Dưới đây là một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức.
Phương pháp:
- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ [nếu có thể]
- Bước 2: Biến đổi các lũy thừa, căn bậc \[n\] sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ.
- Bước 3: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:
+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa [căn bậc \[n\]] \[ \to \] nhân, chia \[ \to \] cộng, trừ.
+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \[ \to \] lũy thừa [căn bậc \[n\]] \[ \to \] nhân, chia \[ \to \] cộng, trừ.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}$
Ta có: $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.$
Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.
Phương pháp:
- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ[nếu có thể]
- Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, căn bậc \[n\].
- Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa:
1/ Với \[a > 1\] thì \[{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\]
2/ Với \[0 < a < 1\] thì \[{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\]
3/ Với \[0 < a < b\] thì:
a] \[{a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\]
b] \[{a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\]
4/ Với \[a > 0,b > 0\] thì \[{a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b\].
Ở đó \[m,n\] là các số hữu tỉ.
5/ Với \[a < b,n\] là số tự nhiên lẻ thì \[{a^n} < {b^n}\]
Ví dụ 2: Cho \[a > 1\], so sánh \[\sqrt[{15}]{{{a^7}}}\] với \[\sqrt[5]{{{a^2}}}\]
Ta có: \[\sqrt[{15}]{{{a^7}}} = {a^{\frac{7}{{15}}}};\sqrt[5]{{{a^2}}} = {a^{\frac{2}{5}}}\]
Vì \[\dfrac{7}{{15}} > \dfrac{2}{5}\] và \[a > 1\] nên \[{a^{\frac{7}{{15}}}} > {a^{\frac{2}{5}}}\]hay \[\sqrt[{15}]{{{a^7}}} > \sqrt[5]{{{a^2}}}\]