Cách viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng
|
Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Dạng toán này thường ra để học sinh lấy điểm, cho nên các em học sinh, các bạn cần nắm vững kiến thức và làm chắc dạng toán này. Viết phương trình tiếp tuyến thường ra có dạng: phương trình tiếp tuyến tại điểm, phương trình tiếp tuyến qua điểm, phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k, và phương trình tiếp tuyến chứa tham số m.. Cụ thể cách viết phương trình tiếp tuyến như thế nào, chúng ta cùng đến với nội dung ngay sau đây. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc m tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M (x0, y0). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0, y0) là y = y'(x0 )(x – x0) + y0. Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0. Phương pháp: Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M (x0, y0). Phương pháp giải: Bước 1. Tính đạo hàm y’ = f(x). Từ đó suy ra hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0). Bước 2: Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0, y0) có dạng: y = y'(x0)(x – x0) + y0. Chú ý: – Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm số y = f(x0). – Nếu đề cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0). – Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d có dạng f(x) = ax + b. Đặc biệt: Trục hoành Ox thì có y = 0 và trục tung Oy thì x = 0. Sử dụng máy tính cầm tay:  Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công. Sử dụng máy tính giúp các em tính toán nhanh hơn và chính xác hơn. Hơn nữa với hình thức thi trắc nghiệm thì sử dụng máy tính cầm tay là phương pháp được nhiều giáo viên hướng dẫn và học sinh chọn. Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C); y = x3 + 2x2 tại điểm M (1; 3). Giải: Cách 1: Ta có y’ = 3x2 + 4x => k = y'(1) = 3.12 + 4.1 = 7. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1; 3) là: d: y = y’0 (x – x0) + y0 <=> y = 7.(x – 1) + 3 <=> y = 7x – 4. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 7x – 4. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại M là y = 7x – 4. Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): Giải: Cách 1: Ta có: x0 = -1. Suy ra y0 = y(-1) = 1/2 và Phương trình tiếp tuyến tại M là: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4. Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y = x4 – 2x2. Giải: Cách 1: Ta có: 4x3 – 4x = 4x.(x2 – 1) Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành Ox là: Bây giờ bài toán chuyển thành dạng viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm. + Với x0 = 0 => y0 = 0 và k = y'(x0)= 0. => Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0. + Với => Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là: + Với => Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = – 4√2 là: Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là: y = 0, y = 4√2x – 8 và y = – 4√2x – 8. Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA). Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA), hệ số góc k có dạng: d: y = k( x- xA) + yA (*) Bước 2. d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ Bước 3. Giải hệ phương trình trên, tìm được x, suy ra tìm được k, sau đó thế vào phương trình đường thẳng d (*) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm. Cách 2: Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm. Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0) theo x0. Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = f'(x0).(x – x0) + f(x0) (**). Vì điểm A(xA; yA) thuộc d nên yA = f'(x0).(xA – x0) + f(x0). Giải phương trình trên tìm được x0. Bước 3. Thay x0 vừa tìm được vào (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm . Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = – 4x3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2). Ta có: y’= – 12x2 + 3 Giải: – Đường thẳng d đi qua A (-1; 2) có hệ số góc k có phương trình d: y = k(x + 1) + 2. Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được: – 4x3 + 3x + 1 = (-12x2 + 3)(x + 1) + 2 <=> x = -1 hoặc x = 1/2. + Với x = -1. Thế vào phương trình k = – 12x2 + 3 ta được k bằng -9. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9x – 7. + Với x = 1/2. Thế vào phương trình k = – 12x2 + 3 ta được k bằng 0. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2. Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = – 9x – 7 và y = 2. Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C): Giải: Điều kiện: x khác – 1. Ta có: Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: Thay k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được: <=> Đối chiếu với điều kiện x khác – 1 thì nghiệm x = -1 (loại), nghiệm x = -4 (nhận). Với x = -4 => Phương trình tiếp tuyến là Phương pháp: Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước. Phương pháp giải: Bước 1. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm và tính y’= f'(x) Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0). Giải phương trình này ta tìm được x0, thế vào hàm số tìm được y0. Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến dưới dạng như sau: d: y = y’0.(x – x0) + y0. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng: – Tiếp tuyến d // đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a. Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d // đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a. Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì không nhận kết quả đó. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng: – Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b => k.a = -1 => k = -(1/a). Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = -(1/k). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α: – Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα. Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, khi đó: Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9. Giải: Ta có: y’= 3x2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0; y0). Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = y'(x0) <=> + Với x0 = 2 => y0 = (23) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M1(2; 4). Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1: + Với x0 = -2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 (-2; 0). Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2: Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18. Phương pháp: Dựa vào điều kiện bài toán và các dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị hàm số (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1. Giải: TXD: D = R Ta có: y’ = 3x2 – 6x. Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên suy ra Vậy tọa độ điểm M (1; -2). Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M (1; -2) của (C) có dạng: y – y0 = y'(x0).(x – x0) <=> y + 2 = (3.12 – 6.1).(x – 1) <=> y = -3x + 1. Khi đó để (d) // Δ: Từ đó phương trình đường thẳng Δ: y = -3x + 3. Kết luận: vậy với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M (1; -2) song song với đường thẳng Δ. Trên đây là các dạng toán về phương trình tiếp tuyến và những phương pháp tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có ví dụ cụ thể. Hy vọng rằng các em nắm được phần kiến thức quan trọng này. Truy cập lessonopoly để học giỏi môn toán nhé. |
