Các phép toán trên tập hợp số nguyên năm 2024

Tập hợp và các phép toán trên tập hợp là chủ đề quan trọng trong chương trình toán học trung học cơ sở. Vậy cụ thể tập hợp là gì? Tập hợp rỗng là gì? Cách xác định tập hợp? Thế nào là phép hợp? Phép giao là gì? Phép hiệu là gì? Ví dụ và bài tập nâng cao về các phép toán trên tập hợp?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp toàn bộ kiến thức về chuyên đề các phép toán trên tập hợp, cùng tìm hiểu nhé!

Tập hợp là gì? Các khái niệm về tập hợp

Định nghĩa tập hợp là gì?

• Tập hợp trong toán học có thể được hiểu là một sự tụ tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó. Những đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp và bất kỳ một đối tượng nào cũng đều có thể được đưa vào một tập hợp.
• Tập hợp được xem là một trong những khái niệm nền tảng nhất của toán học hiện đại ngày nay. Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp là lý thuyết tập hợp.
• Ta hiểu khái niệm tập hợp qua các ví dụ như: Tập hợp tất cả các học sinh lớp 10 của trường em, tập hợp các số nguyên tố…Thông thường, mỗi tập hợp gồm các phần tử chung có chung 1 hay 1 vài tính chất nào đó:
  • Nếu a là phần tử của tập hợp X, ta viết \(a\in X\)
  • Nếu a không phải là phần tử của X, ta viết \(a\notin X\)
• Một tập hợp có thể là một phần tử của một tập hợp khác. Tập hợp mà trong đó mỗi phần tử của nó là một tập hợp còn được gọi là họ tập hợp.

Tập hợp rỗng là gì?

• Lý thuyết tập hợp đã thừa nhận rằng có một tập hợp không chứa phần tử nào, được gọi là tập hợp rỗng.
• Các tập hợp mà trong đó có chứa ít nhất một phần tử được gọi là tập hợp không rỗng.

Cách xác định tập hợp

Ta thường cho một tập hợp bằng hai cách sau đây:

• Liệt kê các phần tử của tập hợp.
• Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Các phép toán trên tập hợp

Các phép toán trên tập hợp bao gồm phép hợp, phép giao, phép hiệu và phép lấy phần bù.

Phép hợp là gì?

Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu là \(A\cup B\), là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

\(A\cap B\Leftrightarrow \{ x\mid x\in A\) và \(x\in B \}\)

Ví dụ: Cho tập \(A=\left \{ 2;3;4 \right \}, B=\left \{ 1;2 \right \}\) thi \(A\cup B=\left \{ 1;2;3;4\right \}\)

Phép giao là gì?

Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu: \(A\cap B\). Là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B.

\(A\cup B\Leftrightarrow \{ x\mid x\in A\) hoặc \(x\in B \}\)

Nếu 2 tập hợp A và B không có phần tử chung, nghĩa là \(A\cap B= \emptyset\) thì ta gọi A và B là 2 tập hợp rời nhau.

Ví dụ: Cho tập \(A=\left \{ 2;3;4 \right \}, B=\left \{ 1;2 \right \}\) thi \(A\cap B=\left \{ 1 \right \}\)

Phép hiệu là gì?

Phép hiệu (hiệu của hai tập hợp) là gì? Hiệu của tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu: \(A \setminus B\)

\(A\setminus B={x\mid x\in A}\) & \(x\notin B\)

Ví dụ: Cho tập \(A=\left \{ 2;3;4 \right \}, B=\left \{ 1;2 \right \}\) thi:

\(A\setminus B=\left \{ 3;4 \right \}\)

\(B\setminus A=\left \{ 1\right \}\)

Phép toán hiệu trên tập hợp

Phép lấy phần bù là gì?

Cho A là tập con của tập E. Phần bù của A trong X là \(X\setminus A\), ký hiệu là \(C_{X}A\) là tập hợp cả các phần tử của E mà không là phần tử của A.

Ví dụ: Cho tập \(A=\left \{ 2;3;4 \right \}, B=\left \{ 1;2 \right \}\) thi \(C_{A}B=A\setminus B=\left \{ 3;4 \right \}\)

Tổng hợp phép hợp, phép giao, phép hiệu, phép lấy phần bù

Những tập con của tập hợp số thực

Các tính chất cơ bản

• Luật lũy đẳng
  • Giao hoặc hợp của một tập hợp với chính nó cho kết quả là chính nó. Mặt khác, hợp của một tập với phần bù của nó cũng là chính nó nhưng giao của một tập với phần bù của nó lại là một tập rỗng.
  • \(A\cup A=A\)
  • \(A\cap A=A\)
• Luật hấp thụ ( (còn gọi là luật bao hàm)
  • \(A\cup (A\cap B)=A\)
  • \(A\cap (A\cup B)=A\)
• Luật giao hoán
  • \(A\cup B=B\cup A\)
  • \(A\cap B=B\cap A\)
• Luật kết hợp
  • \(A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\)
  • \(A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)
• Luật phân phối
  • \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)
  • \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\)
• Luật De Morgan
  • \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\)
  • \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}\)
    Những tập con của tập hợp số thực

Các dạng toán ứng dụng các phép toán trên tập hợp

• Dạng toán 1: Xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp.
• Dạng toán 2: Sử dụng biểu đồ Ven để giải toán.
• Dạng toán 3: Chứng minh tập hợp bằng nhau, tập hợp con.
• Dạng toán 4: Phép toán trên tập hợp con của tập số thực.

Một số bài tập các phép toán trên tập hợp

Bài tập 1: Các phép toán trên tập hợp

Cho A là tập hợp các học sinh lớp 12 đang học ở trường em và B là tập hợp các học sinh đang học môn Toán của trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau: \(A\cup B;A\cap B;A\setminus B;B\setminus A\).

Cách giải:

• \(A\cup B\): tập hợp các học sinh hoặc học lớp 12 hoặc học môn Toán của trường em.
• \(A\cap B\): tập hợp các học sinh lớp 12 học môn Toán của trường em.
• \(A\setminus B\): tập hợp các học sinh học lớp 12 nhưng không học môn Toán của trường em.
• \(B\setminus A\): tập hợp các học sinh học môn Toán của trường em nhưng không học lớp 12 của trường em.

Bài tập 2: Các phép toán trên tập hợp

Tìm tập hợp A, B biết:

\(\left\{\begin{matrix} A\setminus B & = & \left \{ 1;5;7;8 \right \}\\ B\setminus A& = & \left \{ 2;10 \right \}\\ A\cap B& = & \left \{ 3;6;9 \right \} \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Ta có:

[\(A\setminus B = \{ 1;5;7;8 \} \Rightarrow \{\begin{matrix} \{ 1;5;7;8 \} \subset B\\ \{ 1;5;7;8 \} \nsubseteq B \end{matrix}\)

\(B\setminus A = \{ 2;10 \}\Rightarrow \{\begin{matrix} \{2;10 \} \nsubseteq A\\ \{ 2;10 \} \subset B \end{matrix}\)

\(A\cap B = \left \{ 3;6;9 \}\Rightarrow \{\begin{matrix} \{ 3;6;9 \} \subset A\\ \{ 3;6;9 \} \subset B \end{matrix}\)

\=> Tập hợp A: \(A=\left \{ 1;5;7;8 \right \}\cup \left \{ 3;6;9 \right \}=\left \{ 1;3;5;6;7;8;9 \right \}\)

Tập hợp B: \(A=\left \{ 2;10 \right \}\cup \left \{ 3;6;9 \right \}=\left \{ 2;3;6;9;10 \right \}\)

Trên đây là những kiến thức tổng hợp của DINHNGHIA.VN về chủ đề tập hợp và các phép toán trên tập hợp. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và tìm hiểu về các phép toán trên tập hợp. Chúc bạn luôn học tốt!