Cách chứng minh hình tròn

Các dạng bài tập về đường tròn Toán lớp 9

Bài tập về đường tròn lớp 9 gồm các dạng toán: chứng minh điểm thuộc đường tròn, xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Trước tiên các em cần ghi nhớ Lý thuyết về đường tròn mới có thể làm được các dạng bài tập dưới đây.

Dạng 1: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc 1 đường tròn

* Phương pháp giải:Chứng minh các điểm đã cho cách đều 1 điểm cho trước

Ví dụ:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn [O], cácđường cao lần lượt là AD, BE, CF. Chứng minh rằng,bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

* Lời giải:

Theo giả thiết:

BE là đường cao BE AC

CF là đường cao CF AB

E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900

E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

Dạng 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp

* Phương pháp giải:

Tam giác thường:Vẽ hai đường trung trực, giao của 2 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tam giác vuông:Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

Tam giác cân:Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy tam giác.

Tam giác đều:Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 1:Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.

* Lời giải:

Theo định lý pitago ta tính chiều dài cạnh huyền, ta có:

Vì tam giác vuông cân, nên tâm đường tròn là trung điểm của cạnh huyền và chiều dài bán kính là:

Ví dụ 2:Xác định tâm và bán kính của đường tròn tâm [O] ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a.

* Lời giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là trực tâm của tam giác ABC.

Từ A hạ đường cao AH xuống BC, ta có:

Công thức suy ra từ pitago:

Tâm đường tròng là trực tâm của tam giác và có bán kính:

Bài tập 1:Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm hai đường chéo ; M,N,R,S là hình chiếu của O lần lượt trên AB , BC, CD và DA . Chứng minh 4 điểm M,N,R,S thuộc một đường tròn .

* Lời giải:Chứng minh 4 tam giác vuông bằng nhau.

ΔMBO =ΔNBO =ΔRBO =ΔABO

[vì cạnh huyền bằng nhau ,góc nhọn bằng nhau]

* Suy ra OM = ON = OR = OS

* Vậy M,N,R,S O

Bài tập 2:Cho Δ ABC cân tại A ; Nội tiếp Đường tròn [O] ; Đường cao AH cắt Đường tròn ở D .

1]Vì sao AD là đường kính của [O] ?

2]Tính số đo góc ACD ?

3]Cho BC = 24 cm ; AC = 20 cm ;Tính chiều cao AH và bán kính của [O]

* Lời giải:

1]Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của Δ ABC

MàΔ ABC cân ở A nên đường cao AH cũng chính là trung trực O AH

AD là dây qua tâm AD là đường kính

2]Nối DC; OC

Ta có CO là trung tuyến mà CO = AD/2 = R

ΔACD vuông ở C nên = 900

3]Vì AH là trung trực BH = HC = BC/2 =24/2 = 12

XétΔvuông AHC có :

Xét Δ vuông ACD có : AC2= AH .AD

AD = AC2/ AH = 202/16 = 25 cm R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm

Bài tập 3:Cho đường tròn [O] đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn, vẽ điểm N đối xứng với A qua M; BN cắt đường tròn tại C, gọi E là giao điểm của AC và BM.

1] Chứng minh:NE AB

2] Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn [O]

3] Kẻ CH AB [HAB] . Giả sử HB=R/2 , tính CB; AC theo R

Bài tập 4:Cho đường tròn [O; R] đường kính AB, lấy điểm C trên đường tròn sao cho AC = R.

1] Tính BC theo R và các góc của tam giác ABC.

2] Gọi M là trung điểm của AO, vẽ dây CD đi qua M. Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi.

3] Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn [O]

4] Hai đường thẳng EC và DO cắt nhau tại F. Chứng minh C là trung điểm của EF

Bài tập 5:Cho hai đường tròn [O; R] và [O; R] tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC. với B [O] và C [O]

1] Tính góc BÂC

2] Vẽ đường kính BOD. Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng

3] Tính DA.DC

4]Chứng minh OO là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC, vàtính BC?

Bài tập 6:Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt [O] tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H

1] Chứng minh : AE=AF và BE=BF

2] ADCO là tứ giác nội tiếp

3] DC2=DE.DB

4] AF.CH=AC.EC

5] Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của [O]

6] Từ E kẻ đường thẳng song song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng

• Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

• Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

• Đề cương ôn tập HK2 môn Toán 9 THCS Vinschool 2018-2019

• Nội dung ôn tập HK2 môn Toán 9 THCS Cát Linh 2017-2018

• Nội dung ôn tập HK2 môn Toán 9 THCS Chu Văn An 2017-2018

• Đề cương HK1 môn Toán 9 THCS Thái Thịnh 2018-2019

• Đề cương HK1 môn Toán 9 THCS Trưng Vương 2018-2019