Ba đường thẳng đồng quy là một dạng toán thường gặp trong các bài toán hình học THCS cũng như THPT. Vậy ba đường thẳng đồng quy là gì? Bài toán tìm m để 3 đường thẳng đồng quy? Điều kiện 3 đường thẳng đồng quy? Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy? …. Trong nội dung bài viết dưới đây, hanvietfoundation.org sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề tìm m để 3 đường thẳng đồng quy cũng như những nội dung liên quan, cùng tìm hiểu nhé!.
Định nghĩa ba đường thẳng đồng quy: Cho ba đường thẳng \[ a,b,c \] không trùng nhau. Khi đó ta nói ba đường thẳng \[ a,b,c \] đồng quy khi ba đường thẳng đó cùng đi qua một điểm \[ O \] nào đó.Bạn đang xem: 3 đường thẳng đồng quy là gì
Ba đường thẳng đồng quy trong mặt phẳng
Ba đường thẳng đồng quy đồ thị hàm số
Đây là dạng bài toán hàm số. để chứng minh ba đường thẳng bất kì đồng quy tại 1 điểm thì ta tìm giao điểm của hai trong số ba đường thẳng đó. Sau đó ta chứng minh đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm nói trên
Ví dụ:
Trong mặt phẳng \[ Oxy \] cho phương trình ba đường thẳng :
\[\left\{\begin{matrix} a: x-y+6=0\\b: 3x-y+7=0 \\ c: [m-2]x+y-1=0 \end{matrix}\right.\]
Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy?
Cách giải:
Đầu tiên ta tìm giao điểm \[ O \] của \[ a \] và \[ b \]
Vì \[O=a\cap b\Rightarrow\] tọa độ của \[ O \] là nghiệm của hệ phương trình :
\[\left\{\begin{matrix} x-y+6=0\\ 3x-y+7=0 \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{11}{2} \end{matrix}\right.\]
\[\Rightarrow O[-\frac{1}{2};\frac{11}{2}]\]
Để ba đường thẳng \[ a,b,c \] đồng quy thì \[O[-\frac{1}{2};\frac{11}{2}] \in c\]
\[\Rightarrow [2-m].\frac{1}{2}+\frac{11}{2}-1=0\]
\[\Leftrightarrow m=11\]
Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy lớp 9
Trong các bài toán hình học phẳng THCS, để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy thì chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau đây :
Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.Sử dụng tính chất đồng quy trong tam giác:Sử dụng chứng minh phản chứng: Giả sử ba đường thẳng đã cho không đồng quy. Từ đó dẫn dắt để dẫn đến một điều vô lý
Ví dụ 1:
Cho tam giác \[ ABC \]. Qua mỗi đỉnh \[ A,B,C \] kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng lần lượt cắt nhau tại \[ F,D,E \]. Chứng minh rằng ba đường thẳng \[ AD,BE,CF \] đồng quy.
Bạn đang xem: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy lớp 9
Cách giải:
Ta có:
\[\left\{\begin{matrix} AE || BC\\AB ||CE \end{matrix}\right. \Rightarrow ABCE\] là hình bình hành
\[\Rightarrow AE=BC\]
Chứng minh tương tự ta cũng có \[ ACBF \] là hình bình hành
\[\Rightarrow AF=BC\]
\[\Rightarrow AE=AF \Rightarrow \] A là trung điểm \[ EF \]
Tương tự ta cũng có : \[ B \] là trung điểm \[ DF \]
\[ C \] là trung điểm \[ DE \]
Như vậy, \[ A,B,C \] là trung điểm của ba cạnh tam giác \[ DEF \]
Do đó \[\Rightarrow AD,BE,CF\] đồng quy tại trọng tâm tam giác \[ DEF \]
Ví dụ 2:
Cho tam giác \[ ABC \] có đường cao \[ AH \]. Lấy \[ D,E \] nằm trên \[ AB,AC \] sao cho \[ AH \] là phân giác của góc \[\widehat{DHE}\]. Chứng minh ba đường thẳng \[ AH,BE,CD \] đồng quy.
Cách giải:
Qua \[ A \] kẻ đường thẳng song song với \[ BC \] cắt \[ HD,HE \] lần lượt tại \[ M,N \]
Vì \[\left\{\begin{matrix} MN || BC \\ AH \bot BC \end{matrix}\right. \Rightarrow AH \bot MN\]
Mặt khác \[ AH \] lại là phân giác góc \[\widehat{MHN}\]
\[\Rightarrow AH\] vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác \[ MHN \]
\[\Rightarrow \Delta MHN\] cân tại \[ H \] và \[ AH \] cũng là đường trung tuyến của \[ MN \]
\[\Rightarrow AM=AN \;\;\;\; [1]\]
Do \[ MN || BC \] nên ta có :
\[\Delta DMA \sim \Delta DHB \Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{MA}{HB} \;\;\;\;[2]\]
Tương tự ta cũng có:
\[\Delta ENA\sim \Delta EHC\Rightarrow \frac{AE}{CE}=\frac{NA}{HC} \;\;\;\;[3]\]
Từ \[ [1][2][3] \] ta có :
\[\frac{DA}{DB}.\frac{HB}{HC}.\frac{EC}{EA}=\frac{MA}{HB}.\frac{HB}{HC}.\frac{HC}{NA}=\frac{AM}{AN}=1\]
Ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Trong không gian cho ba đường thẳng \[ a,b,c \]. Để chứng minh ba đường thẳng này cắt nhau ta có thể sử dụng hai cách sau đây :
Cách 1:Tìm \[I=a\cap b\]
Tìm hai mặt phẳng \[ [P],[Q] \] chứa \[ I \] thỏa mãn \[c = [P]\cap [Q]\]. Khi đó hiển nhiên \[ I \in c \]
Cách 2:Ta áp dụng định lý : Nếu \[ 3 \] mặt phẳng đôi một cắt nhau theo \[ 3 \] giao tuyến thì \[ 3 \] giao tuyến đó song song hoặc đồng quy
Áp dụng vào bài toán, ta chỉ cần chứng minh ba đường thẳng \[ a,b,c \] không đồng phẳng và cắt nhau đôi một
Ví dụ 1:
Cho hai hình bình hành \[ ABCD, ABEF \] thuộc hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đoạn thẳng \[ EC,DF \] lần lượt lấy hai điểm \[ M,N \] sao cho \[ AM,BN \] cắt nhau. Gọi \[ I,K \] lần lượt là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành. Chứng minh rằng ba đường thẳng \[ IK,AM,BN \] đồng quy.
Cách giải:
Gọi \[O=AM\cap BN\]
Xét hai mặt phẳng \[ [ACE],[BDF] \] ta có :
\[\left\{\begin{matrix} AC\cap BD =I\\ AE \cap BF =K \end{matrix}\right. \Rightarrow IK =[AEC]\cap [BDF] \;\;\;\; [1]\]
Mặt khác ta lại có :
\[\left\{\begin{matrix} O=AM\cap BN \\ AM \in [AEC]\\ BN \in [BDF] \end{matrix}\right. \Rightarrow O\] nằm trên cả hai mặt phẳng \[ [ACE],[BDF] \;\;\;\; [2]\]
Từ \[ [1][2] \Rightarrow O \in KI \]
Vậy \[ AM,BN,KI \] đồng quy tại \[ O \]
Ví dụ 2: Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy.
Tìm m để [d1]: y = 2x + 1; [d2]: y= -x-2 ; [d3]: y=[m-1]x – 4
Hãy tìm m để 3 đường thẳng đồng quy và vẽ hình để minh họa.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của [d1] và [d2]
y = 2x + 1 = -x-2
⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1
Suy ra ta có y = 2[-1] + 1 = -1
Như vậy giao điểm của [d1] và [d2] là I[-1;-1]
Để ba đường thẳng trên đồng quy [cùng giao nhau tại một điểm] thì điểm I phải thuộc đường thẳng [d3]
=> -1 = [m – 1][-1] – 4
⇔ m = -2
Khi đó thì phương trình đường thẳng [d3]: y = -3x – 4
Bài tập ba đường thẳng đồng quy
Sau đây là một số bài tập về 3 đường thẳng đồng quy để bạn đọc có thể tự rèn luyện :
Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy toán 9
Trong mặt phẳng \[ Oxy \] cho ba đường thẳng :
\[\left\{\begin{matrix} d_1: y=2x+1\\ d_2: y=-x-2 \\ d_3: [m-1]x-4 \end{matrix}\right.\]
Tìm giá trị của \[ m \] để ba đường thẳng trên đồng quy.
Xem thêm: Những Bài Toán Hình Hay Lớp 7 Có Đáp Án Hình Học 7 Ôn Tập Học Kì 1 Có Lời Giải
Chứng minh ba đường thẳng cùng đồng quy
Cho tứ giác lồi \[ ABCD \] và tam giác \[ ABM \] nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các cạnh \[ MA, MB \] của tam giác \[ MAB \] ta lấy các điểm tương ứng \[ A’, B’\] sao cho các đường thẳng \[ CA’, DB’ \] cắt nhau. Gọi \[ H \] là giao điểm hai đường chéo của tứ giác \[ ABCD \] .Chứng minh rằng các đường thẳng \[ MH, CA’, DB’ \] đồng quy.
Ba đường thẳng cùng đồng quy tại một điểm
Qua các điểm \[ A,D \] nằm trên đường tròn kẻ các đường tiếp tuyến, chúng cắt nhau taị điểm \[ S \]. Trên cung \[ AD \] lấy các điểm \[ A,B \]. Các đường thẳng \[ AC,BD \] cắt nhau taị điểm \[ P \] . Chứng minh rằng ba đường thẳng \[ AB,CD,SP \] đồng quy
Bài viết trên đây của hanvietfoundation.org đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết cũng như phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề ba đường thẳng đồng quy. Chúc bạn luôn học tốt!
Đồng quy là một dạng bài mà chúng ta thường gặp trong Toán hình học cấp 2 cũng như cấp 3. Vậy đồng quy là gì? Làm thế nào để chứng minh được 3 đường thẳng đồng quy? Trong nội dung bài viết dưới đây, maynenkhikhongdau.net sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!
Đồng quy là gì?
Trước khi tìm hiểu 3 đường thẳng đồng quy là gì chúng ta hãy cùng xem qua giải thích thế nào là đồng quy nhé! Đồng quy thực chất là một từ Hán Việt nhưng được sử dụng khá nhiều trong cuộc sống hàng ngày.
- Đồng: Có nghĩa là cùng nhau, song hành, sát cánh
- Quy: Có nghĩa là tụ lại, tập trung, tập hợp tại một điểm
Nói tóm lại “đồng quy” tức là cùng gặp nhau tại một vị trí cụ thể.
Ba đường thẳng đồng quy là gì?
Định nghĩa về ba đường thẳng đồng quy được diễn giải như sau: “Cho ba đường thẳng lần lượt là a, b, c không trùng với nhau. Nếu ba đường thẳng a,b,c cùng đi qua một điểm O nào đó thì ta sẽ gọi đó là đồng quy.
Ba đường thẳng đồng quy khi nào?Đường đồng quy sẽ có những tính chất nổi bật gì?
Dưới đây là một số tính chất vô cùng quan trọng về đường đồng quy mà bạn cần ghi nhớ để có thể ứng dụng vào quá trình làm bài tập.
– Nếu hai đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó có thể suy ra đường cao thứ 3 cũng sẽ cùng đi qua giao điểm đó.
– Nếu ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm của tam giác.
– Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trực tâm của tam giác.
– Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm thì từ đó ta có thể suy ra đường trung tuyến thứ 3 chắc chắn cũng đi qua giao điểm đó. Trọng tâm sẻ chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên tới đỉnh chiếm tới 2/3 độ dài của trung tuyến đó.
– Nếu ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm cụ thể thì điểm này sẽ được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
– Nếu hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó ta có thể suy ra đường phân giác thứ 3 cũng sẽ đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác.
– Khi ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
– Nếu hai đường trung trực bên trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó chúng ta có thể suy ra đường trung trực thứ 3 chắc chắn đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.
Những tính chất đáng nhớ của đường đồng quy là gì?Hướng dẫn cách chứng minh đồng quy trong toán học
Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy bạn có thể áp dụng những cách làm sau đây:
Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, sau đó tiến hành chứng minh đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm đó.
Cách 2: Chứng minh một điểm bất kỳ cũng thuộc vào ba đường thẳng đó.
Cách 3: Sử dụng 1 trong những tính chất đồng quy trong tam giác như là:
* Ba đường thẳng có chứa các đường trung tuyến.
* Ba đường thẳng có chứa các đường phân giác.
* Ba đường thẳng có chứa các đường trung trực.
* Ba đường thẳng có chứa các đường các đường cao.
Cách 4: Sử dụng tính chất của các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và những đoạn thẳng tỉ lệ.
Cách 5: Sử dụng các chứng minh phản chứng.
Cách 6: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm
Cách 7: Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.
Luyện tập giải các bài tập liên quan đến 3 đường thẳng đồng quy
Dưới đây là một số bài tập thường gặp về đường thẳng đồng quy mà bạn có thể tham khảo:
Bài 1: Cho tam giác ABC, qua lần lượt mỗi đỉnh A, B, C ta kẻ 3 đường thẳng song song với cạnh đối diện và chúng sẽ cắt nhau tại F, D, E. Hãy chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm.
Hình ảnh minh hoạ cho bài tập số 1Lời giải:
Ta có:
AE // BC
AB // CE
Từ đó suy ra được ABCE là 1 hình bình hành.
⇒ AE = BC
Dùng cách chứng minh tương tự ta cũng có ACBF là hình bình hành.
⇒ AF = BC
⇒ AE = AF
Như vậy A là trung điểm của EF.
Tương tự ta cũng có được B là trung điểm của đường thẳng DF, C là trung điểm của DE.
Như vậy, A, B, C lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác DEF. Do đó ta có thể ⇒AD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của tam giác DEF.
Bài 2: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy tại 1 điểm.
Ta có 3 đường thẳng lần lượt là [d1]: y = 2x + 1; [d2]: y = [-x] – 2; [d3]: y = [m-1]x – 4
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ là giao điểm của đường thẳng [d1] và [d2] ta có: y = 2x + 1 = [-x] – 2 ⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1
Suy ra ta có y = 2 x [-1] + 1 = -1
Như vậy giao điểm của [d1] với [d2] sẽ là là I[-1;-1]
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm I sẽ phải thuộc vào đường thẳng [d3]
=> -1 = [m – 1] x [-1] – 4 ⇔ m = -2
Như vậy phương trình đường thẳng [d3] sẽ là: y = -3x – 4
Hy vọng bài viết trên của chúng tôi đã giúp bạn hiểu đường đồng quy là gì, tính chất của nó cũng như cách chứng minh để có thể giải bài tập liên quan một cách nhanh chóng nhất nhé!