Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức các bạn được học trong chương trình Toán lớp 9. Nó là một bất đẳng thức quan trọng được sử dụng nhiều nhất trong giải toán về chứng minh bất đẳng thức. Vậy bất đẳng thức Cosi và những bài toán áp dụng là gì?

Bất đẳng thức Cosi lớp 9

Bất đẳng thức Cosi hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.

BĐT được biểu diễn như sau: [x1 + x2 + x3 + ….+ xn]/n ≥ √x1.x2.x3….xn

Ngoài ra, BĐT Cosi được biểu diễn dưới dạng cụ thể sau: [a + b]/2 ≥ √a.b

Để chứng minh bất đẳng thức Cosi trên, ta có:

[a + b]/2 ≥ √a.b a + b ≥ 2√a.b a – 2√a.b + b ≥ 0 [√a – √b]2 ≥ 0 [1]

Với a và b là những số không âm thì biểu thức [1] luôn luôn đúng

Suy ra điều cần chứng minh.

Nhưng trong giải bài toán áp dụng BĐT Cosi, các bạn được phép áp dụng luôn BĐT mà không cần chứng minh.

Các dạng của bất đẳng thức cosi

Bất đẳng thức cosi là bất đẳng thức nổi tiếng trong toán học. Nó được chia là hai loại: dạng cụ thể và dạng tổng quát.

• Với Bất đẳng thức dạng cụ thể là dạng với trị số n cụ thể. Với n ở đây là những con số được xác định trong bất đẳng thức. Ví dụ như với 2 số thực không âm, ba số thực không âm hay bốn số thực không âm,….
• Với Bất đẳng thức dạng tổng quát thì n là số không được xác định. Trong đó, điều kiện của n phải đáp ứng là n không âm. Với dạng tổng quát này, chúng ta sẽ có bốn dạng tổng quát với x1, x2, x3, …xn không âm. Để nắm vững được các dạng tổng quát này, mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.

Một số hệ quả của bất đẳng thức cauchy

Hệ quả của bất đẳng thức cosi được áp dụng nhiều trong giải bài toán bất đẳng thức về tìm giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức hay một bất đẳng thức. Các bạn sẽ có hai hệ quả cần ghi nhớ. Đó là:

• Hệ quả 1: Khi tổng của hai số dương không đổi thì tích của hai số này lớn hơn khi hai số đó bằng nhau.
• Hệ quả 2: Khi tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này sẽ nhỏ nhất hai số đó bằng nhau.

Ngoài ra, các bạn còn một số kĩ thuật khi sử dụng bất đẳng thức cosi là

• Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
• Kỹ thuật tách nghịch đảo
• Kỹ thuật chọn điểm rơi
• Kỹ thuật đánh gí từ trung bình nhân [TBN] sang trung bình cộng [TBC]

Những bài toán áp dụng bất đẳng thức Cosi.

Trong bài toán về bất đẳng thức sẽ không chỉ rõ được những dạng thường áp dụng bất dẳng thức nào. Vì một bài toán có thể có nhiều cách làm và áp dụng các bất đẳng thức khác nhau. Trong khi, bất đẳng thức là bài toán rất khó, nó là bài toán phân loại học sinh.

Do đó, để biết cách áp dụng BĐT Cosi vào giải bài toán, các bạn cần luyện bài tập thật nhiều. Ở đây chúng tôi có tổng hợp 50 bài toán điển hình về áp dụng bất đẳng thức Cosi. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.

Với loạt Các dạng bài tập Bất đẳng thức và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

1. Lý thuyết

1. Định nghĩa bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a < b” được gọi là bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề “a < b ⇒ c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b ⇒ c < d.

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d.

1. Tính chất của bất đẳng thức:

Tên gọi và điều kiện

Nội dung

Cộng hai vế của bất đẳng thức với số bất kì

ab+d

Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

0 0]

Ta có: x+y+z=a+b+c2=1

Với x + y + z = 1 và x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta có:

x+y+z≥ 3.xyz3 và 1x+1y+1z≥ 3.1xyz3

⇒x+y+z.1x+1y+1z≥9

Suy ra 1x+1y+1z≥9 hay 1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab≥9 .

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4x4−3x2+9x2 ; x

0.

Lời giải:

Xét hàm số y=4x4−3x2+9x2=4x2+9x2−3 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 4x2+9x2≥24x2.9x2 =12 ⇒y≥9 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4x4−3x2+9x2 là 9 khi 4x2=9x2⇔x2=32⇔x=±62 .

Câu 7: Cho x≥2 . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số fx=x−2x .

Lời giải:

Ta có fx≥0 và fx2=x−2x2=1x−2x2=18−21x−142≤18⇒0≤fx≤122=24 .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 24 đạt được khi x=4

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y=6−2x+3+2x .

Lời giải:

Tập xác định của hàm số D=−32;3 .

Ta thấy y>0 ∀x∈−32;3 .

Có y2=9+26−2x3+2x≥9 ∀x∈−32;3 .

Suy ra y≥3 ; ∀x∈−32;3.

Dấu bằng xảy ra khi x=−32x=3 .

Vậy Min yx∈−32;3=3 .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 26−2x3+2x≤6−2x+3+2x=9 với ∀x∈−32;3.

Suy ra y2≤18,∀x∈−32;3⇒y≤32,∀x∈−32;3.

Dấu bằng xảy ra khi 6−2x=3+2x⇔x=34 .

Vậy Max yx∈−32;3=32 .

Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn ab>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a2b2+b2a2−2ab−2ba−1 .

Lời giải:

Ta có:

P=a2b2+b2a2−2ab−2ba−1

\=a2b2−2ab+1+b2a2−2ba+1−3

\=ab−12+ba−12−3≥−3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab=1ba=1⇔a=b≠0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi [ ].

Câu 10: Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường [không phải rào]. Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được?

Lời giải:

Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x, y [x, y > 0; y là cạnh của bức tường].

Ta có: 2x + y = 100 .

Diện tích hình chữ nhật là :

S=xy=2.x.y2≤C​osi2.x+y222=182x+y2=181002=1250.

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 1250m2 khi x=y2⇔y=2x⇒x=25 m ; y=50m .

3.2 Trắc nghiệm:

Câu 1: Cho các bất đẳng thức a > b và c > d. Bất đẳng thức nào sau đây đúng

1. a−c>b−d .

1. a+c>b+d .

1. ac>bd .

1. ac>bd .

Lời giải:

Chọn B.

Theo tính chất bất đẳng thức, a>bc>d⇔a+c>b+d .

Câu 2: Suy luận nào sau đây đúng?

1. a>b>0c>d>0⇒ac>bd .

1. a>bc>d⇒a−c>b−d .

1. a>bc>d⇒ac>bd .

1. a>bc>d⇒ac>bd .

Hướng dẫn

Chọn A.

a>b>0c>d>0⇒ac>bd đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.

Câu 3: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?

1. 6a>3a .

1. 3a>6a .

1. 6−3a>3−6a .

1. 6+a>3+a .

Hướng dẫn

Chọn D.

Ta có 6+a>3+a⇔6+a−3−a>0 ⇔3>0 đúng với mọi số thực a.

Câu 4: Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

1. a>b⇔a−b>0 .

1. a>b>0⇒1ab⇔a3>b3 .

1. a>b⇔a2>b2 .

Hướng dẫn

Chọn D.

Các mệnh đề A, B, C đúng.

Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: −2>−5 nhưng −22=4 b khẳng định nào sau đây là đúng?

1. 2ab−c,∀c∈ℝ.

1. −acb,∀c∈ℝ .

Hướng dẫn

Chọn C.

Đáp án A sai ví dụ 2>0⇒2.2>2.0

Đáp án B sai với a = 3, b = 2, c = -2.

Đáp án C đúng vì −ab.

Đáp án D sai khi c≤0.

Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

1. a+b≤a+b .

1. xbc,∀c∈ℝ .

1. a+b≥2ab , a≥0,b≥0 .

Hướng dẫn

Chọn C.

Các đáp án A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đáp án D đúng theo bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm a và b.

Đáp án C sai khi c < 0 [vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho].

Câu 7: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a + b = 4. Khẳng định nào sau đây đúng?

1. Tích a.b có giá trị nhỏ nhất là 2.

1. Tích a.b không có giá trị lớn nhất.

1. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 4.

1. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 2.

Hướng dẫn

Chọn C.

Với mọi số thực a và b ta luôn có: a.b≤a+b24⇔a.b≤4.

Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=2.

Câu 8: Gi2−2á trị nhỏ nhất của hàm số fx=2x+3x với x > 0 là:

1. 43 .

1. 26 .

1. 6 .

1. 23 .

Hướng dẫn

Chọn B.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 2x+3x≥26 suy ra giá trị nhỏ nhất của f[x] bằng 26 .

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x−2+4−x .

1. 2.

1. 2 .

1. 2−2 .

1. 0.

Hướng dẫn

Chọn B.

A=x−2+4−x có tập xác định D=2; 4 .

Ta có: A2=2+2x−24−x≥2⇒A≥2 , dấu bằng xảy ra khi x = 2 hoặc x = 4.

Câu 10: Cho các mệnh đề sau

ab+ba≥2 I ; ab+bc+ca≥3 II ; 1a+1b+1c≥9a+b+c III

Với mọi giá trị của a, b, c dương ta có:

1. [I] đúng và [II], [III] sai.

1. [II] đúng và [I], [III] sai.

1. [III] đúng và [I], [II] sai.

1. [I], [II], [III] đúng.

Hướng dẫn

Chọn D.

Với mọi a, b, c dương ta luôn có:

ab+ba≥2ab.ba⇔ab+ba≥2 , dấu bằng xảy ra khi a = b. Vậy [I] đúng.

ab+bc+ca≥3ab.bc.ca3⇔ab+bc+ca≥3 , dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy [II] đúng.

a+b+c.1a+1b+1c≥3abc3.31abc3=9⇒1a+1b+1c≥9a+b+c, dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy [III] đúng.

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải
• Bất phương trình bậc hai và cách giải
• Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
• Bảng phân bố tần số, tần suất và cách giải
• Biểu đồ và cách giải bài tập

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• [mới] Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• [mới] Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• [mới] Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn SALE shopee tháng 12:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.