Nguyên hàm lượng giác là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Trong đó, các công thức nguyên hàm lượng giác khá phức tạp. Vì vậy, để làm bài tập thì các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập nguyên hàm lượng giác qua bài viết sau đây.
1. Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác đầy đủ nhất
Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng khi học chương trình toán 12, đặc biệt trong phần giải tích. Dưới đây là toàn bộ những công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản nhất được các em áp dụng nhiều trong quá trình làm bài tập.
2. Các dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản
Dạng 1: Nguyên hàm của $I = sin^{m}xcos^{n}xdx$
- Trường hợp 1: Nếu m = 2k + 1 $\Rightarrow I = \int sin^{2k}xcos^{n}x.sinxdx$
$= - \int [1-cos^{2}x]{k} . cos{n}xd [cosx] \Rightarrow$ Đặt $t = cosx$
- Trường hợp 2: Nếu n = 2k+1 $\Rightarrow$ Đặt $t = sinx$
- Trường hợp 3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc
Lưu ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.
- I = ∫f[sinx] cosxdx = ∫f[sinx]d[sinx] → Đặt t = sinx
- I = ∫f[cosx] sinxdx = −∫f[cosx] d[cosx] → Đặt t = cosx
Dạng 2: Nguyên hàm $I= \int \frac{dx}{sin^{m}x.cos^{n}x} = \frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x} ....$
- Trường hợp 1:
Nếu m= 2k+ 1 $I= \int \frac{sinxdx}{sin^{2k+2}x}.cos^{n}x = - \int \frac{d[cosx]}{[1 - cos^{2}x]{k+1}} . cos{n}x$
Khi đó ta đặt: $t= cosx$
- Trường hợp 2: Nếu n= 2k+ 1 → Đặt $t= sinx$
- Trường hợp 3: Nếu m,n đều chẵn ta có: $\frac{dx}{sin^{m}x} . cos^{n}x = \frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x}$
Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx
Các nguyên hàm chứa $tanx$ hay $cotx$ ta thường dùng các hằng đẳng thức
$\frac{1}{sin^{2}x} = 1+ cos^{2}x ; \frac{1}{cos^{2}x = 1+tan^{2}}x$
Nguyên hàm mà mẫu là đẳng cấp bậc 2 với $sinx$ và $cotx$
$Asin^{2}x + Bsinx.cosx + Ccos^{2}x$ thì ta chia cả tử và mẫu cho $cos^{2}x$
Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
$\int cosax . cosbxdx = \frac{1}{2}\int [cos[a+b]x + cos[a-b]x]dx$
$\int sinax . sinbxdx = \frac{-1}{2}$
$\int [cos[a+b]x-cos[a-b]x]dx$
$\int sinax.cosbxdx= \frac{1}{2} \int [sin[a+b]x+sin[a-b]x]dx$
$\int cosax.sinbxdx = \frac{1}{2} \int [sin[a+b]x - sin[a - b]x]dx$
Dạng 5: Nguyên hàm $I = \int \frac{dx}{asinx + bcosx + c}$
Ta có: $\int \frac{dx}{msin^{2}\frac{x}{2}+nsin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+pcos^{x}\frac{x}{2}} = \int \frac{dx}{cos^{2}\frac{x}{2}[mtan^{2}\frac{x}{2}+ntan\frac{x}{2}+p]} \overset{t=tan\frac{x}{2}}{\rightarrow} I= \int \frac{dt}{mt^{2}+nt+p}$
Các em học sinh có thể tham khảo bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT Quốc Gia
3. Một số bài tập nguyên hàm lượng giác và phương pháp giải
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?
- 7sinx + C.
- 7cosx + C.
- –7cosx + C.
- Tất cả sai.
Giải
Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.
Chọn C.
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx là:
- –6cosx - 8sinx + C.
- 6cosx + 8sinx + C.
- –6cosx + 8sinx + C.
- 6cosx - 8sinx + C
Giải
Ta có:
∫[6sinx + 8cosx]dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.
Chọn C.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx - 8cosx
- 8cosx - 8sinx.
- -8cosx - 8sinx.
- 8cosx + 8sinx.
- Tất cả sai.
Giải
Ta có: ∫[8sinx - 8cosx]dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx
Chọn B.
Câu 4: Tính: I = ∫sin[x2 - x + 1].[2x - 1] dx
- cos[x2 - x + 1] + c.
- -2 cos[x2 - x + 1] + c.
- -1/2 . cos[x2 - x + 1].
- -cos[x2 - x + 1].
Giải
Ta có: sin[x2 - x + 1].[2x - 1]dx = sin[x2 - x + 1].[x2 - x + 1]' dx
\= sin[x2 - x + 1].d[x2 - x + 1]
Đặt u = x2 - x + 1 ta được:
⇒ I = ∫sin[x2 - x + 1].[2x - 1] dx = ∫sin[x2 - x + 1].d[x2 - x + 1]
I = ∫sinudu = -cosu + C = -cos[x2 - x + 1] + c
Chọn D.
Câu 5:
Tính
- 3ln|cosx + 2| - ln|cosx + 1| + c
- -3ln|cosx + 2| - ln|cosx + 1| + c
- 4ln|cosx + 2| + 2ln|cosx + 1| + c
- 2ln|cosx + 2| - 3ln|cosx + 1| + c
Giải:
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan2x
Giải:
Ta có
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x - 7cos2x + lne
Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ
Câu 8: Nguyên hàm của hàm số
y = 2cos6x - 3sin4x có dạng F[x] = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?
- –4
- 4
- 2
- -2
Giải:
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số
Giải:
Ta có:
Câu 10: Tìm nguyên hàm sau: $I = \int \frac{2dx}{\sqrt{3}sinx+cosx}$
Giải
Câu 11: Tính nguyên hàm sau: $J= \int\frac{dx}{{cos2x}- \sqrt{3}sin2x}$
Giải
Câu 12: Tìm nguyên hàm sau $I= \int\frac{dx}{3cosx + 5sinx +3}$
Giải
Câu 13: Tính nguyên hàm sau $I= \int\frac{dx}{sin^{2}x + 2sinxcosx 2cos^{2}x}$
Giải
Câu 14: Tính nguyên hàm sau $I= \int \frac{4sinx+ 3cosx}{sinx+ 2cosx}$
Giải
Bài 15: Tìm nguyên hàm $J= \int\frac{3 cosx- 2 sinx}{cosx-4sinx}dx$
Giải:
Ta tìm A,B sao cho
3 cosx- 2 sinx= A[cosx- 4sinx] + B[-sinx-4cosx
Câu 16: Tính nguyên hàm của $I=\int\frac{8cosx}{[\sqrt{3} sinx + cosx]^{2}}dx$
Giải
Câu 17: Tính nguyên hàm $I=\int\frac{8sinx+cosx+5}{[2sinx-cosx+1]}$
Giải
Câu 18: Tính nguyên hàm $I= \int cos3xcos4xdx$
Giải
Câu 19: Tính nguyên hàm sau $I=\int [sin^{3}x cos3x+cos^{3}xsin3x]dx$
Giải
Câu 20: Tính nguyên hàm sau $I= \int \frac{dx}{sinxcos^{3}x}$
Giải
Câu 21: Tính nguyên hàm $\int \frac{sin3x. sin4x}{tanx + tan2x}$
Giải
Câu 22: Tính nguyên hàm $\int \frac{dx}{sin^{3}x}$
Giải
Câu 23: Tính nguyên hàm $I= \int \frac{dx}{sinx sin[x+\frac{π}{6}]}$
Giải
Câu 24: Tính nguyên hàm của
$I= \int tanx.tan[\frac{\pi}{3}-x]tan [\frac{\pi}{3}+x]dx $
Giải
Câu 25: Tính nguyên hàm của $I= \int \frac{dx}{sinx[x+\frac{\pi}{6}]+cos[x+\frac{\pi}{12}]}$
Giải
Để hiểu sâu hơn và thành thạo hơn trong thao tác giải các bài tập nguyên hàm cơ bản áp dụng giải bài tập nguyên hàm tích phân, các em cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Thành Đức Trung nhé!
PAS ĐGNL VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa ôn thi đánh giá năng lực online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Học tương tác trực tiếp với thầy cô
⭐ Lộ trình bám sát cấu trúc đề thi, đảm bảo đạt 100+ thi ĐGNL ĐHQGHN
⭐ Thi thử miễn phí trải nghiệm như thi thật
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Phân lớp theo học lực và trình độ
⭐ Đội ngũ gia sư hỗ trợ 24/7 cho đến lúc thi
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!!
Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm lượng giác, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức và các dạng toán hay, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!