Bài tập về cực trị của hàm số

A. Tóm tắt lí thuyết

1. Khái niệm cực trị hàm số

Giả sử hàm số fxác định trên tập hợpD [D⊂ℝ]vàxo∈D

a]xođược gọi là mộtđiểm cực đạicủa hàm số f nếu tồn tại một khoảng[a; b]chứa điểmxosao cho:

Khi đó f[xo]được gọi làgiá trị cực đạicủa hàm số f.

b]xođược gọi là mộtđiểm cực tiểucủa hàm số f nếu tồn tại một khoảng[a; b]chứa điểmxosao cho:

Khi đó f[xo]được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung làcực trị

Nếuxolà một điểm cực trị của hàm sốfthì người ta nói rằng hàm sốfđạt cực trị tại điểmxo.

Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợpD [D⊂ℝ]

Nhấn mạnh:xo∈[a; b]⊂Dnghĩa làxolà một điểm trong của D

Chú ý

• Giá trị cực đại [cực tiểu] f[xo]nói chung không phải là GTLN [GTNN] của f trên tập hợpD.
• Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tâp hợpD. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.
• xolà một điểm cực trị của hàm số fthì điểm[xo;f[xo]]được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm sốfđạt cực trị tại điểmxo. Khi đó , nếufcó đạo hàm tại điểmxothìf ‘[xo] = 0

Chú ý:

• Đạo hàmf ‘có thể bằng 0 tại điểmxonhưng hàm sốfkhông đạt cực trị tại điểmxo.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số đạt cực trị tạixovà nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm[xo;f[xo]]thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành

Ví dụ : Hàm sốy = |x|và hàm sốy = x3

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm sốf liên tục trên khoảng[a; b]chứa điểmxovà có đạo hàm trên các khoảng[a;xo]và[xo; b]. Khi đó:

Định lý 3: Giả sử hàm sốfcó đạo hàm cấp một trên khoảng[a; b]chứa điểmxo; f‘[xo] = 0vàfcó đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểmxo

a] Nếuf”[xo] < 0thì hàm sốfđạt cực đại tại điểmxo

b] Nếuf”[xo] < 0thì hàm sốfđạt cực tiểu tại điểmxo

Chú ý:

Không cần xét hàm sốfcó hay không có đạo hàm tại điểmx = xonhưng không thể bỏ qua điều kiệnhàm số liên tục tại điểmxo

B. Bài tập tìm cực trị của hàm số

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'[x]. Giải phương trình f'[x] và ký hiệu xi[i = 1; 2; 3... là các nghiệm].

Bước 3. Tính f''[x] và f''[xi] .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''[xi] suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = x3– 3x2+ 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.

Lời giải

Ta có: y' = 3x2- 6x = 0

Và y'' = 6x - 6

Suy ra: y''[0] = -6 < 0; y''[2] = 6 > 0

Do đó: hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f[x; m]. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M[x0; y0]

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: Do hàm số đã cho đạt cực trị tại điểm M[x0; y0]

Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M[x0; y0] thì y''[x0] < 0

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại điểm M[x0; y0] thì y''[x0] > 0

II. Ví dụ minh họa

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3– mx2+ [2m – 3]x - 3 đạt cực đại tại x = 1.

A. m = 3

B. m > 3

C. m ≤ 3

D. m < 3

Lời giải:

* Ta có đạo hàm: y' = 3x2– 2mx + 2m - 3

Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d

Đạo hàm y' = 3ax2+ 2bx + c; Δ'= b2– 3ac

Xét phương trình: 3ax2+ 2bx + c = 0 [*]

Phương trình [1] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

Vậy hàm số bậc ba không có cực trị khi b2– 3ac ≤ 0

Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Vậy hàm số bậc 3 có 2 cực trị khi b2– 3ac > 0

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax4+ bx2+ c có đồ thị là [C]

Đạo hàm y' = 4ax3+ 2bx. Xét phương trình y' = 0

Hay 4ax3+ 2bx = 2x[2ax2+ b] = 0

Để đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình [1] nhận x = 0 là nghiệm

Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = [m - 1]x3– 3x2– [m + 1]x + 3m2– m + 2. Để hàm số có cực đại, cực tiểu xác định m?

A. m = 1

B. m ≠ 1

C. m > 1

D. m tùy ý.

Lời giải:

* Cách 1:

Ta có đạo hàm y' = 3[m - 1]x2- 6x - m - 1

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt :

* Cách 2:

Áp dụng công thức điều kiện để hàm bậc ba có cực đại, cực tiểu

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3+ bx2+ cx + d.

Ta có đạo hàm y' = 3ax2+ 2bx + c

Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: y = g[x].y'[x] + r[x] trong đó r[x] là phần dư của phép chia y cho y'.

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r[x].

[chú ý: Do x1, x2là điểm cực trị nên y'[x1] = 0; y'[x2] = 0].

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

+ Phân tích hệ thức để áp dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4+ bx2+ c có đồ thị là [C].

Ta có y' = 4ax3+ 2bx = 2x[2ax2+ b]

Đồ thị hàm số [C] có ba điểm cực trị khi y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt⇔ -b/2a > 0

Hàm số có 3 cực trị là: A[0;c]

Độ dài các đoạn thẳng:

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

II. Ví dụ minh họa

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m/3.x3+ 2x2+ mx + 1 có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ< xCT

A. m < 2

B. -2 < m < 0

C. -2 < m < 2

D. 0 < m < 2

Lời giải:

Đạo hàm y' = mx2+ 4x + m

Để hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ< xCT

Suy ra chọn đáp án D.