Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Câu hỏi:Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Lời giải:

Để xác định được tâm của đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các em cần ghi nhớ lý thuyết:

– Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường PHÂN GIÁC TRONG của tam giác [có thể là 2 đường phân giác]

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường TRUNG TRỰC của ba cạnh tam giác [có thể là giao điểm hai đường trung trực]

Cùng Top lời giải tìm hiểu một số kiến thức liên quan đến đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp nhé.

I. Đường tròn ngoại tiếp

1. Định nghĩa đường trọn ngoại tiếp

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác là đường tròn ngoại tiếp của đa giác đó. Và đa giác đó gọi là đa giác nội tiếp đường tròn

Ví dụ 1: đường tròn tâm I là đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Ví dụ 2: Đường tròn tâm trong các hình dưới đây được gọi là đường tròn ngoại tiếp vì nó đi qua tất cả các đỉnh của tam giác, tứ giác và ngũ giác.

Khi đó, tứ giác và ngũ giác lần lượt được gọi là tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp và ngũ giác nội tiếp đường tròn [tứ giác ở bên trong đường tròn].

2. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác là giao của các đường trung trực của tất cả các cạnh.

Do đó, để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác, ta có thể làm như sau:

- Kẻ các đường trung trực của các cạnh rồi xác định giao điểm.

- Vẽ đường tròn có tâm là giao điểm các đường trung trực và bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến các đỉnh.

Như vậy, một đa giác có đường tròn ngoại tiếp nếu đường trung trực của các cạnh đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.

II. Đường tròn nội tiếp

1. Định nghĩa đường tròn nội tiếp

Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác đó được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

Ví dụ 3: Đường tròn tâm nội tiếp trong tam giác ABC.

Đường tròn nội tiếp

2. Tính chất đường tròn nội tiếp

Bất kỳ một đa giác đều nào cũng có 1 và chỉ một đường tròn nội tiếp và chỉ có 1 và chỉ một đường tròn ngoại tiếp.

Ví dụ 4: Đường tròn trong hình dưới là đường tròn nội tiếp vì nó tiếp xúc với tất cả cạnh của đa giác.

Khi đó, tứ giác và ngũ giác lần lượt được gọi là tam giác ngoại tiếp, tứ giác ngoại tiếp và ngũ giác ngoại tiếp đường tròn [đa giác nằm bên ngoài đường tròn].

3. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp đa giác

Tâm đường tròn nội tiếp đa giác là giao của các đường phân giác của tất cả các góc trong đa giác.

Do đó để xác định tâm đường tròn nội tiếp đa giác, ta làm như sau:

- Kẻ các đường phân giác của các góc rồi xác định giao điểm ví dụ giao điểm

- Kẻ đường thẳng đi qua giao điểm và vuông góc với một cạnh bất kỳ để xác định bán kính ví dụ bán kính

Như vậy, một đa giác có đường tròn nội tiếp nếu đường phân giác của các góc trong đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm đường tròn nội tiếp đa giác.

III. Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Ngũ giác đều có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp. Đặc biệt, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều trùng nhau, đều là tâm

Chú ý:

Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

Bài toán về đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác vuông là một dạng toán kết hợp giữa tam giác vuông và đường tròn. Do đó, đây là dạng toán khó trong chương trình Toán lớp 9. Để làm được bài toán này, các bạn phải biết cách xác định được tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp trong tam giác vuông. Sau đây tôi sẽ tổng quan về cách xác định này.

Thông báo:  Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông

Xác định được tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông, cần thực hiện theo hai bước sau:

• Bước 1: Xác định hai tia phân giác của hai góc trong tam giác vuông. Giao điểm của hai tia phân giác sẽ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác vuông.
• Bước 2: Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác vuông với tâm là giao điểm của hai tia phân giác và bán kính là đoạn thẳng kẻ từ giao điểm vuông góc với cạnh của tam giác.

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông:

r = 2S/[a +b + c] = √[[p – a].[p – b].[p – c]/p].

Với S là diện tích tam giác, p = [a + b +c]/2 là nửa chu vi tam giác.

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác vuông, cần thực hiện theo hai bước sau:

• Bước 1: Xác định giao điểm của hai đường trung trực trong tam giác vuông. Giao điểm của hai đường trung trực sẽ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông.
• Bước 2: Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông với tâm là giao điểm của hai đường và bán kính là đoạn thẳng kẻ từ giao điểm đến góc của tam giác.

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông được tính như sau: R = a.b.c/4S

Dựa vào cách xác định và công thức tính bán kính, các bạn hãy áp dụng vào các bài tập. Hãy tham khảo tài liệu bên dưới để có nhiều bài tập rèn luyện.

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Sưu tầm:  Thu Hoài

TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC - NHỮNG ĐIỀU CẦN NẮM RÕ

Bộ môn Toán 9 học sinh cần nắm được đường tròn, đặc biệt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Cunghocvui.com hiểu được điều đó nên đã đưa ra tổng hợp những kiến thức bổ ích cho các em. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Công thức tính bán kính, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp...sẽ có trong bài viết.

1. Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Có thể nói theo cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn. 

- Ví dụ về đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Ví dụ về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của AB, vuông góc với AB. Mọi điểm I thuộc trung trực AB đều có IA = IB. 

Ba đường trung trực tam giác đồng quy tại một điểm. Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực giam giác ABC thì ta có IA = IB = IC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

- Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn

2. Khái niệm và tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường gì?

- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác [có thể là giao điểm hai đường trung trực]. 

- Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Cách 1:

Bước 1: Viết phương trình đường trung trực hai cạnh bất kỳ tam giác. 

Bước 2: Tìm giao điểm hai đường trung trực, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 

+ Cách 2: 

Bước 1: Gọi I [x, y] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA = IB = IC = R.

Bước 2: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Tọa độ tâm I là nghiệm của phương trình: \[\left\{\begin{matrix}IA^2 = IB^2 & \\ IA^2 = IC^2& \end{matrix}\right.\]

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC tại A nằm trên đường cao AH. 

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác.

3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Ngoài các công thức liên quan tới đường tròn, các em cần nắm được công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho tam giác ABC. Độ dài các cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c.

- Công thức cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

 \[R = \frac{a.b.c}{4S}\]

+ Công thức tính diện tích tam giác [áp dụng công thức herong]:

+ Nửa chu vi tam giác:

+ Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A: 

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc B:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc C:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều:

R = \[\frac{a}{2sin60^{0}}\], trong đó a là độ dài mỗi cạnh.

Sau khi học xong lý thuyết, các em học sinh có thể tham khảo các bài tập liên quan tới đường tròn.

Trên đây là toàn bộ nội dung về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, rất mong đem lại quý độc giả những thông tin bổ ích!