Hình học không gian luôn khiến nhiều bạn vướng mắc? Bài tập chương Hình trụ-Hình nón-Hình cầu gồm các chuyên đề bài tập từ cơ bản đến nâng cao có đáp án, lời giải chi tiết và phương pháp cụ thể giúp các em ghi nhớ kiến thức và hoàn thành tốt các bài tập cùng các bài kiểm tra trên lớp và thi giữa kì, cuối kì cũng như thi vào 10.
Chọn các mục dưới đây để luyện tập. Nếu các em còn chưa nắm chắc lý thuyết xem lại tại đây.
Tài liệu gồm 45 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề mặt trụ, hình trụ và khối trụ, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Hình học chương 2.
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY. 1. Định nghĩa trục của đường tròn. 2. Định nghĩa mặt tròn xoay. II. MẶT TRỤ TRÒN XOAY. 1. Định nghĩa. 2. Tính chất. III. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY. 1. Định nghĩa hình trụ. 2. Nhận xét. 3. Khối trụ. 4. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ.
B. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Dạng 1. Bài toán liên quan đến công thức, thể tích. + Dạng 2. Bài toán về thiết diện với hình trụ. + Dạng 3. Hình trụ nội – ngoại tiếp hình lăng trụ đứng. + Dạng 4. Hình trụ nội tiếp hình cầu.BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
a] Diện tích xung quanh [ $S_{xq}$ ] và Diện tích toàn phần [$S_{tp}$]
Với bán kính đáy r và chiều cao h, ta có:
Hình 1.
- $S_{xq}=2\Pi rh$
- $S_{xq}=2\Pi rh+ 2\Pi r_{2}$
b] Thể tích [V ]
2. Hình nón
a] Diện tích xung quanh [ $S_{xq}$ ] và Diện tích toàn phần [$S_{tp}$]
Với bán kính đáy r và độ dài đường sinh l , ta có:
Hình 2.
- $S_{xq}=\Pi rl$
- $S_{tp}=S_{xq}+S_{d}=\Pi rl+\Pi r^{2}$
b] Thể tích
- $V=\frac{1}{3}\Pi r^{2}h$
3 .Hình nón cụt
a] Diện tích xung quanh [ $S_{xq}$ ]
Với bán kính đáy r và độ dài đường sinh l , ta có:
Hình 3.
b] Thể tích
- $V=\frac{1}{3}\Pi h[r1^{2}+r2^{2}+r1r2]$
4 . Hình cầu
Hình 4.
a] Diện tích mặt cầu
b] Thể tích mặt cầu
B. Bài tập
Bài 38:
Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.
Bài 39:
Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a² và 6a. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.
Bài 40:
Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.
Bài 41:
Cho ba điểm A; O; B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a; OB = b [a; b cùng đơn vị: cm] Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D.
a] Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi?
b] Tính diện tích hình thang ABCD khi ∠COA = 60º ?
c] Với ∠COA = 60 cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành?
Bài 42:
Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho [h.117]
Bài 43:
Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho [h.118] [đơn vị: cm].
Bài 44:
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là đường tròn nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB. Cho hình đó quay xung quanh trục GO.
Chứng minh rằng:
a. Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.
b. Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.
Bài 45:
Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ , các kích thước cho trên hình vẽ .
Hãy tính :
a] Thể tích hình cầu ;
b] Thể tích hình trụ;
c] Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu ;
d] Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r cm và chiều cao 2r cm ;
e] Từ kết quả a] b] c] d] hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.
Với Chuyên đề Hình trụ, hình nón, hình cầu Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hình trụ, hình nón, hình cầu từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Hình trụ, Hình nón, Hình cầu
A. Phương pháp giải
1. Khái niệm hình trụ
Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quay cạnh AB cố định ta được 1 hình trụ [H.1]
- AD và BC quét nên hai đáy của hình trụ. HÌnh tròn [A] và [B] bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.
- DC quét nên mặt xung quanh của hình trụ, DC và EF là hai đường sinh. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ.
2. Công thức
[R là bán kính đáy, h là chiều cao, S là diện tích đáy].
C. Bài tập tự luận
Bài 1: Một vật thể có dạng hình trụ [H2] bán kính đường tròn đáy và chiều cao của nó đều bằng 2a [cm]. Người ta khoan một lỗ cũng có dạng hình trụ có bán kính đáy và độ sâu đều bằng a [cm].
a] Tính thể tích phần vật thể còn lại.
b] Nếu ta sơn cả bên trong lẫn bên ngoài vật thể thì diện tích vật thể được bao phủ là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
a] Gọi thể tích các hình trụ lớn, hình trụ nhỏ lần lượt là V1, V2
Thể tích cần tìm sẽ là:
V = V1 - V2
V = π[2a]2.2a - π.a2.a
= 8πa3 - πa3
= 7πa3 [cm3]
b] Diện tích cần tìm bằng diện tích toàn phần của hình trụ lớn cộng thêm diện tích xung quanh của hình trụ nhỏ:
S = 2π.2a.2a + 2π.[2a]2+ 2π.a.a
= 8πa2 + 8πa2 + 2πa2
= 18πa2 [cm2]
Bài 2: Có 2 lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình 3. Hãy so sánh dung tích của 2 lọ và diện tích xung quanh của 2 lọ.
Hướng dẫn giải
a] V1 = πR2 . 2a = 2πR2a
V2 = π.[2R]2.a = 4πR2a
=>V1 = 2V2
b] S1 = 2πR.2a = 4πR.a
S2 = 2π.2R.a = 4πRa
=> S1 = S2
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều cạnh a, chiều cao lăng trụ là h. Xét hai hình trụ, một hình có đáy là hình tròn nội tiếp đáy lăng trụ, một hình có đáy là hình tròn ngoại tiếp đáy lăng trụ. Chiều cao của hai hình trụ này đều bằng chiều cao của hình lăng trụ.
a] Tính Sxq của hai hình trụ đó.
b] Tính tỷ số thể tích, tỷ số Sxq của hai hình trụ.
Tìm sự liên hệ giữa hai tỷ số đó.
Hướng dẫn giải
Dễ thấy hình lục giác đều có cạnh a nên:
=> R =a ; r= a√3/2
a] Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình tròn ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ. Ta có:
S1 = 2πRh = 2πah
S2 = 2πrh = πah√3
b] Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ đó. Ta có:
V1 = πR2h = πa2h
V2 = πr2h = 3πa2h/4
Bài tập trắc nghiệm Hình trụ, Hình nón, Hình cầu
Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD[ AB=2a; BC=a]. Quay hình chữ nhật đó xung quanh BC thì được hình trụ có thể tích V1; quay quanh AB thì được hình hình trụ có thể tích V2. Khi đó ta có:
A. V1 = V2
B. V1 = 2V2
C. V2 = 2V1
D. V1 = 4V2
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=3cm, AC=2cm, người ta quay tam giác ABC quanh quanh cạnh AC được hình nón, khi đó thể tích hình nón bằng:
A. 6π B. 12 C. 4π D. 18
Câu 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=6[cm] cố định. Quay nửa hình tròn đó quanh AB thì được một hình cầu có thể tích bằng:
A. 288π B. 9π C. 27π D. 36π
Câu 4: Hình chữ nhật ABCD, AB=10cm, AD=12cm, quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB, thể tích hình sinh ra là:
A. 300π B. 1440π C. 1200π D. 600π
Câu 5: Hình nón có bán kính đáy 10cm, chiều cao 9cm thế tích của hình nón là:
A. 912 B. 942 C. 932 D. 952
Câu 6: Tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm, AC=8cm. Thể tích hình sinh ra khi quay tam giác ABC quay quanh AB là:
A. 24π B. 32π C. 96π D. 128π
Câu 7: Một hình nón có diện tích xung quanh là 72π , bán kính đáy là 6cm. Độ dài đường sinh là:
A. 6cm B. 8cm C. 12cm D. 13cm
Hướng dẫn giải và đáp án
Câu 1: Ta có: Khi quay hình chữ nhật đó quanh BC thì chiều cao của hình trụ được sinh ra là BC=a .Khi đó:
V1= S.h = π[2a]2.a = π.4a2.a = 4πa3
Khi quay hình chữ nhật đó quanh AB thì chiều cao của hình trụ được sinh ra là AB=2a. Khi đó:
V2 = S.h = πa2.2a = 2πa3
=> V1 = 2V2
Chọn B
Câu 2: Thể tích hình nón là: V = 1/3 S.h = 6π
Chọn A
Câu 3: Chọn: D
Câu 4: Hình sinh ra là hình tru có chiều cao là AB. Thể tích hình trụ sinh ra là:
V = 10π122 = 1440π
Chọn B
Câu 5:Chọn: B
Câu 6: Chọn D
Câu 7: Chọn C
Câu 8: Một khối cầu có thể tích là 113,04cm 3. Vậy diện tích mặt cầu là:
A. 200,96cm2
B. 226,08cm2
C. 150,72cm2
D. 113,04cm2
Câu 9: Một hình trụ có thể tích là 785cm3 và có chiều cao là 10cm, thì bán kính đáy của hình trụ là:
A. 10cm B. 5cm C. 20cm D. 15cm
Câu 10: Diện tích xung quanh của hình nón có chu vi đáy 40cm và độ dài 1 đường sinh 20cm là:
A. 400cm2
B. 4000cm2
C. 800cm2
D. 480cm2
Câu 11: Hình nón có chu vi đáy là 50,24 cm, chiều cao là 6cm. Độ dài 1 đường sinh là:
A. 9cm B. 10cm C. 10,5cm D. 12cm
Câu 12: Một hình nón có thể tích là 4πa3 [đvtt] và có chiều cao là 2a thì có đơn vị độ dài bán kính đáy là:
A. a B. 3a C. a√2 D. a√6
Câu 13: Một hình trụ có thể tích V = 125π cm3 và có chiều cao là 5cm thì diện tích xung quanh của hình trụ là:
A. 25π B. 50π C. 40π D. 30π
Câu 14: Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 20π [cm2] và bán kính đáy 4cm. Đường cao của hình nón là:
A. 5cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
Hướng dẫn giải và đáp án
Câu 8: Bán kính hình cầu là: V = 4/3 πR3 [cm]
=> R = 3
Diện tích mặt cầu là: S= 4πR2 = 4.3,14.32 = 113,04 [cm2]
Vậy chọn D
Câu 9: V = πR2h => h = 5. Chọn B
Câu 10: Bán kính đường tròn đáy là: 40:[2 . 3,14] = 1000/157[cm]
Diện tích xung quanh là Sxq = πrl = 400[cm2]
Chọn: A
Câu 11: Bán kính đáy là: 50,24 : [3,14.2] = 8 [cm]
Độ dài đường sinh là: √[82 + 62] = 10 [cm]
Chọn B
Câu 12: Ta có:
Chọn D
Câu 13: Bán kính hình trụ là:
Diện tích xung quanh là: Sxq = 2πRh = 2π.5.5 = 50π
Chọn đáp án: B
Câu 14: Sxq = πRl => l = 5
Đường cao hình nón là √[52 - 42] = 3
Chọn B
Câu 16: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh AB=a và cung tròn BC có tâm A bán kính a. Quay tam giác ABC và Cung BC quanh canh AB, thì phần khối cầu nằm ngoài khối nón là:
Câu 17: Cho hình trụ ABCD nội tiếp khối cầu tâm O bán kính R, biết AB=R. Thể tích của khối cầu nằm ngoài khối trụ là:
Câu 18: Hai hình trụ và hình nón có cùng bán kính đáy và đường cao. Gọi V1 là thể tích hình trụ, V2 là thể tích hình nón. Tỷ số V1/V2 là:
A. 1/3 B. 3 C. 2/3 D. 4/3
Câu 19: Cho hình chữ nhật MNPQ có MN=4cm, MQ=3cm. Khi quay hình chữ nhật đã cho một vòng quanh cạnh MN ta được một hình trụ có thể tích bằng:
A. 48
B. 36π
C. 24π
D. 72π
Câu 20: Một hình cầu có diện tích mặt cầu bằng 64π[cm2]. Thể tích hình cầu đó bằng:
A. 32/3π
B. 256/3π
C. 64π
D. 256π
Câu 21: Cho hình chữ nhật có chiều dài là 3m, chiều rộng là 2m. Quay hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ, khi đó diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng:
A. 6π B. 8π C. 12π D. 18π
Câu 22: Một hình trụ có diện tích đáy và diện tích xung quanh đều bằng 324[m2]. Khi đó chiều cao của hình trụ là:
A. 3,14 m B. 31,4m C. 5,08m D. 10m
Câu 23: Cho hình chữ nhật có chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm. Quay quanh hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là:
A. 12π B. 48π C. 24π D. 36π
Câu 24: Cho tam giác MNP vuông tại M, MP=3cm, MN=4cm. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh MN được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
A. 10π B. 20π C. 15π D. 12π
Câu 25: Hình trụ có chiều cao h=8[cm] và bán kính đáy là 3cm thì diện tích xung quanh là:
A. 16π B. 24π C. 32π D. 48π
Hướng dẫn giải và đáp án
Câu 16: Thể tích khối cầu được sinh ra khi quay quanh AB là:
V = 1/2 . 4/3 . πR3 = 2/3πa3
Thể tích hình nón được sinh ra khi quay tam giác vuông ABC quanh AB là:
V = 1/3 S.h = 1/3 πR2.h = 1/3πa3
Phần khối cầu nằm ngoài khối nón là: V = 2/3πa3 - 1/3πa3 = 1/3πa3
Vậy chọn B
Câu 17: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ ABCD là:
Chiều cao của trụ là:
Thể tích của trụ ABCD là:
Thể tích phần cần tìm là:
Vậy chọn:B
Câu 18: Chọn B
Câu 19: Khi quay hình chữ nhật MNPQ quanh cạnh MN thì được một hình trụ có chiều cao là cạnh MN=4cm.
Thể tích hình trụ là: V= S.h = π32.4 = 36π
Chọn đáp án: B
Câu 20: Chọn: B
Câu 21: Chọn C
Câu 22: Sxq = 2πrh = 324 [1]
Sd = πr2 = 324 [2]
Lấy [2] chia [1] ta được: r= 2h
Thay r=2h vào [1] ta được: 2π2h.h = 324 => h = 5,08 [m]
Vậy chọn C
Câu 23: Chọn C
Câu 24: Đường sinh của hình nón là:
Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq = πrl = π.3.5 = 15π
Vậy chọn C
Câu 25: Chọn đáp án: D