Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình bình hành

Lý thuyết 3 điểm thẳng hàng

Tổng quát 3 điểm thẳng hàng

- Khi ba điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta nói ba điểm thẳng hàng.

-Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

Với 3 điểm thẳng hàng A,B,C ta có thể nói:

-Điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

-Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm C, hai điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm A.

-Hai điểm A và C nằm khác phía đối với điểm B

Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Sử dụng tính chất góc bẹt

- Chứng minh ABC = 180o

A,B,Cthẳng hàng

Sử dụng tiên đề Ơ-clit

- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ ba điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.

Chẳng hạn chứng minh:

AM ΙΙ xyvàBM ΙΙ xy A,M,Bthẳng hàng

Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo từ 3 điểm đã cho cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó.

Chẳng hạn chứng minh :

Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt

- Chứng minh: Tia OA và OB cùng là tia phân giác của góc xOy

O, A, Bthẳng hàng

Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

- Chứng minh H,I,K cùng thuộc đường trung trực của AB

H, I, Kthẳng hàng

Sử dụng tính chất các đường đồng quy của tam giác

- Chứng minh :

+ I là trọng tâm củaΔABC

+ AD là trung tuyến củaΔABC

A, I, Dthẳng hàng

Sử dụng phương pháp vecto

Muốn chứng minh ba điểmA,B,Cthẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:

Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài toán 1:Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ sốAE/AC = . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Giải

Từ đây ta có:

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Bài toán 2: ChoΔABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm củaΔABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

Giải

Ta có:

Gọi E là trung điểm BC vàA1là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1:Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.

Cách giải:

Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1:Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.

Cách giải:

XétΔABDvàΔMCD, ta có:

B = C

AB = CM (gt)

BD = DC (D là trung điểm của BC)

ΔABD=ΔMCD(2 cạnh góc vuông)

A,D,M thẳng hàng (góc bẹt)

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M,N thỏa mãn các hệ thức:

Chứng minh rằng 3 điểm M,N,P thẳng hàng.

Cách giải: