Cách chứng minh 3 cạnh bằng nhau
|
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC ************************I/ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU:1/ Chứng minh hai tam giác bằng nhau => 2 cạnh bằng nhau2/ Cùng bằng đoạn thẳng thứ 33/ Là 2 cạnh của tam giác cân hay đều.4/ Các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật; cạnh của hình vuông, hình thoi5/ Lợi dụng vào một số tính chất của trung điểm; đường chéo các hình, hình thang cân; đường trung trực đoạn thẳng.6/ Tính chất về đường trung bình của tam giác, hình thang.7/ Lợi dụng các đại lượng bằng nhau trong đường tròn; tính chất về đối xứng trục, đối xứng tâm. I/ CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU:1/ Chứng minh hai tam giác bằng nhau => 2 góc bằng nhau2/ Cùng bằng góc thứ 3 hoặc cùng cộng vào góc thứ 3 thì bằng nhau3/ Là 2 góc đáy của tam giác cân hay đều.4/ Các góc đối của hình bình hành, góc đáy của hình thang cân.5/ Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau.6/ Tính chất góc nội tiếp của đường tròn, hay góc ở tâm.7/ Tính chất về đối xứng trục, đối xứng tâm.8/ Tính chất của 2 đường thẳng song song. 9/ Lợi dụng vào các góc bằng nhau rồi biến đổi.10/ Tính chất góc đối đỉnh, góc có cạnh vuông góc, góc có cạnh song song.III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG:1/ Chứng minh các cặp góc đồng vò, … bằng nhau hay các góc trong cùng phía bù nhau.2/ Cùng song song với đoạn thẳng thứ 33/ Cùng vuông góc với đoạn thẳng thứ 34/ Là các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật; hình vuông, hình thoi.5/ Đường trung bình của tam giácIV/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC:1/ Lợi dụng hai góc kề bằng nhau.2/ Lợi dụng các góc vuông cho trước học các góc phụ nhau3/ Lợi dụng đoạn thẳng thứ 3 làm trung gian4/ Lợi dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều.5/ Lợi dụng vào đường trung trực đoạn thẳng6/ Tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông.V/ CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG:11/ Lợi dụng góc kề bù.2/ Lợi dụng AM + MB = AB thì 3 điểm A, M, B thẳng hàng.3/ Lợi dụng cùng song đường thẳng thứ 34/ Lợi dụng góc đối đỉnhVI/ CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY: (cắt nhau tại một điểm)1/ Chứng minh giao điểm 2 đường thẳng nằm trên đường thẳng thứ 3.2/ Dựng đường đi qua giao điểm của 2 đường thẳng đã cho rồi chứng minh đường này trùng với đường thứ ba.3/ Qua giao điểm của 2 đường thẳng cho trước dựng 2 đường thẳng khác rồi chứng minh 2 đường này hõp thành một đường thẳng thứ 34/ Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm cố đònh5/ Lợi dụng đònh lý về các đường đồng quy trong tam giác.VII/ CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG NĂM TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN:1/ Lợi dụng tam giác vuông có cạnh huyền chung.2/ Lợi dụng 2 tam giác có đáy chung và góc ở đỉnh bằng nhau (Góc nội tiếp)3/ Lợi dũng các góc đối diện bù nhau trong một tứ giác4/ Lợi dùng vào góc ngoài của một tứ giác bằng góc trong đồi diện với góc kề của nó.5/ Chứng minh các đỉnh của một đa giác cách đều một điểm cố đònh.6/ Lần lượt chứng minh các đỉnh của một đa giác cùng nằm trên một đường tròn.VIII/ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG ( HAY HAI GÓC) KHÔNG BẰNG NHAU:1/ Lợi dụng mối liên hệ giữa 3 cạnh, cạnh và góc của tam giác hoặc đònh lý về các góc ngoài của tam giác.2/ Lợi dụng vào sự liên hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác3/ Lợi dụng sự liên hệ giữa hai tam giác có 2 cạnh tương ứng bằng nhau4/ Lợi dụng hình chiếu của 2 đường xiênLưu ý: Khi sử dụng 4 phương pháp trên ta thường phải dời chỗ đoạn thẳng hay góc đến một vò trí mới để các yếu tố trong giả thiết và kết luận có liên hệ nhau. Ta sử dụng 3 phương pháp sau:a. Phép tònh tiếnb. Phép đối xứng qua một đoạn thẳngc. Phép quay 2MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC VẼ ĐƯỜNG PHỤ:==================1/ Đem những điều kiện đã cho của bài toán, và những hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi (một hình mới), làm cho chúng có liên hệ với nhau. 2/ Tạo nên đoạn thẳng thứ 3 hoặc góc thứ 3, làm cho 2 đoản thẳng hoặc 2 góc cần chứng minh trên có lợi. 3/ Tạo đoạn thẳng hay góc bằng tổng, hiệu, gấp đôi hay nửa đoạn thẳng hay góc cho trước để đạt mục đích chứng minh đònh lý. 4/ Tạo nên những đại lượng mới (đoạn thẳng hay góc) bằng nhau, thêm vào những đại lượng mà bài ra đã cho để giúp cho việc chứng minh. 5/ Tạo nên một hình mới để có thể áp dụng một đònh lý đặc biệt nào đó. 6/ Biến đổi hình vẽ làm cho bài dễ chứng minh hơn trước.CÁC LOẠI ĐƯỜNG PHỤ===============1/ Kéo dài đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý, hoặc bằng một nửa độ dài cho trước, hoặc cắt một đường thẳng khác.2/ Nối 2 điểm cho trước hoặc 2 điểm cố đònh (gồm cả trung điểm của đoạn thẳng cố đònh) điểm nằm trên một đoạn thẳng cho trước và cách một đầu của đoạn thẳng 1 khoảng cho trước.3/ Từ 1 điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước hoặc dùng đường song song với một đường nào đó.4/ Từ 1 điểm cho trước hạ một đường vuông góc xuống 1 đường thẳng cho trước.5/ Dựng đường phân giác của một góc cho trước.6/ Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đường thẳng khác 1 góc bằng góc cho trước.7/ Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước8/ Bài ra cho 2 đường tròn giao nhau thì vẽ dây cung chung.9/ Bài ra cho 2 đường tròn tiếp xúc ta có thể dựng tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm.10/ Nếu có 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn thì qua 4 điểm đó có thể dựng thêm một đường tròn phụ.3VẼ ĐƯỜNG PHỤ NHƯ THẾ NÀO CHO LIVẼ ĐƯỜNG PHỤ NHƯ THẾ NÀO CHO LINHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI VẼ ĐƯỜNG PHỤ++++++++++++++++++++++++1/ Muốn đường phụ giúp ích cho việc chứng minh thì vẽ đường phụ phải có mục đích, không nên vẽ tuỳ tiện. Nếu không thì chẳng giúp cho việc chứng minh mà còn làm cho hình vẽ rối ren, hoa mắt khó mà tìm được cách giải.2/ Vẽ đường phụ phải tuân theo phép dựng hình cơ bản; những đường không có trong phép dựng hình cơ bản thỉ tuyệt đối không được dựng.3/ Có khi đường phụ vẽ thêm cũng là một đường nào đó nhưng vì cách dưng khác nhau nê cách chứng minh cũng khác nhau.4 Show
Các trường hợp bằng nhau của tam giác nằm trong chương trình Toán 7 được VnDoc tổng hợp và đăng tải. Chứng minh hai tam giác bằng nhau là dạng bài tập phổ biến đối với các em học sinh khi học về chuyên đề Hình học, vậy nhưng để giải các bài toán này một cách dễ dàng, nhanh chóng đòi hỏi các em phải có phương pháp thích hợp. Tài liệu dưới đây muốn chia sẻ tới các em là chứng minh hai tam giác bằng nhau...các trường hợp cạnh - góc - cạnh để các em tham khảo. Chứng minh hai tam giác bằng nhau
1. Các trường hợp bằng nhau của tam giáca) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh:a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.  + Xét ∆ABC và ∆DFE có: AB = DF (gt) AC = DE (gt) BC = EF (gt) Suy ra ∆ABC = ∆DFE (c - c - c) Tham khảo thêm: Trắc nghiệm Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh:Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. + Xét ∆ABC và ∆DFE có: AB = DF (gt) AC = DE (gt) Suy ra ∆ABC = ∆DFE (c - g - c) Lưu ý: Cặp góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau. Tham khảo thêm: Trắc nghiệm Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc:Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. + Xét ∆ABC và ∆DFE có: (gt) AB = DF (gt) Suy ra ∆ABC = ∆DFE (g - c - g) Lưu ý: - Cặp cạnh bằng nhau phải là cạnh tạo nên hai cặp góc bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau. - Khi hai tam giác đã chứng minh bằng nhau, ta có thể suy ra những yếu tố tương ứng còn lại bằng nhau. Tham khảo thêm: Trắc nghiệm Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc 2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông* Trường hợp cạnh góc vuông - cạnh góc vuông (cgv - cgv): Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. * Trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn (cgv - gn): Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề ấy cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. * Trường hợp cạnh huyền - góc nhọn (ch - gn): Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 3. Ứng dụng các trường hợp bằng nhau của tam giácChúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để: - Chứng minh: hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng; ... - Tính: các độ dài đoạn thẳng; tính số đo góc; tính chu vi; diện tích; ... - So sánh: các độ dài đoạn thẳng; so sánh các góc; ... 4. Bài tập vận dụng Các trường hợp bằng nhau của tam giáca) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnhBài 1: Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm A bán kính BC, vẽ cung tròn tâm C bán bính BA, chúng cách nhau giữa ở D (D và B nằm khác phía đối với bờ AC). Chứng minh rằng AD // BC Xét ΔABC và ΔCDA có AC chung AB = CD (gt) BC = DA (gt) Nên ΔABC = ΔCDA (c-c-c) ⇒ mà hai góc ở vị trí so le trong Do đó AD // BC Bài 2: Tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm của BC. Chứng mình rằng AM vuông góc với BC. Xét ΔAMB và ΔAMC có: AB = AC AM chung MB = MC (gt) ⇒ ΔAMB = ΔAMC (c-c-c) Suy ra Mà Nên b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnhBài 1: Cho đoạn thẳng BC. Gọi A là một điểm nằm trên đường trung trực xy của đoạn thẳng BC và M là giao điểm của xy với BC. Chứng minh AB = AC Xét hai tam giác AMB và AMC có: MB = MC (gt) AH là cạnh chung Nên ΔAMB = ΔAMC (c-g-c) ⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng) Bài 2: Cho đường thẳng AB, trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đoạn thẳng AB vẽ hai tia Ax ⊥ AB; By ⊥ BA. Trên Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho AC = BD. Gọi O là trung điểm của AB. a) Chứng mình rằng: ΔAOC = ΔBOD b) Chứng minh O là trung điểm của CD a) Xét ∆AOC và ∆BOD có: OA = OB (gt) AC = BD (gt) Suy ra ∆AOC = ∆BOD (c - g - c) b) Vì ∆AOC = ∆BOD (cmt) Mà tia OC và OD là hai tia nằm khác phía đối với AB nên suy ra O, C, D thẳng hàng (hai tia đối của hai góc đối đỉnh hay O nằm giữa CD) Ta có: O nằm giữa C và D nên OC = OD hay O là trung điểm của CD c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc:Bài 1: Cho ΔABC có Xét ∆EBC và ∆DCB có: BC chung Suy ra ∆EBC = ∆DCB (g - c - g) Suy ra BD = CE (cặp cạnh tương ứng bằng nhau) Bài 2: Cho tam giác ABC (AB = AC) và I là trung điểm của đáy BC. Dựng tia Cx song song với tia BA sao cho hai tia BA và Cx nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng BC. Lấy một điểm D nào đó trên AB. Gọi E là một điểm nằm trên tia Cx sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ba điểm D, I, E thẳng hàng. Xét ∆BID và ∆CIE ta có: BI = IC (I là trung điểm của BC) BD = CE (gt) ⇒ ΔBID = ΔCIE (c-g-c) Nên Hai góc này bằng nhau, chiếm vị trí đối đỉnh, có hai cạnh tương ứng BI và CI nằm trên một đường thẳng. Vậy D, I, E thẳng hàng 5. Bài tập trắc nghiệm Hai tam giác bằng nhauCâu 1: Cho ∆ PQR = ∆ DEF trong đó PQ = 4cm, QR = 6cm, PR = 5cm. Chu vi tam giác DEF là:
Câu 2: Cho ΔABC = ΔMNP. Biết AB = 5cm, MP = 7cm và chu vi của tam giác ABC bằng 22cm. Tính các cạnh còn lại của mỗi tam giác?
Câu 3: Cho DΔABC = ΔMNP có AB = 7cm, AC = 10cm, NP = 12cm. Tính chu vi tam giác MNP:
Câu 4: Cho ΔIEF = ΔMNO. Hãy tìm cạnh tương ứng với cạnh EF, góc tương ứng với góc E: A.MN và góc O B.MO và góc M C.NO và góc N Câu 5: Cho hai tam giác bằng nhau: Tam giác ABC (không có hai góc nào bằng nhau, không có hai cạnh nào bằng nhau) và môt tam giác có ba đỉnh là T, S, R. Hãy viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác đó biết rằng góc A bằng góc T và AC = TS.
Đáp án trắc nghiệm Hai tam giác bằng nhau
6. Bài tập tự luyệnSau khi nắm rõ các lý thuyết bên trên về những trường hợp bằng nhau của tam giác, mời các bạn cùng làm các bài tập ứng dụng dưới đây: Bài 1: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB = NC. Chứng minh: ∆NMB = ∆ NMC. Bài 2. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng: ABE = ACE Bài 3. Cho tam giác ABC có góc A = 400, AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC. Bài 4. Cho tam giác ABC (AB < AC) có AM là phân giác của góc A (M thuộc BC). Trên AC lấy D sao cho AD = AB. a. Chứng minh BM = MD b. Gọi K là giao điểm của AB và DM. Chứng minh ∆DAK = ∆BAC Bài 5. Cho tam giác ABC vuông ở C, có góc A bằng 600, tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc với AB (K thuộc AB), kẻ BD vuông góc với AE (D thuộc AE). Chứng minh: a. AK = KB b. AD = BC Bài 6. Cho tam giác ABC. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song với AB. Hai đường thẳng cắt nhau tại D. a. Chứng minh ∆ABC =∆ADC b. Chứng minh ∆ADB = ∆CBD c. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ∆ABO = ∆COD Bài 7. Cho góc xAy khác góc bẹt. Gọi AD là tia tia phân giác của góc xAy. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với Ay cắt Ay tại C và cắt Ax tại E. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với Ax cắt Ax tại B và cắt Ay tại H. Chứng minh: a. ∆ABD = ∆ACD b. ∆DBE = ∆DCH c. ∆ABH = ∆ACE Bài 8. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và D. Trên tia Oy lấy hai điểm C và E sao cho OD = OE và OA = OB. a. Chứng minh ∆ODC = ∆OBE b. Gọi A là giao điểm của BE và CD. Chứng minh ∆AOB = ∆AOC c. Chứng minh BC vuông góc với OA Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE. a. Chứng minh góc EAB = góc DAC. b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc DAE. c. Giả sử góc DAE = 600. Tính các góc còn lại của tam giác DAE. Bài 10. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng: a. ∆ABE = ∆ACE b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Bài 11. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng: a. ∆BDF = ∆EDC. b. BF = EC. c. F, D, E thẳng hàng. d. AD ⊥ FC Bài 12. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D). a. Chứng minh ∆OAD = ∆OBC b. So sánh 2 góc CAD và CBD. Bài 13. Cho ΔABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. a. Chứng minh ΔABC = ΔABD b. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh ΔMBD = ΔMBC. Bài 14. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh: a. ΔAOI = ΔBOI. b. AB ⊥ OI. Bài 15. Cho ΔABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA. a. Chứng minh AC // BE. b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng. Bài 16: Chứng minh hai tam giác bằng nhau thì hai đường cao tương ứng bằng nhau. Bài 17: Cho góc vuông xAy. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và D, trên tia Ay lấy 2 điểm C và E sao cho AB = AC và AD = AE a. Chứng minh tam giác ACD và tam giác ABE bằng nhau. b. Chứng minh tam giác BOD và tam giác COE bằng nhau. Với O là giao điểm của DC và BE. c. Chứng minh AO vuông góc với DE. Bài 18: Cho góc xOy khác góc bẹt, trên tia Ox lấy 2 điểm A và D trên tia OY lấy 2 điểm C và E sao cho OD = OE và OA = OB a. Chứng minh tam giác ODC và tam giác OBE bằng nhau. b. Gọi A là giao điểm của BE và CD. Chứng minh tam giác AOB và tam giác AOC bằng nhau. c. Chứng minh BC vuông góc với OA. Bài 19: Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M. a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC. b) Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC. c) K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AM, đường thẳng CK cắt cạnh AB tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh góc BAC bằng hai lần góc BIH. ----------------------------------------------------- Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 7. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất. Các trường hợp bằng nhau của tam giác được VnDoc chia sẻ trên đây. Hy vọng thông qua tài liệu này sẽ giúp cho các em nắm vững kiến thức cũng như áp dụng tốt vào giải bài tập trắc nghiệm của hai tam giác bằng nhau. Chúc các em học tốt, nếu thấy tài liệu hay, hãy chia sẻ cho các bạn cùng tham khảo nhé. Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu môn Toán 7 khác như: Giải bài tập Toán lớp 7, Giải Vở BT Toán 7, Đề thi học kì 1 lớp 7, Đề thi giữa kì 1 lớp 7, Đề thi học kì 2 lớp 7... cũng được cập nhật liên tục trên VnDoc.com.
|
