- \[u\] và \[v\] là nghiệm của phương trình: \[{x^2}-{\rm{ }}32x{\rm{ }} + {\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ [ - }}16{]^2}-{\rm{ }}231.1{\rm{ }} = {\rm{ }}256{\rm{ }}-{\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}25,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}5\]
\[{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}21,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}11\]
Vậy \[u = 21, v = 11\] hoặc \[u = 11, v = 21\]
- \[u\], \[v\] là nghiệm của phương trình:
\[{{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\]
\[\Delta {\rm{ }} = {4^2}{\rm{ - 1}}{\rm{.[ - 105] = }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}121,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}11{\rm{ }}\]
\[{x_1}{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4{\rm{ }} + {\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}7\], \[{{x_2} = {\rm{ }} - 4{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }} - 15}\]
Vậy \[u = 7, v = -15\] hoặc \[u = -15, v = 7\].
- Vì \[{{2^{2}}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}0}\] nên không có giá trị nào của \[u\] và \[v\] thỏa mãn điều kiện đã cho.
Bài 29 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Bài 29. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm [nếu có] của mỗi phương trình sau:
- \[4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
- \[9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
- \[5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
- \[159{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Bài giải:
- Phương trình \[4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có nghiệm vì \[a = 4, c = -5\] trái dấu nhau nên
\[{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {1 \over 2},{x_1}{x_2} = - {5 \over 4}\]
- Phương trình \[9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[\Delta' = 36 - 36 = 0\]
\[{x_1} + {x_2} = {{12} \over 9} = {4 \over 3},{x_1}{x_2} = {4 \over 9}\]
- Phương trình \[5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có
\[\Delta =\] \[{1^2} - {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 39{\rm{ }} < {\rm{ }}0\]
Phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.
- Phương trình \[159{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có hai nghiệm phân biệt vì \[a\] và \[c\] trái dấu
\[{x_1} + {x_2} = {\rm{ }}{2 \over {159}},{x_1}{x_2} = - {1 \over {159}}\]
Bài 30 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Bài 30. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
- \[{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
- \[{x^2}-{\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\]
Bài giải
- Phương trình \[{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có nghiệm khi \[\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\] hay khi \[m ≤ 1\]
Khi đó \[{x_{1}} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]\], \[{\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}{m^2}\]
Với dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tích ở bài 18 này, chúng ta sử dụng định lí Vièts đảo để giải quyết.
Câu a:
u và v là nghiệm của phương trình:
\[\small x^2-32x+231=0\]
\[\small \Delta'=16^2-231.1=25\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=5\]
\[\small \Rightarrow x_1=\frac{16+5}{1}=21;x_2=\frac{16-5}{1}=11\]
Vậy \[\small u=21;v=11\] hoặc \[\small u=11;v=21\]
Câu b:
u, v là nghiệm của phương trình:
\[\small x^2+8x-105=0\]
\[\small \Delta'=4^2-1.[-105]=121\Rightarrow \sqrt{\Delta'}=11\]
\[\small x_1=\frac{-4+11}{1}=7;x_2=\frac{-4-11}{1}=-15\]
Vậy \[\small u=7;v=-15\] hoặc \[\small u=-15;v=7\]
Câu c:
u, v là nghiệm của phương trình:
\[\small x^2-2x+9=0\]
\[\small \Delta'=1^2-9.1=-8