Tổng hợp bài tập phép đếm của những nguyên lý cơ bản: nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý loại trừ, nguyên lý bù trừ, nguyên lý quy về đơn giản, nguyên lý truy hồi để giải bài tập phép đếm
Tóm tắt lý thuyết về bài tập phép đếm
1.Nguyên lý cộng
Bài 1: Giả sử cần chọn ra 1 đại diện học sinh tham gia dự thi Olympic Tin học. Biết thể lựa chọn học sinh khối 11 và khối 12. Hỏi có bao nhiêu lựa chọn khác nhau nêu có 300 học sinh khối 11 và 260 em học sinh khối 12.
Giải
Có 300 cách chọn 1 học sinh khối 11
Có 260 cách chọn 1 học sinh khối 12
Theo nguyên lý cộng: 300 + 260 = 560 cách
Bài 2: Một sinh viên có thể lựa chọn đề tài từ 1 trong 3 danh sách. Mỗi danh sách lần lượt chứa 10, 20 và 30 đề tài khác nhau tương ứng. Mỗi đề tài chỉ xuất hiện trong 1 danh sách, Một sinh viên có bao nhiêu cách lựa chọn đề tài?
Giải
Sinh viên có thể chọn đề tài từ 1 trong 3 danh sách và không bị lặp lại.
Nên theo nguyên lý cộng có 10 + 20 + 30 = 60 cách
Bài 3: Giá trị k là bao nhiêu sau khi thực hiện đoạn mã sau:
k: = 0;
for i: = 1 to 5 do
k: = k + 1;
Giải
Giá trị khởi tạo k=0
Lệnh thực hiện vòng lặp 5 lần, mỗi lần k tăng thêm 1 => theo nguyên lý cộng k=5
Bài 4: Một mật khẩu có độ dài từ 7 đến 8 kí tự. Trong đó có 1 chữ cái hoa tiếng anh hoặc 1 chữ số, Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất 1 chữ số. Có bao nhiêu mật khẩu có thể có?
Giải
Số lượng mật khẩu chứa kí tự là 367
Số lượng mật khẩu chỉ chứa chữ cái hoa là 267
Số lượng mật khẩu chứa kí tự là 368
Số lượng mật khẩu chỉ chứa chữ cái hoa là 268
Vậy số lượng mật khẩu chứa ít nhất 1 chữ số là: 367 + 368 – 267 – 268
2.Nguyên lý nhân
Bài 1: Để tạo số báo danh cho học sinh bao gồm 1 chữ cái hoa tiếng anh và 1 chữ số không vượt quá 100. Hỏi số lượng lớn nhất số báo danh có thể có là bao nhiêu?
Giải
Số lượng số báo danh lớn nhất là : 26*100 = 2600
Bài 2: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài là 7?
Giải
Mỗi bít có 2 cách lựa chọn do đó: 27
Bài 3: Có bao nhiêu ham từ tập m phần tử đến tập n phần tử? nm
3.Nguyên lý loại trừ
Giả sử 1 công việc có thể thực hiện 1 trong 2 cách nhưng có một số cách bị trùng
| A 1 ∪ A 2 | = | A 1 | + | A 2 | – | A 1 ∩ A 2 |
Bài 1: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài 8 hoặc bắt đầu bằng 1 hoặc bắt đầu bằng 00
Giải
Chuỗi bit bắt đầu bằng 1 là: 27
Chuỗi bit bắt đầu bằng 00 là:26
Chuỗi bit trùng nhau bắt đầu bằng 1 và 00 là: 25
Theo nguyên lý trừ ta có: 27 + 26 – 25
4.Nguyên lý chia
Một công việc A có n cách thực hiện, đồng thời nó cũng được thực hiện theo k phương án khác nhau, mỗi phương án có đúng d cách thực hiện. Thì số phướng án khác nhau để thực hiện A là k=n/d
5.Nguyên lý Dirichle
Bài 1: Cần bao nhiêu học sinh để đảm bảo có ít nhất 2 học sinh trùng điểm nhau , nếu điểm được cho từ 0 – 10?
Giải
Cần ít nhất 12 học sinh
Bài 2: Cần tối thiểu bao nhiêu sinh viên để đảm bảo rằng ít nhất 3 sinh viên cùng nhận kết quả đánh giá, nếu có 5 điểm để đánh giá A, B, C, D, F
Giải
[N / 5] = 3
Số sinh viên tối thiểu là:
6.Hoán vị
Hoán vị là cách sắp xếp có thứ tự tất cả n phần tử
Bài 1: Người ta sắp xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5
a.Có bao nhiêu cách sắp xếp số chẵn ở cạnh nhau?
Coi hai số chẵn là 1 => có 2!.4! =48 cách
b.Có bao nhiêu cách sắp xếp hai thành 2 nhóm chẵn lẻ riêng biệt [2!.3!.2=24]
7.Tổ hợp và chỉnh hợp
Chỉnh hợp chập k của n phần tử
Tổ hợp chập k của n phần tử: lấy k phần tử trong n phần tử
Bài 1: Một lớp học có 10 môn, mỗi ngày học 2 môn.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thời khoá biểu trong 1 ngày?
Giải
Cách sắp xếp thời khoá biểu là \[ A_2^{10} = 90\]
Bài 2: Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 1 nhóm 5 người mà trong đó có đúng 2 nữ?
Giải
Cách chọn 2 nữ trong 6 nữ là: \[ C_6^{2} = 15\]
Cách chọn 4 nam trong 8 nam là: \[ C_8^{4} = 56\]
Số cách chọn theo yêu cầu là: 15.56=840 cách
8.Chỉnh hợp lặp và tổ hợp lặp
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lấy trong n phần tử đã cho và sắp xếp theo một thứ
tự nhất định; các phần tử có thể lấy lặp.
- Chỉnh hợp lặp: \[ A_n^{k} = n^k \]
Tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lấy [có thể lặp] trong n phần tử đã cho.
- Tổ hợp lặp: \[ C_n^{k} = C_{n+k-1}^{k} \]
Bài 1: Tìm chuỗi nhị phân có độ dài 6 là [26]
Bài 2: Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, vàng, cam và mỗi loại có ít nhất 6 cây bút.Có bao nhiêu cách khác nhau để mua 6 cây?
Giải
Tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử: \[ C_{4+6-1}^{6} =84 \]
Các bài tập phép đếm cơ bản
Bài 1: Có bao nhiêu cách chia bộ bài tú lơ khơ 52 quân thành 4 phần tương ứng với số quân là 10, 12, 14, 16
Giải
Vì số quân của các phần khác nhau nên:
\[ C_{52}[10,12,14,16] = \frac{52!}{10!.12!.14!.16!} \]Bài 2: Có bao nhiêu cách chia bộ bài tú lơ khơ 52 quân thành 4 phần bằng nhau?
Giải
Vì số quân của các phần bằng nhau nên:
\[ C_{52}[13,13,13,13] = \frac{52!}{13!.13!.13!.13!.4!} \]Bài 3: Có bao nhiêu cách chia 10 chiếc kẹo cho 5 em bé trong các trường hợp sau:
a/ Chia 1 cách tuỳ ý
\[ R_{5}^{10}=C_{5+10-1}^{10} =1001 \]b/ Em nào cũng được chia kẹo
Chia cho mỗi em 1 kẹo để đảm bảo ai cũng được kẹo rồi tiếp tục chia 1 cách tuỳ ý :
c/ Có 1 em có số kẹo ít hơn 4
\[ C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + C_{10}^{3}\]Bài 4: Một phiếu trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời.
a] Có bao nhiêu cách điền vào phiếu, nếu câu hỏi nào cũng đều được trả lời? 410
b] Có bao nhiêu cách điền vào phiếu, nếu có thể có câu hỏi bỏ trống không trả lời? 510
Một số lưu ý khi làm bài tập phép đếm
8.Hoán vị vòng quang: Qn =[n-1]!
Các bài tập phép đếm tổng hợp
Câu 1. Có 5 bộ quần áo có kích thước khác nhau. Chủ cửa hàng xếp ngẫu nhiên quần này với áo khác. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho: a] Chỉ có 3 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau? b] Tất cả 5 bộ quần áo đều sai kích thước?
c] Ít nhất có 2 bộ có cùng kích thước.
Các câu hỏi tương tự
a] Vẽ đồ thị của hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
b, Một đường thẳng song song với trục hoành Ox, cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 1, cắt các đường thẳng
theo thứ tự tại hai điểm M và N. Tìm tọa độ của hai điểm M và N.
Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. M là điểm trên [O] sao cho tiếp tuyên tại M cắt Ax, By tại D và C. Đường thẳng AD cắt BC tại N
a, Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn. Chỉ ra bán kính của đường tròn đó
b, Chứng minh OC và BM song song
c, Tìm vị trí điểm M sao cho SACDB nhỏ nhất
d, Chứng minh MN và AB vuông góc nhau