Cách chứng minh số nguyên tố lớp 9

Chúng ta đã được biết về số tự nhiên từ khi còn học tiểu học. Và hiện tại chúng ta vẫn đang sử dụng kiến thức về số tự nhiên. Ở chuyên đề này, ConKec sẽ nhắc lại, củng cố và nâng cao các dạng bài tập liên quan đến số nguyên tố và hợp số. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích giúp các bạn trong học tập và nâng cao kiến thức

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

• Ôn tập lý thuyết và các ví dụ cụ thể
• Hướng dẫn giải bài tập liên quan

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Tóm tắt

• Tập hợp các số tự nhiên bao gồm số 0; số 1; số nguyên tố, hợp số.
• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó
• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.
• Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất
• Số 0 và số 1 không là số nguyên tố, cũng không là hợp số.

2. Cách chứng minh

• Để chứng minh một số là số nguyên tố, ta chứng minh số đó không có ước nào khác 1 và chính nó
• Để chứng minh một số là hợp số, ta chỉ ra rằng tồn tại một ước của nó khác 1 và chính nó. Hay nói cách khác, ta chứng minh số đó có nhiều hơn 2 ước.

3. Ví dụ

Hãy chứng minh rằng tích của hai số nguyên tố là một hợp số

Lời giải

Tích của hai số nguyên tố giống nhau $a.a$ có ước là $1; a; a^2$

Tích của hai số nguyên tố khác nhau $a.b$ có 4 ước là $1; a; b; a.b$

Vậy tích của hai số nguyên tố là một hợp số

Bài 1

a. Nêu tất cả các cách viết 34 dưới dạng tổng của hai số nguyên tố.

b. Nêu tất cả các cách viết 32 dưới dạng tổng của ba số nguyên tố.

Xem lời giải

Bài 2

Thay chữ số thích hợp vào dấu * để được hợp số: $\overline{2^*}; \overline{7^*}; \overline{^*27}$

Xem lời giải

Bài 3

Thay chữ số thích hợp vào dấu * để được số nguyên tố: $\overline{4^*}; \overline{8^*}; \overline{^*31}$

Xem lời giải

Bài 4

Chứng tỏ các số $12976; 15000; 10^{10}+8; 496728$ là hợp số.

Xem lời giải

Bài 5

Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 999, 2007 không?

Xem lời giải

Trong chương trình Toán 6, chứng minh một số là số nguyên tố là một dạng toán phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi. Để làm tốt dạng này bạn cần nắm vững lý thuyết về số nguyên tố và phương pháp chứng mình 1 số là số nguyên tố.

A. Tóm tắt lý thuyết về số nguyên tố

1. Định nghĩa số nguyên tố

Số nguyên tố là gì?

+ Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có ước là 1 và chính nó

Hợp số là gì?

+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 , có nhiều hơn hai ước

vd: 3;5;7;9;.................

Tập hợp các số tự nhiên bao gồm số 0; số 1; số nguyên tố, hợp số.

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó

Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất

Số 0 và số 1 không là số nguyên tố, cũng không là hợp số.

2. Các tính chất của số nguyên tố

a. Tính chất chính

Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p=q

Nếu tích abc chia hết cho một số nguyên tố p thì ít nhất phải có một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p

Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p

b. Cách tìm số nguyên tố?

+ Ta làm như sau

Trước hết xóa số 1

Giữ lại số 2 rồi xóa tất cả các bội của 2 mà lớn hơn 2

Giữ lại số 3 rồi xóa tất cả các bội của 3 mà lớn hơn 3

Giữ lại số 5 rồi xóa tất cả các bội của 5 mà lớn hơn 5 [tất nhiên số 4 đã bị xóa ]

Giữ lại số 7 rồi xóa tất cả các bội của 7 mà lớn hơn 7 [tất nhiên số 6 đã bị xóa ]

Số 8;9;10 đã bị xóa bội của chúng sẽ cũng bị xóa hết

Vi dụ: Dùng bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100, hãy nêu cách kiểm tra một số nhỏ hơn 1000 có là số nguyên tố không? xét bài toán trên đối với các số 259 ,353

Giải

Cho số n 1].

Nếu n chia hết cho 1 số k nào đó [1 < k < n] thì n là hợp số . Nếu n không chia hết cho mọi số nguyên tố p [p2< n] thì n là số nguyên tố

Số 259 chia hết cho 7 nên là hợp số

Số 353 không chia hết cho tất cả các số nguyên tố p mà p2 < 353 [đó là các số nguyên tố 2,3,7,5,11,13,17] Nên 353 là số nguyên tố

c. Số nguyên tố phân bố như thế nào

Từ 1 đến 100 có 25 số nguyên tố ,trong trăm thứ 2 có 21 số nguyên tố ,trong trăm thứ 3 có 16 số nguyên tố ,... trong nghìn đầu tiên có 168 số nguyên tố ,trong nghìn thứ 2 có 145 số nguyên tố ,trong nghìn thứ 3 có 127 số nguyên tố , như vậy ta có thể kết luận được càng đi xa theo dãy số tự nhiên ,các số nguyên tố càng thưa dần

VD có tồn 1001 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số không

Giải

Có .gọi A=1. 2.3.4....1000.1001.

Các số A+1, A+2,A+3,.....,A+1001 là 1000 số tự nhiên liên tiếp và rõ ràng toàn là hợp số [đpcm]

* Số nguyên tố là 1 tập hợp vô hạn

d. Dấu hiệu để nhận biết một số nguyên tố

Đó là: “Số tự nhiên a không chia hết cho mọi số nguyên tố p mà p2< a thì a là số nguyên tố”

3. Cách chứng minh

Để chứng minh một số là số nguyên tố, ta chứng minh số đó không có ước nào khác 1 và chính nó

Ví dụ:

Hãy chứng minh rằng tích của hai số nguyên tố là một hợp số

Lờigiải

Tích của hai số nguyên tố giống nhaua.acó ước là1;a;a2

Tích của hai số nguyên tố khác nhaua.bcó 4 ước là1;a;b;a.b

Vậy tích của hai số nguyên tố là một hợp số

B. Bài tập và hướng dẫn giải

VD1: Ta đã biết 29 là số nguyên tố.

Ta có thể nhận biết theo dấu hiệu trên như sau:

– Tìm các số nguyên tố p mà p2< 29: đó là các số nguyên tố 2, 3, 5 [72= 49 > 29 nên ta dừng lại ở số nguyên tố 5].

– Thử các phép chia 29 cho các số nguyên tố trên. Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên tố nào trong các số 2, 3, 5. Vậy 29 là số nguyên tố.

VD2: Hãy xét xem các số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố?

Hướng dẫn

– Trước hết ta loại bỏ các số chẵn: 1992, 1994, .. ., 2004

– Loại bỏ tiếp các số chia hết cho 3: 1995, 2001

– Ta còn phải xét các số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 số nguyên tố p mà p2< 2005 là 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.

– Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại.

– Các số còn lại 1993, 1997, 1999, 2003 đều không chia hết cho các số nguyên tố tên.

Vậy từ 1991 đến 2005 chỉ có 4 số nguyên tố là 1993, 1997, 1999, 2003.