˜a nˆeu tˆo`n ta. i. Su. ’ du.ng kh´ai niˆe. m gi´o.i ha. n mˆo. t ph´ıa ta c´o: D- i. nh l´y 8.1.1. H`am y = f[x] c´o da. o h`am ta.i diˆe’m x khi v`a chı’ khi c´ac da. o h`am mˆo. i v`a b˘a`ng nhau: t ph´ıa tˆo`n ta. f0[x+ 0] = f0[x − 0] = f0[x]. H`am f[x] kha’ vi nˆe´u n´o c´o da. o h`am f0[x] h˜u.u ha. n. H`am f[x] kha’ vi liˆen tu. c nˆe´u da. i v`a liˆen tu. c. Nˆe´u h`am f[x] kha’ o h`am f0[x] tˆo`n ta. vi th`ı n´o liˆen tu. c. Diˆe`u kh˘a’ nh ngu.o. ng di. .c la. i l`a khˆong d´ung.
115. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n 8.1.2 D-a. o h`am cˆa´p cao Da. o h`am f0[x] du.o. .c go. i l`a da. o h`am cˆa´p 1 [hay da. c nhˆa´t]. o h`am bˆa. Da. o h`am cu’ a f0[x] du.o. .c go. i l`a da. o h`am cˆa´p hai [hay da. o h`am th´u. hai] cu’ a h`am f[x] v`a du.o. .c k´y hiˆe. u l`a y00 hay f00[x]. Da. o h`am cu’ a f00[x] du.o. .c go. i l`a da. o h`am cˆa´p 3 [hay da. o h`am th´u. ba] cu’ a h`am f[x] v`a du.o. .c k´y hiˆe. u y000 hay f000[x] [hay y[3], f[3][x] v.v... Ta c´o ba’ng da. o h`am cu’ a c´ac h`am so. cˆa´p co . ba’n f[x] f0[x] f[n][x] xa axa−1 a[a − 1][a − 2] · · · [a − n + 1]xa−n, x 0 ex ex ex ax axlna ax[lna]n lnx 1 x [−1]n−1[n − 1]! 1 xn , x 0 logax 1 xlna [−1]n−1[n − 1]! 1 xnlna , x 0 sin x cos x sin x + n 2
116. h`am 63 f[x] f0[x] f[n][x] cos x −sin x cos x + n 2 tgx 1 cos2 x cotgx − 1 sin2 x arc sin x 1 p 1 − x2 , |x| 1 arccosx − 1 p 1 − x2 , |x| 1 arctgx 1 1 + x2 arccotgx − 1 1 + x2 Viˆe. c t´ınh da. o h`am du.o. .c du. .a trˆen c´ac quy t˘a´c sau dˆay. 1+ d dx [u + v] = d dx u + d dx v. 2+ d dx [u] = du dx , 2 R. 3+ d dx [uv] = v du dx + u dv dx . 4+ d dx u v = 1 v2 v du dx − u dv dx , v6= 0. 5+ d dx f[u[x]] = df du · du dx [da. .p]. o h`am cu’ a h`am ho. 6+ Nˆe´u h`am y = y[x] c´o h`am ngu.o. .c x = x[y] v`a dy dx y0 x6= 0 th`ı dx dy x0 y = 1 y0x ·
117. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n 7+ Nˆe´u h`am y = y[x] du.o. .c cho du.´o.i da. ng ˆa’n bo . th´u.c kha’ vi ’i hˆe. F[x, y] = 0 v`a F0 y6= 0 th`ı dy dx = − F0 x F0 y trong d´o F0 x v`a F0 y l`a da. o h`am theo biˆe´n tu . o.ng ´u.ng cu’ a h`am F[x, y] khi xem biˆe´n kia khˆong dˆo’i. 8+ Nˆe´u h`am y = y[x] du.o. .c cho du . ´o.i da. ng tham sˆo´ x = x[t], y = y[t] [x0[t]6= 0] th`ı dy dx = y0[t] x0[t] · 9+ dn dxn [u +
118. dnu dxn +
119. dn dxn uv = Xn k=0 Ck n dn−k dxn−k u dk dxk v [quy t˘a´c Leibniz]. n x´et. 1] Khi t´ınh da. Nhˆa. t biˆe’u th´u.c d˜a cho ta c´o thˆe’ o h`am cu’a mˆo. biˆe´n dˆo’i so . bˆo. biˆe’u th´u.c d´o sao cho qu´a tr`ınh t´ınh da.o h`am do.n gia’n ho.n. Ch˘ng ha.n na. ˆe´u biˆe’u thu´.c do´ la` logarit th`ı co´ thˆe’ su’. du.ng ca´c t´ınh chaˆ´t cu’ a logarit dˆe’ biˆe´n do’i... ˆro`ˆi t´ınh do h`am. Trong nhiˆe`u a’ tru.`o.ng ho. .p khi t´ınh da. o h`am ta nˆen lˆa´y logarit h`am d˜a cho rˆo `i ´ap du. ng cˆong th´u.c da. o h`am loga d dx lny[x] = y0[x] y[x] · 2] Nˆe´u h`am kha’ vi trˆen mˆo. t khoa’ng du.o. .c cho bo . ’i phu . o.ng tr`ınh F[x, y] = 0 th`ı da. o h`am y0[x] c´o thˆe’ t`ım t`u. phu.o.ng tr`ınh d dx F[x, y] = 0. C´AC V´I DU.
120. h`am 65 V´ı du. o h`am y0 nˆe´u: 1. T´ınh da. r 1] y = ln 3 ex 1 + cos x ; x6= [2n + 1], n 2 N 2] y = 1 + x2 3 p x4 sin7 x , x6= n, n 2 N. Gia’ i. 1] Tru.´o.c hˆe´t ta do.n gia’n biˆe’u th´u.c cu’ a h`am y b˘a`ng c´ach .a v`ao c´ac t´ınh chˆa´t cu’ a logarit. Ta c´o du. y = 1 3 lnex − 1 3 ln[1 + cos x] = x 3 − 1 3 ln[1 + cos x]. Do d´o y0 = 1 3 − 1 3 [cos x]0 1 + cos x = 1 3 + 1 3 sin x 1 + cosx = 1 + tg x 2 3 · ’. dˆay tiˆe. 2] O .i ho . n ca’ l`a x´et h`am z = ln|y|. Ta c´o n lo. dz dx = dz dy · dy dx = 1 y dy dx ] dy dx = y dz dx · [*] Viˆe´t h`am z du.´o.i da. ng x = ln|y| = ln[1 + x2] − 4 3 ln|x| − 7ln| sin x| ] dz dx = 2x 1 + x2 − 4 3x − 7 cos x sin x · Thˆe´ biˆe’u th´u.c v`u.a thu du.o. .c v`ao [] ta c´o dy dx = 1 + x2 3 p x4 sin7 x 2x 1 + x2 − 4 3x − 7 cos x sin x . N V´ı du. o h`am y0 nˆe´u: 1] y = [2+cos x]x, x 2 R; 2] y = x2x, 2. T´ınh da. x 0. Gia’ i. 1] Theo di. nh ngh˜ıa ta c´o y = exln[2+cosx].
121. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n T`u. d´o y0 = exln[2+cosx] xln[2 + cos x] 0 = exln[2+cosx] h ln[2 + cos x] − x sin x 2 + cos x i , x2 R. 2] V`ı y = e2xlnx nˆen v´o.i x 0 ta c´o y0 = e2xlnx[2xlnx]0 = e2xlnx h1 x i 2x + 2xln2 · lnx = 2xx2x 1 x + ln2 · lnx . N V´ı du. 3. T´ınh da. o h`am cˆa´p 2 cu’ a h`am ngu.o. .c v´o . i h`am y = x + x5, x 2 R. Gia’ i. H`am d˜a cho liˆen tu.c v`a do.n diˆe. u kh˘a´p no . i, da. o h`am y0 = t tiˆeu ta.i bˆa´t c´u. diˆe’m n`ao. Do d´o 1 + 5x4 khˆong triˆe. x0 y = 1 y0x = 1 1 + 5x4 · Lˆa´y da. o h`am d˘a’ng th´u.c n`ay theo y ta thu du.o. .c x00 yy = 1 1 + 5x4 0 x · x0 y = −20x3 [1 + 5x4]3 · N V´ı du. 4. Gia’ su. ’ h`am y = f[x] du.o. .c cho du . ´o.i da.ng tham soˆ´ bo’.i ca´c coˆng thu´.c x = x[t], y = y[t], t 2 [a; b] va` gia’ su’. x[t], y[t] kha’ vi caˆ´p 2 v`a x0[t]6= 0 t 2 [a, b]. T`ım y00 xx. Gia’ i. Ta c´o dy dx = dy dt dx dt = y0 t x0 t ] y0 x = y0 t x0 t · Lˆa´y da. o h`am hai vˆe´ cu’a d˘a’ng th´u.c n`ay ta c´o y00 xx = y0 t x0 t 0 t · t0 x = y0 t x0 t 0 t · 1 x0 t = x0 ty00 tt − y0 tx00 tt x0 t 3 · N
122. h`am 67 V´ı du. 5. Gia’ su’. y = y[x], |x| a la` ha`m gia´ tri. du.o.ng cho du.o´.i da.ng ˆa’n bo . ’i phu . o.ng tr`ınh x2 a2 − y2 b2 = 1. T´ınh y00 xx. Gia’ i. Dˆe’ t`ım y0 ta ´ap du.ng cˆong th´u.c d dx F[x, y] = 0. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta c´o d dx x2 a2 − y2 b2 − 1 = 0. Lˆa´y da. o h`am ta c´o 2x a2 − 2y b2 y0 x = 0, [8.1] ]y0 x = b2x a2y , |x| 0, y 0. [8.2] Lˆa´y da. o h`am [8.1] theo x ta thu du.o. .c 1 a2 − 1 b2 y0 x 2 − y b2y00 xx = 0 v`a t`u. [8.2] ta thu du.o. .c y00 x: y00 xx = 1 y h b2 a2 − y0 x 2 i = 1 y hb2 a2 − b4 a4 x2 y2 i = − b4 a2y3 hx2 a2 − y2 b2 i = − b4 a2y3, y0. N V´ı du. 6. T´ınh y[n] nˆe´u: 1] y = 1 x2 − 4 ; 2] y = x2 cos 2x. Gia’ i. 1] Biˆe’u diˆe˜n h`am d˜a cho du . ´o.i da. ng tˆo’ng c´ac phˆan th´u.c co . ba’n 1 x2 − 4 = 1 4 h 1 x − 2 − 1 x + 2 i
123. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n v`a khi d´o 1 x2 − 4 [n] = 1 4 h 1 x − 2 [n] − 1 x + 2 [n]i . Do 1 x ± 2 [n] = [−1][−2] · · · [−1 − n + 1][x ± 2]−1−n = [−1]nn! 1 [x ± 2]n+1 nˆen 1 x2 − 4 [n] = [−1]nn! 4 h 1 [x − 2]n+1 − 1 [x+ 2]n+1 i . 2] Ta ´ap du.ng cˆong th´u.c Leibniz dˆo´i v´o . i da. o h`am cu’a t´ıch [x2 cos 2x] = C0 nx2[cos 2x][n] + C1 n[x2]0[cos 2x]n−1 + C2 n[x2]0[cos 2x]n−2. Ca´c sˆo´ ha.ng co`n la. i d`ˆeu = 0 v`ı x2[k] = 0 8k 2. ´Ap du. ng cˆong th´u.c [cos 2x][n] = 2n cos 2x + n 2 ta thu du.o. .c [x2 cos 2x][n] = 2n x2 − n[n − 1] 4 cos 2x + n 2 + 2nnx sin 2x + n 2 . N V´ı du. 7. V´o.i gi´a tri. n`ao cu’ a a v`a b th`ı h`am f[x] = 8 : ex, x6 0, x2 + ax + b, x 0
124. h`am 69 o h`am trˆen to`an tru.c sˆo´. Gia’ i. R˜o r`ang l`a h`am f[x] c´o da. c´o da. o h`am 8x 0 v`a 8x 0. Ta chı’ cˆa `n x´et diˆe’m x0 = 0. i diˆe’m x0 = 0 nˆen V`ı h`am f[x] pha’ i liˆen tu.c ta. lim x!0+0 f[x] = lim x!0−0 f[x] = lim x!0 f[x] t´u.c l`a lim x!0+0 [x2 + ax + b] = b = e0 = 1 ] b = 1. Tiˆe´p d´o, f0 +[0] = [x0 + ax + b]0
125.
126. x0=0 = a v`a f0
127.
128. i nˆe´u a = 1 v`a b = 1. Nhu. vˆa. Do d´o f0[0] tˆo`n ta. y v´o . i a = 1, b = 1 h`am d˜a cho c´o da. o h`am 8 x 2 R. N B`AI TˆA. P T´ınh da. o h`am y0 cu’ a h`am y = f[x] nˆe´u: 1. y = 4 p x3 + 5 x2 − 3 x3 + 2. [DS. 3 4 4 p x − 10 x3 + 9 x4 ] 2. y = log2x + 3log3x. [DS. ln24 xln2 · ln3 ] 3. y = 5x + 6x + 1 7 x . [DS. 5xln5 + 6xln6 − 7−xln7] 4. y = ln[x+ 1+ p x2 + 2x + 3]. [DS. 1 p x2 + 2x + 3 ] 5. y = tg5x. [DS. 10 sin 10x ] p x]. [DS. 6. y = ln[ln 1 p x 2xln ] r 7. y = ln 1 + 2x 1 − 2x . [DS. 2 1 − 4x2 ]
129. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n 8. y = xarctg p 2x − 1 − p 2x − 1 2 . [DS. arctg p 2x − 1] 9. y = sin2 x3. [DS. 3x2 sin 2x3] 10. y = sin4 x + cos4 x. [DS. −sin 4x] 11. y = p xe p x. [DS. p x[1 + e p x] 2 p x ] 12. y = e 1 cos x. [DS. e 1 cos x sin x cos2 x ] 13. y = e 1 lnx. [DS. −e 1 lnx xln2x ] e2x + 14. y = ln p e4x + 1. [DS. 2e2x p e4x + 1 ] r 15. y = ln e4x e4x + 1 . [DS. 2 e4x + 1 ] 16. y = log5 cos 7x. [DS. − 7tg7x ln5 ] 17. y = log7 cos p 1 + x. [DS. − tg p 1 + x 2 p 1 + xln7 ] 18. y = arccos e − x2 2 . [DS. − xe x2 2 p 1 − e−x2 ] 19. y = tg sin cos x. [DS. −sin cos[cos x] cos2[sin cos x] ] 20. y = ex2cotg3x. [DS. xec2cotg3x sin2 3x [sin 6x − 3x]] p 1+lnx. [DS. 21. y = e e p 1+lnx 2x p 1 + lnx ] 22. y = x 1 x. [DS. x 1 x −2[1 − lnx]] 23. y = ex. [DS. xx[1 + lnx]]
130. h`am 71 24. y = xsin x. [DS. xsin x cos x · lnx + xsin x−1 sin x] 25. y = [tgx]sin x. [DS. [tgx]sin x h cos xlntgx + 1 cos x i ] 26. y = xsin x. [DS. xsin x hsin x x + lnx · cos x i ] 27. y = xx2. [DS. xx2+1[1 + 2lnx]] 28. y = xex. [DS. exxex 1 x + lnx]] 29. y = logx7. [DS. − 1 xlnxlog7x ] 30. y = 1 2a
131.
132.
133. a x + a
134.
135.
136. x2 − a2 ] 31. y = sin ln|x|. [DS. cos ln|x| x ] 32. y = ln| sin x|. [DS. cotgx] 33. y = ln|x + p x2 + 1|. [DS. 1 p x2 + 1 ]. Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay [34-40] t´ınh da. o h`am cu’ a h`am y du.o. .c cho du.´o.i da. ng tham sˆo´. 34. x = a cos t, a sin t, t 2 [0, ]. y00 xx? [DS. − 1 a sin3 t ] 35. x = t3, y = t2. y00 xx? [DS. − 2 9t4 ] 36. x = 1+eat, y = at + e−at. y00 xx? [DS. 2e−3at − e−2at] 37. x = a cos3 t, y = a sin3 t. y00 xx? [DS. 1 3a sin t cos4 t ] 38. x = et cos t, y = et sin t. y00 xx? [DS. 2 et[cos t − sin t]3 ] 39. x = t − sin t, y = 1 − cos t. y00 xx? [DS. − 1 4 sin4 t 2 ] 40. x = t2 + 2t, y = ln[1 + t]. y00 xx? [DS. −1 4[1 + t]4 ].

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề