Lý thuyết 3 điểm thẳng hàng
Tổng quát 3 điểm thẳng hàng
- Khi ba điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta nói ba điểm thẳng hàng.
-Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
Với 3 điểm thẳng hàng A,B,C ta có thể nói:
-Điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
-Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm C, hai điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm A.
-Hai điểm A và C nằm khác phía đối với điểm B
Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Sử dụng tính chất góc bẹt
- Chứng minh ABC = 180o
A,B,Cthẳng hàng
Sử dụng tiên đề Ơ-clit
- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ ba điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.
Chẳng hạn chứng minh:
AM ΙΙ xyvàBM ΙΙ xy A,M,Bthẳng hàng
Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc
- Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo từ 3 điểm đã cho cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó.
Chẳng hạn chứng minh :
Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt
- Chứng minh: Tia OA và OB cùng là tia phân giác của góc xOy
O, A, Bthẳng hàng
Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
- Chứng minh H,I,K cùng thuộc đường trung trực của AB
H, I, Kthẳng hàng
Sử dụng tính chất các đường đồng quy của tam giác
- Chứng minh :
+ I là trọng tâm củaΔABC
+ AD là trung tuyến củaΔABC
A, I, Dthẳng hàng
Sử dụng phương pháp vecto
Muốn chứng minh ba điểmA,B,Cthẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:
Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài toán 1:Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ sốAE/AC = . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Giải
Từ đây ta có:
Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Bài toán 2: ChoΔABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm củaΔABC. CMR O, G, H thẳng hàng.
Giải
Ta có:
Gọi E là trung điểm BC vàA1là điểm đối xứng với A qua O, ta được:
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Ví dụ 1:Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.
Cách giải:
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Ví dụ 1:Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.
Cách giải:
XétΔABDvàΔMCD, ta có:
B = C
AB = CM [gt]
BD = DC [D là trung điểm của BC]
ΔABD=ΔMCD[2 cạnh góc vuông]
A,D,M thẳng hàng [góc bẹt]
Ví dụ 2:Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M,N thỏa mãn các hệ thức:
Chứng minh rằng 3 điểm M,N,P thẳng hàng.
Cách giải: