Cho phương trình 2 2 1 2 9 10.3 1 0 xxxx tổng tất cả các nghiệm của phương trình là
|
 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản: 2. Phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: 2.1. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hằng số: Bạn đang xem tài liệu "Ôn thi Toán 12: Phương trình và bất phương trình mũ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Phương trình và bất phương trình mũ 181 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1f x g x aa a f x g x < ≠ = ⇔ = ; ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 f x g x A x A x A x A x f x g x = = ⇔ > = 2. Phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: 2.1. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hằng số: Bài mẫu. GPT: ( )2 2 2 21 1 25 3 2 5 3x x x x+ − −− = − (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )22 2 3 25 52 21 5 3 3 3 35 9 3 3xx x x x− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± Bài tập. 10 5 10 1516 0,125.8 x x x x + + − − = ; 1 2 2 13 18 .2 .3x x x x− − += ; 17 3 5 7 1243 21879 x x x x + − + − = ⋅ ; 1 1 22 3 3 2x x x x− − +− = − ; 3 2 2 37 9.5 5 9.7x x x x+ = + ; ( ) 1 1 5 1 51 4 2 2 x x x x+ + ⋅ = ; 3 1 2 12 29 2 2 3x xx x+ + −− = − ; ( ) ( )3 11 310 3 10 3x xx x− +− ++ = − ; ( ) 212 .3 3 xx x ++ = ; 2 1 11 13.4 9 6.4 93 2 x x x x+ + ++ ⋅ = − ⋅ ; 1 2 2 12 2 2 3 3 3x x x x x x− − − −+ + = + − ; 2.2. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hàm số: Bài mẫu. GPT: 2 3x xx x −= (1) (1) ⇔ ( ) 1 2 32 2 1 11 201 2 3 0 62 4 2 3 x x x xx x x xx x x xx x − = == = ⇔ ⇔ ⇔ = > = − > = = − Bài tập. ( ) 2 42 5 4 1xx x −− + = ; ( ) 2 5 64 1x xx − ++ = ; ( )3 2 xxx x= ( ) ( )5 1 12 22 21 1x xx x+ −=+ + ; ( ) 29 32 22 2 2 2xx x x x−− + = − + ; ( ) 242 21 1xx x x x−− + = − + ; ( ) 1cos 2 cos 222 2xx xx x++ = + ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 182 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu. GPT: 2 2 22 6 9 3 5 2 6 93 4.15 3.5x x x x x x+ − + − + −+ = ( ) ( )2 2 2 2 2 22 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 53 3 4.15 15 5 3 9 4.15 15 25x x x x x x x x x x x x+ − + − + − + − + − + −⋅ + = ⋅ ⇔ ⋅ + = ⋅ ( ) ( ) ( )2 2 23 5 3 5 3 529 3 33 4 15 0 3 4 15 0; 025 5 5x x x x x xu u u+ − + − + −⇔ + − = ⇔ + − = = > ( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 1 2 15 3 33 5 3 0 3 4 03 5 5 4 x x x u u u x x x + − − = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = − Bài tập. 2 13 9 4x x+ ++ = ; 3 74 2 17 0x x+ ++ − = ; 2 21 15 5 24x x+ −− = ; 35 5 20 0x x−− − = ; 14 4 3.2x x x x+ +− = ; 1 1 1 49 35 25x x x− = ; 3 1125 50 2x x x++ = ; 2 2 22.49 9.14 7.4 0x x x− + = ; 1 1 1 21225 3.10 2 0x x x+ ++ − = ; 2 22 1 24 5.2x x x x+ − − + −− ; 2 25 1 54 12.2 8 0x x x x− − − − −− + = ; 11 1 23.2 8.2 4 0 xx x − − + − + = ; 3 32 8 2 20 0 x x x + + − = ; 2 4 2 23 45.6 9.2 0x x x+ ++ − = ; 2 3 1 2 1 4 22 .9 2.6 4 .3 0x x x x x− − −− + = ; 8 18 2.27x x x+ = ; ( ) 3 5 21 6 126 x x− −= − ; 1 1 12.4 6 9x x x+ = ; 24 9 7xx = + ; 2 22 3.2 32 0x x+− + = ; ( )3 35 9.5 27 5 5 64x x x x− −+ + + = ; ( )3 3 12 6.2 2 12.2 1x x x x− −− − + = ; ( ) ( )2 3 2 3 4x x+ + − = ; ( ) ( )4 15 4 15 62x x+ + − = ; ( ) ( ) ( ) ( )2 3 7 4 3 2 3 4 2 3x x+ + + − = + ; ( ) ( )7 4 3 3 2 3 2 0x x+ − − + = ; ( ) ( ) 35 21 7 5 21 2x x x+− + + = ; ( ) ( ) 33 5 16 3 5 2x x x++ + − = ; ( ) ( )3 5 3 5 7.2x x x+ + − = ; ( ) ( ) 13 5 1 5 1 2x x x++ − − = ; 15 1 3 56 7 14 98 xx x− − ++ = ; ( ) ( )cos cos7 4 3 7 4 4x xx+ + − = ; ( ) ( )2 2215 1 2 3 5 1x x x xx x− −+ −+ + = − ; ( )2 23.25 3 10 .5 3 0x xx x− −+ − + − = ; ( )9 2 2 3 2 5 0x xx x+ − + − = ; ( ) ( )2 3 2 2 1 2 0x xx x− − + − = ; ( ) ( )2 22 4 4 1 .2 16 0x xx x− −+ + + − = ; 38 .2 2 0x xx x−− + − = ; GBL: ( ) ( ) 37 3 5 7 3 5 2x x xm ++ + − = ; ( ) ( )tg tg5 2 6 5 2 6x x m+ + − = ; ( ) ( )tg tg3 2 2 3 2 2x x m+ + − = ; www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 183 4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: Bài mẫu. GPT: 12 3 6 2x x x+ + = + (1) Đặt 2 3 x x a b = = thì (1) ⇔ ( ) ( ) 3 01 2 2 1 2 0 log 22 xa a b ab a b xb == + = + ⇔ − − = ⇔ ⇔ == Bài tập. 15 3.5 3 3x x x− + = ; 1 2 32 3.2 6 2x x x+ + = + ; 12 3 6 2x x x+ + = + ; 2 1 24 .3 3 2. .3 2 6x x x xx x x++ + = + + ; 2 2 22 5 2 4 8 3 6 13 52 2 1 2x x x x x x− + − + − ++ = + ; ( )22 3 3 1 12 2 2 2x x x x− + − −+ = + ; 4 3 2 5 73 3 9 3x x x− − −+ = + ; 2 2 23 2 1 1 25 5 5 5x x x x x− + − + −+ = + ; 2 2 1 .2 6 12 6 .2 2x x xx x x x ++ + = + + ; 3 1 3.3 27 .3 9x xx x x x++ = + ; 2 1 3 2 2 3 4 1 .2 2 .2 2x x x xx x+ − + − + −+ = + ; ( ) 2 21 2 47 7 7 7x x x x+ − + −+ = + 5. Phương pháp lôgarit hoá: Dạng 1: ( ) ( ) ( )log log logu x u xa a aa m a m u x m= ⇔ = ⇔ = (0 < a ≠ 1) Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )log log .logu x v x u x v xa a aa b a b u x v x b= ⇔ = ⇔ = (0 < a, b ≠ 1) Bài mẫu. GPT: 1 5 .8 500 x x x − = (1) (1) ⇔ ( )3 1 3 25 .2 5 2 x x x − = ⋅ ⇔ 3 35 .2 1 x x x − − = ⇔ ( )332 2log 5 .2 log 1xx x−− = ( ) ( ) ( )2 23 13 log 5 0 3 log 5 0xx xx x−⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ 53 log 2x x= ∨ = − Bài tập. 2 4 33 25.125x x− = ; ( ) 23 28 36.3 x xx ++ = ; 2 22 .3 1,5x x x− = ; 24 .6 2.9x x x= ; 13 .8 36 x x x+ = ; 3 2 15 .2 4 x x x− + = ; 4 tg 24 1600 x x = ; 4 tg 100xx = ; ( ) 2 25 5log 5 1 log 77 x x− = 6. Phương trình mũ đơn điệu Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... u x u x u x u x na a a b+ + + = với 0 , 1ka b< ≠ ; { }1 2Max , ,..., na a a b< Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... u x u x u x u x na a a b+ + + = với 0 , 1ka b Bài 1. Giải phương trình: 23 1 2 x x+ = (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( )3 13 1 2 12 2 x xx x x f x + = ⇔ = + = . Do ( )3 1;2 2 x x y y = = giảm nên ( )f x giảm, khi đó ( ) ( ) ( )1 2 2f x f x f x= ⇔ = ⇔ = . www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 184 Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )4 15 4 15 2 2x x x+ + − = (1) (1) ⇔ ( ) 4 15 4 15 1 2 2 2 2 x x f x + −= + = . Ta có 4 15 4 151;0 1 2 2 2 2 + −> < < nên 4 15 2 2 x y + = tăng và 4 15 2 2 x y −= giảm. Xét 2 khả năng sau: Nếu 0x ≥ thì ( ) 0 4 15 4 15 4 15 0 1 2 2 2 2 2 2 x x f x + − += + > + = Nếu 0x ≤ thì ( ) 0 4 15 4 15 4 150 1 2 2 2 2 2 2 x x f x + − −= + > + = Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3. Giải phương trình: 2 2sin cos2009 2009 cos 2x x x− = (1) (1) ⇔ 2 2 2 2sin cos 2 2 sin 2 cos 22009 2009 cos sin 2009 sin 2009 cosx x x xx x x x− = − ⇔ + = + Đặt ( ) 2009uf u u= + ⇒ ( )f u tăng nên (1) ⇔ ( ) ( )2 2sin cosf x f x= 2 2 2 2cos sin cos sin 0 cos 2 0 ; 4 2 x x x x x x k kpi pi= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ Bài tập dành cho bạn đọc tự giải. 24 9 7 x x = + ; 23 4 5 x x − = ; 3 4 5 14 8x x x x+ + + = ; 2 28 3 2 39 x x x − − = ; ( ) 12 3 6 0,7 xx x x ++ + = ; 15.2 4.7 23,5.10 6.5 4.3x x x x x+ = − − ; 22 5 29 xx x+ = ; ( ) ( )2 3 2 3 4x x x− + + = ; ( ) ( ) ( )6 4 2 17 12 2 34 24 2 1x x x− + − + − = ; 3 21 1 15 4 3 2 2 5 7 17 2 3 6 x x x x x x x x x x+ + + = + + − + − + ; ( ) ( ) ( )3 2 3 2 5x x x− + + = ; 2 2log 3 log 5x x x+ = ; ( ) ( ) ( )6 4 2 17 12 2 34 24 2 1x x x− + − + − = ; 2 2log 3 log 7 2x x x+ = − ; ( ) ( )2 3 2 2 1 2 0x xx x− − + − = ; ( ) ( ).2 3 2 2 1x xx x x= − + − ; 38 .2 2 0x xx −− + = ; ( ) ( )2 22 4 4 1 2 16 0x xx x− −+ + + − = ; ( )2 23.25 3 10 5 3 0x xx x− −+ − + − = 12 4 1x x x+ − = − ; 2 1 2 2 1 1 22 3 5 2 3 5x x x x x x− + + ++ + = + + ; 1 22xx = ; www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 185 ( )2 21 1 1 0 2 2 x x a a a a a + − − = > ; ( )9 2 2 3 2 5 0x xx x+ − + − = ; 2 3 5 10x x x x+ + = ; ( )5 3 3 12 14xx x x+ + = ; ( ) ( )3 2 2 2 1 3x x+ = − + ; ( ) ( ) ( )2 3 4 15 2 3 5x x x− + − = − ; 22 2 2log (2 ) log 6 log 44 2.3x xx− = ; ( ) ( )2 2 2 33 5 7 3 5 2x x x++ + − = ; ( )2 222 2 log 15 2x x x x− ++ = + − ; 2 23 3 2 4x x x x+ = + ; ( ) ( ) ( )2 2 cos2 sin cos cos2 22 2 2 2 2 2 1 2 x x x x + − + + − = + ; 3 3 sin 2tg cotg 2 xx x+ = ; sin cosx xpi = ; ( )12 1 1 2 2 x x x− = + + − ; 1 22xx = ; 2 2 2 1 1 2 1 1e e 2 x x x x x − − − = − ; ( )2 212 2 1x x x x− −− = − ; 2 22 2 2 4 2 25 5 2x mx x mx m x mx m+ + + + +− = + + 7. Phương trình mũ và phương pháp đánh giá: 7.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi: Bài mẫu. 2 2 2 2 18 7 8 9 8 7 8 9 2 x x xx x x x x x x x + − + + − − + − + − − − = Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có ( ) ( )2 22 2 2 28 7 8 9 8 7 8 9 x x VT x x x x x x x x= − + + − − + − + − − − ≥ ( ) ( )2 22 2 2 22 8 7 8 9 8 7 8 9 x x x x x x x x x x− + + − − − + − − − ( ) ( )2 2 12 22 8 7 8 9 2 16 2.2 2 x x x xx x x x + = − + − − − = = = Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ Dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 7 8 9 8 7 8 9 8 7 8 9 8 7 8 9 4 x x x x x x x x x x x x x x x x − + + − − = − + − − − ⇔ − + + − − − + − − − = 2 2 2 8 7 4 1 8 9 0 98 9 0 x x x x x xx x − + = = − ⇔ ⇔ − − = ⇔ = − − = www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 186 7.2. Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli: Cho t > 0, khi đó: ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 t t t t α α + − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥ + − α ≤ ∀ ≤ α ≤ Bài 1. Giải phương trình: 3 2 3 2x x x+ = + Giải Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: • Nếu 0 1x≤ ≤ thì ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x + − ≤ ≤ + ⇔ + − ≤ ≤ + 3 2 3 2x x x⇒ + ≤ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1x x⇔ = = • Nếu 0 1 x x ≤ ≥ thì ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x + − ≥ ≥ + ⇔ + − ≥ ≥ + 3 2 3 2x x x⇒ + ≥ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1x x⇔ = = Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm 0; 1x x= = Bài 3. Giải phương trình: 3 5 6 2x x x+ = + Giải • Nếu 0 1x≤ ≤ thì ( ) ( ) 5 1 5 1 5 4 1 3 1 3 1 3 2 1 x x x x x x x x + − ≤ ≤ + ⇔ + − ≤ ≤ + 5 3 6 2x x x⇒ + ≤ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1x x⇔ = = • Nếu 0 1 x x ≤ ≥ thì ( ) ( ) 5 1 5 1 5 4 1 3 1 3 1 3 2 1 x x x x x x x x + − ≥ ≥ + ⇔ + − ≥ ≥ + 5 3 6 2x x x⇒ + ≥ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1x x⇔ = = Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm 0; 1x x= = Bài tập. 4 5 6 12 3x x x x+ + = + ; 4 2 4 2x x x+ = + ; ( )2 227 6 4 1 9x xx x= − + 8. Phương trình mũ sử dụng định lý Lagrange: Định lý Lagrange: Nếu f liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho ( ) ( ) ( )0 f b f af x b a − ′ = − Bài tập. 23.2 7 17x x+ − = ; 2004 2007 2005 2006x x x x+ = + ; 3 11 4 10x x x x+ = + ; 15 2.3x x+ = ; 2 2 22 12 2.7x x x x x x− − −+ = www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 187 II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản: Sử dụng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 01 0 1 1 0 x x aa a a a x x x x a x x α β >> < < > ⇔ ∨ ⇔ α > β α 2. Bất phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: Bài 1. Giải BPT: 1 1 114 324 x x x x − + −≤ ⋅ ( ) ( )3 22 1 5 121 1 2 1 3 22 2 2 2 1 1 xx x x x x x x x x + − − −+ − − +≤ ⋅ = ⇔ ≤ + − ⇔ ( ) ( ) ( ) 9 ; 19 0 1 1 1 0 x xx x x x x ≤ − >+ ≥ ⇔ − + − < ≤ Bài 2. Giải BPT: ( ) 224 2 1 1x xx x −+ + > (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 1 1 2 1 0 10 1 0 12 1 00 4 2 1 1 2 1 00 x x x x xx x x x xx xx x x xx x + + > + > > − > − > ⇔ ⇔ < − + < < + + < − < − < Bài tập. 2 3 4 1 22 2 2 5 5x x x x x+ + + + +− − > − ; 1 12 2 3 3x x x x+ −+ ≤ + ; ( ) ( ) 11 15 2 5 2 xx x−− ++ ≤ − ; ( ) ( )1 12 1 2 1 xx x+ −+ ≥ − ; ( ) ( )3 11 310 3 10 3x xx x− +− ++ < − ; ( )2 12 13 3 x xx x − −− ≥ ; ( ) 2 232 21 1 x xx x +− ≤ − ; ( ) ( )3 22 21 51 1x xx xx x x x+ −− +− + > − + ; 22 7 31 1x xx − +− < ; 2 2 22 13 3 2 5x x x+ ++ ≤ ⋅ ; ( ) ( )72 1 13 13 3x x > ; 23 3log log2 5 400x x⋅ < ; ( ) 2 5 63 1x xx − ++ > ; ( ) 62 8 16 1xx x −− + ; 1 lg .lg 1xx x < ; 2 lg 10xx x≥ ; 2log 2xx ≥ ; 18 6 9x x−≥ ⋅ ; ( ) ( )6 32 1 11 12 2x x x− + − + − ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 188 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu. Giải BPT: 2 2 2 2 49 9 14 7 4 0x x x⋅ − ⋅ + ⋅ ≥ (1) (1) ⇔ ( ) ( )2 2 22 2 7 1 149 7 22 9 7 0 2 9 7 04 2 001 x x u x x u u xxu ≥ ≥ ≥ − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ =≤ ≤ Bài 2. Giải BPT: ( )1 1 1 1 51 2 2 2 2 1 3 2 2x x x x− − − − − + < + − + (1) ( ) ( )1 1 1 1 52 21 2 1 2 1 3 2 2x x x x− − − − ⇔ + < + − + . Đặt 1 1 2 1 1 2 02 1 1 x x u uv v u u vv − − = + > − = − ⇒ + > = − > − (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 6 4 56 552 2 0 0 3 3 3 v u uv uvu v uv u v u v uv u v uv u v − + −+ − + < ⇔ < ⇔ < + + + ( ) ( )2 26 2 4 5 6 5 240 0 0 0 1uv uv uv uv uv uv v x uv uv − + − − + ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < Bài tập. 2 2 22 1 2 1 225 9 34 15x x x x x x− + − + −+ ≥ ⋅ ; 2 10 3 2 5 1 3 25 4 5 5x x x x− − − − + −− ⋅ < ; 2 2 21 2 6 24 2 52 4x x x− − −+ > + ; 1 2 1 23 2 12 0 x x x+ + − − < ; 2 1 4 7 5 2 35 12 5 4 x x x+ − ⋅ ≤ − ⋅ + ; 4 418 3 9 9x x x x+ +⋅ + ≥ ; 2 4 43 8 3 9 9 0x x x x+ + +− ⋅ − ⋅ > ; 12 2 1 0 2 1 x x x − − + ≤ − ; 9 3 2 3 9x x x− + > − ; ( )13 5 2 13 12 13 5x x x− ≤ + − + ; ( )2 5 4 5 3 5 3x x x+ − − ≤ + ; ( ) ( ) ( )26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1x x x+ + + − − < ; 4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: Bài mẫu. Giải BPT: ( ) 22 21 14 2 2 1x x x x+ − ++ ≥ + (1) (1) ⇔ 2 2 22 2 1 2 12 2 2 1x x x x x+ − + ++ ≥ + . Đặt 2 2 22 2 1 2 12 ; 2 2x x x x xa b ab+ − + += = ⇒ = (1) ⇔ ( ) 1; 1 1 1 0 ( 1) 1 0 1; 1 0 a b x ab a b a b a b x ≥ ≤ ≥ + − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≥ ≤ www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 189 Bài tập. 2 1 24 3 3 2 3 2 6x x x xx x x++ ⋅ + < ⋅ + + ; ( )2 2 1 24 8 2 4 2 2 2x xx x x x x x++ − > + − + ⋅ − ; 2 2 22 5 3 2 2 3 2 5 3 4 3x xx x x x x x x− − + > ⋅ − − + ⋅ ; ( ) ( )2 2 2 2 22 9 2 2 8 2 2 9 2 8 16x x x xx x x x x x⋅ + + ⋅ + ≤ + + ⋅ + + ; 5. Bất phương trình mũ đơn điệu Bài 1. Giải BPT: 1 12 3 6 1x x x+ ++ < − (1) (1) ⇔ ( )f x = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 1 26 3 2x x x f+ + (do ( )f x giảm) Bài 2. Giải BPT: ( ) ( ) 15 2922 5 10x x+ > (1) Nếu 0x < thì 1 x giảm trên ( );0−∞ nên ( ) 125 xy = tăng trên ( );0−∞ , khi đó: ( ) ( ) ( ) 15 22 5x xf x = + tăng trên ( );0−∞ và (1) ⇔ ( ) ( ) 291 1 010f x f x> − = ⇔ − < < Nếu 0x > thì 1 x giảm trên ( )0; +∞ nên ( ) 125 xy = tăng trên ( )0; +∞ , khi đó: ( ) ( ) ( ) 15 22 5x xf x = + tăng trên ( )0; +∞ và (1) ⇔ ( ) ( ) 291 110f x f x> = ⇔ > Bài 3. Tìm nghiệm 0x > của BPT: 16 3 10 2 1 x x x + − > − (1) (1) ⇔ ( ) ( )1 1 110 10 2 6 2 66 3 6 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x xx x x xf x g x x x x x + + +− − − > ⇔ − = > ⇔ = > = − − − − Nếu 1 3 2 x< ≤ thì ( ) 12 6 0 3 2 1 xxf x x +− = ≤ < − nên (1) vô nghiệm. Nếu 10 2 x< < thì dễ thấy ( ) ( ),f x g x tăng trên ( )10; 2 , khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( )10 6 3 3 2f x f g g x> = > = > ⇒ Nghiệm của (1) là 10 2x< < Nếu 3x > thì dễ thấy ( ) ( ),f x g x tăng trên ( )3; +∞ , khi đó ta có: ( ) ( ) ( )2 6 51 1 81 3 2 1 2 1 xf x g g x x x − = = − < < = < − − ⇒ (1) vô nghiệm. www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 190 Bài tập. 12 2 1 0 2 1 x x x− − + ≤ − ; 23 3 2 0 4 2 x x x− + − ≥ − ; 1 1 2 5 3 1 2 3 x x x x + + − ⋅ < − ; ( )23 28 1 33 2 xxx x−⋅ > +− ; 2 2 2 21 24 2 3 2 2 8 12x x x xx x x++ ⋅ + ⋅ > ⋅ + + ; ( ) ( ) ( ) ( )22 24 64 6 2 2 4 62 1 1 0 1x xx x x xa a a a− +− + − ++ − ≥ + < < ; 6. Bất phương trình mũ chứa tham số Bài 1. Tìm m để BPT sau có nghiệm: 2 2 2sin cos sin2 3 3x x xm+ ≥ ⋅ (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( )22 22 sinsin sin1 2sin 62 13 33 9 9xx xx m m−+ ≥ ⇔ + ≥ Đặt [ ]2sin 0;1u x= ∈ , ycbt ⇔ ( ) ( ) ( )6 139 9u uf u m= + ≥ có nghiệm [ ]0;1u ∈ ⇔ [ ] ( ) ( ) 0;1 Max 0 4 u f u f m ∈ = = ≥ Bài 2. Tìm m để BPT sau đúng ∀x ∈ : ( ) ( )24 1 2 1 0x xm m m+⋅ + − + − > (1) Đặt 2 0xu = > , khi đó: (1) ⇔ ( ) ( )2 4 1 1 0mu m u m+ − + − > ⇔ ( )2 4 1 4 1m u u u+ + > + ⇔ ( ) 2 4 14 1 uf u m u u + = < + + . Ta có ( ) ( ) 2 22 4 2 0 4 1 u uf u u u − − ′ = < + + [ )0;u∀ ∈ +∞ ⇒ ( )f u giảm trên [ )0; +∞ ycbt ⇔ ( ) 2 4 1 , 04 1 uf u m u u u + = + + ⇔ ( ) ( ) 0 Max 0 1 u f u f m > = = ≤ Bài tập. Tìm m để BPT sau có nghiệm: 49 5 7 0x x m− ⋅ + ≤ ; ( )4 2 3 0x xm m− ⋅ + + ≤ ; Tìm m để bất phương trình sau đúng ∀x > 0: ( ) ( )3 1 12 2 6 3 0x x xm m+ + − + < Tìm m để BPT sau đúng ∀x ≤ 0: ( ) ( ) ( )12 2 1 3 5 3 5 0x xxm m+⋅ + + − + + < Tìm m để BPT sau đúng 1 2 x∀ ≥ : ( )2 2 22 2 29 2 1 6 4 0x x x x x xm m m− − −⋅ − + + ⋅ ≤ www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 191 www.VNMATH.com Tài liệu đính kèm:
|
