§18. BỘI CHUNG NHỎ NHÁT A. Tóm tắt kiến thức
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
Bội chung nhỏ nhất của các số a, b, c được kí hiệu là BCNN[a, b, c].
Cách tìm BCNN
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mồi số ra thừa số nguyên tố. 1
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ cao nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
0 Lưu ý. a] Nếu các số đã cho nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
b] Trong các sô đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của chúng là số lớn nhất ấy.
Cách tìm bội chung nhờ BCNN
Đe tìm các bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
B. Ví dụ giải toán
Vídụl. Tìm BCNN của các số 40, 21, 63.
Giải. Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố:
40 = 23.5; 21 =3.7; 63 = 32.7.
Các thừa số nguyên tố chung và riêng là: 2, 3, 5, 7.
Số mũ cao nhất của 2 là 3, của 3 là 2, của 5 và của 7 đều là 1. BCNN[20, 21, 63] = 23.32.5.7 = 2520.
Ví dụ 2. Tìm các bội chung bé hơn 2000 của các số 27, 36, 60.
Giải. Trước hết ta tìm BCNN[27, 36, 60].
Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố:
27 = 33; 36 = 22.32; 60 = 22.3 . 5.
BCNN[27, 36, 60] = 22.33.5 = 540.
Các bội chung của ba số đã cho là: 540.0 = 0;
540 . 1 = 540; 540.2= 1080; 540.3 = 1620; 540.4 = 2160;...
Vậy các bội chung bé hơn 2000 của ba số đã cho là: 0; 540; 1080; 1620.
Ví dụ 3. Tìm số X < 400 sao cho khi chia X cho 18, cho 12, cho 45 đều dư 7.
Giải. Vì X chia cho 18 dư 7 nên X - 7 chia hết cho 18. Điều này có nghĩa là X - 7 là một bội của 18. Tương tự, X - 7 cũng là một bội của 12 và của 45. Do đó X - 7 là một bội chung của ba số đã cho.
Để tìm bội chung của ba số đã cho, trước hết ta tìm BCNN của chúng. Ta có: 18 = 2.3, 12 = 22.3; 45 = 32.5.
BCNN[18, 12, 45] = 22.32.5 = 180.
BC[18, 12, 45]= {0; 180; 360; 540, ...}.
Vì X < 400 nên X - 7 cũng bé hơn 400.
Nếu x-7 = 0thìx = 7 thoả mãn điều kiện X < 400.
Nếu X - 7 = 180 thì X = 180 + 7= 187 thoả mãn điều kiện X < 400.
Neu X - 7 = 360 thì X = 360 + 7 = 367 cũng thoả mãn điều kiện X < 400. Vậy X = 0 hoặc X = 187 hoặc X = 367.
Ví dụ 4, Một thuyền chở đầy than, một lần về bến đã dùng một số xe trọng tải 12 tấn, mỗi xe chở đầy thì vừa vặn hết than ở thuyền. Lần thứ hai dùng một số xe 15 tấn và lần thứ ba dùng một số xe 18 tấn mồi xe chở đầy thì cũng vừa vặn hết than. Hỏi thuyền chở đầy thì được bao nhiêu
tấn than, biết rằng hai lần sau thuyền cũng chở đầy than và trọng tải của thuyền không quá 200 tấn?
Phân tích. Xe trọng tải 12 tấn chở đầy có nghĩa là xe ấy đã chở được 12 tấn. Các xe loại này đã chở vừa vặn hết than ở thuyền có nghĩa là khối lượng than trên thuyền là bội của 12. Tương tự, khối lượng than trên thuyền cũng là bội của 15, 18. Do đó khối lượng than trên thuyền là bội chung của ba số 12, 15, 18.
Giải. Theo phân tích ta có khối lượng than trên thuyền là một bội chung của 12, 15, 18.
Ta có: 12 = 22.3; 15 = 3 .5; 18 = 2.32.
BCNN[12, 15, 18] = 22.32. 5 = 180.
BC[12, 15, 18]= {0; 180,360, ...}.
Vì trọng tải của thuyền không quá 200 tấn nên thuyền chở đầy chỉ được 180 tấn.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 149. Giải'.
Ta có 60 = 23.3.5; 280 = 22.5.7. BCNN[60,280] = 23.3.5.7 = 840.
Ta CÓ 84 = 22.3 . 7; 108 = 22.33- BCNN[84, 108] = 22.33.7 = 756.
ĐS.-BCNN[13, 15]= 195.
Bài 150. Giải'.
10 = 2.5, 12 = 22.3, 15 = 3 . 5. BCNN[10, 12, 15] = 22.3 . 5 = 60;
BCNN[8, 9, 11] = 8.9 . 11 = 792;
Ta có 24 = 23.3, 40 = 23.5, 168 = 23.3.7.
BCNN[24, 40, 168] = 23.3 . 5 . 7 = 840.
Bài 151. Giải', a] BCNN[30, 150] = 150 vì 150 chia hết cho 30;
140.2 = 280.
Vì 280 chia hết cho cả 40 và 28 và 140 nên 280 = BCNN[40, 28, 140].
200 không chia hết cho 120; 200.2 = 400 cũng không chia hết cho ỉ20, nhưng 200.3 = 600'chia hết cho cả 100 và 120 nên BCNN[100, 120, 200] = 600.
Bài 152. HD: số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 15 và 18, chính là BCNN[15, 18].
ĐS: 90.
Bài 153. Giải'. BCNN[30, 45] = 90. Do đó các bội chung nhỏ hon 500 của 30 và 45 là: 0, 90, 180, 270, 360, 450.
Bài 154. Giải: Vì khi học sinh lớp 6C xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều đủ hàng có nghĩa là sổ học sinh ấy là bội chung của 2, 3, 4, 8.
BCNN[2, 3, 4, 8] = 24. Mỗi bội của 24 cũng là một một bội chung của 2, 3, 4, 8. Vì số học sinh của lớp 6C trong khoảng từ 35 đến 60 nên ta phải chọn bội của 24 thoả mãn điều kiện này. Đó là 24.2 = 48.
Vậy lớp 6C có 48 học sinh.
Bài 155. Giải:
a
6
150
28
50
b
4
20
15
50
ƯCLN[a, b]
2
10
1
50
BCNN[a, b]
12
300
420
50
ƯCLN[a, b]. BCNN[a, b]
24
3000
420
2500
a. b
24
3000
420
2500
Ta luôn có ƯCLN[a, b]. BCNN[a, b] = a . b.
Bài 156. Giải: Theo đầu bài X là một bội chung của 12, 21, 28, thoả mãn điều kiện 150 < X < 300. Ta có BCNN[12, 21, 28] = 84. Do đó bội chung thoả mãn điều kiện đã cho là 84.2 = 168.
Vậy X = 168.
Bài 157. Giải. Số ngày để việc trực nhật của An lặp lại là một bội của 10, của Bách là một bội của 12. Do đó khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật sau là những bội chung của 10 và 12. Vì thế khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật thứ hai là BCNN[10, 12].
Ta có: 10 = 2.5; 12 = 22.3 => BCNN[10, 12] = 60.
Vậy ít nhất 60 ngày sau hai bạn mới lại cùng trực nhật.
Bài 158. Giải'. Số cây mồi đội phải trồng là bội chung của 8 và 9. BCNN[8, 9] = 72. Số cây mồi đội phải trồng là bội của 72. Vì 72.2 =144 thoả mãn điều kiện 100 < 144 < 200 nên số cây mồi đội phái trồng là 144 cây.
D. Bài tập luyện thêm
Tìm BCNN của các số sau:
49 và 147; b] 25, 33, 56.
Tìm X sao cho X : 35, X : 42, X : 63 và X < 1000.
Tìm số tự nhiên X nhỏ nhất khác 6 mà khi chia X cho các số 15, 25, 45 đều dư 6.
Cần chuyên chở một lượng hàng. Nếu dùng một số xe trọng tài 15 tấn, mỗi xe đều chở đầy thì không chở hết và còn lại 6 tấn. Nếu dùng một số xe trọng tải 18 tấn thì dư 9 tấn. Hòi cần chuyên chở bao nhiêu tấn hàng, biết rằng lượng hàng này nhiều hơn 100 tấn và không quá 200 tấn?
Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp số
ĐS-. a] BCNN[49, 147] = 147; b] BCNN[25, 33, 56] = 46 200.
HD-. X là bội chung bé hơn 1000 của ba số 35, 42, 63.
ĐS: 0; 630.
HD\ Xem cách giải ví dụ 3.
ĐS: 231.
Giải. Già sử có X tấn hàng cần chuyên chở.
Neu đã dùng a xe trọng tải 15 tấn mà vẫn còn lại 6 tấn thì X = 15a + 6. Nếu đã dùng b xe trọng tải 18 tấn mà vẫn còn lại 9 tấn thì X = 18b + 9. Nhận thấy rằng nếu có thêm 9 tấn hàng nữa có nghĩa là có X + 9 tấn hàng thì khi đó X + 9 = 15a + 15 = 15[a + 1] và X + 9 = 18b + 18 = 18[b+ 1].
Như vậy X + 9 là một bội chung của 15 và 18.
Tacó 15 = 3 . 5; 18 = 2.32'.
BCNN[15, 18] = 2.32 . 5 = 90.
BC[15, 18]= {0; 90, 180,270, ...}.
Vậy lượng hàng cần chuyên chớ là 171 tấn.
Video liên quan