Lý thuyết về tích vô hướng của 2 vectơ và các dạng bài tập
Trong toán học, chắc hẳn các bạn đã từng nghe qua khái niệm vecto rồi đúng không. Vecto không chỉ quan trọng trong toán học đại số mà còn là một đại lượng quan trọng trong toán hình học và Vật lý học. Theo dõi bài viết để biết thêm về tích vô hướng của 2 vectơ!
I. Định nghĩa về Vectơ
1. Vectơ là gì?
Đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, ký hiệu là \[ {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\]. Véctơ được ký hiệu là \[ {\displaystyle{\overrightarrow {AB}}}\] hoặc \[\ {\displaystyle {\vec {a}}}, {\displaystyle {\vec {b}}}, {\displaystyle {\vec {u}}}, {\displaystyle {\vec {v}}}\].
Vecto 0 là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Xem ngay:
2. Hai vecto cùng phương cùng hướng
Hai vectơ nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau thì cùng phương.Hai vectơ cùng phương và cùng chiều là hai vecto cùng hướng.
Hai vectơ cùng hướng hoặc ngược hướng thì chắc chắn cùng phương.
II. Công thức tính tích vô hướng của 2 vectơ
- Tích vô hướng của 1 vecto với 1 số bất kỳ
Tích của vectơ\[ {\displaystyle {\vec {a}}}\] với một số thực\[ {\displaystyle r\in \mathbb {R} }\] là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của \[{\displaystyle {\vec {a}}}\], cùng chiều nếu \[{\displaystyle r>\ 0}\] và ngược chiều nếu \[{\displaystyle r 0$ nên $\overrightarrow {M’I’} $, $\overrightarrow {BC} $ cùng hướng suy ra: $\overrightarrow {M’I’} .\overrightarrow {BC} = B{C^2}$ $ \Leftrightarrow M’I’.BC = B{C^2}$ $ \Leftrightarrow M’I’ = BC.$ Do $I$ cố định nên $I’$ cố định suy ra $M’$ cố định.
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng đi qua $M’$ và vuông góc với $BC.$
Ví dụ 3: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ và số thực $k$ cho trước. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} = k.$
Gọi $I$ là tâm của hình vuông $ABCD.$ Ta có: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} $ $ = [\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} ][\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} ]$ $ = M{I^2} + \overrightarrow {MI} [\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} ] + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} $ $ = M{I^2} + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} .$ Tương tự $\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} = M{I^2} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} .$ Nên $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} = k$ $ \Leftrightarrow 2M{I^2} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IC} = k.$ $ \Leftrightarrow 2M{I^2} – I{B^2} – I{A^2} = k$ $ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + I{A^2}$ $ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + {a^2}.$ $ \Leftrightarrow MI = \sqrt {\frac{k}{2} + I{A^2}} $ $ = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} .$ Nếu $k < – {a^2}$: Tập hợp điểm $M$ là tập rỗng. Nếu $k = – {a^2}$ thì $MI = 0$ $ \Leftrightarrow M \equiv I$ suy ra tập hợp điểm $M$ là điểm $I.$ Nếu $k > – {a^2}$ thì $MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} .$
Suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} .$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho đoạn thẳng $AB.$ Tìm tập hợp điểm $M$ trong mỗi trường hợp sau:
a] $2M{A^2} = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} .$
b] $M{A^2} + 2M{B^2} = k$ với $k$ là số thực dương cho trước.
c] $\overrightarrow {AM} .\vec a = k$ với $k$ là số thực cho trước.
Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Tìm tập hợp điểm $M$ trong các trường hợp sau: a] $[\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} ][2\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} ] = 0.$ b] $[\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} ][\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} ] = 0.$
c] $2M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} .$
Bài 3: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho: a] $2M{A^2} + M{B^2} = M{C^2} + M{D^2}.$
b] $[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} ][\overrightarrow {MC} – \overrightarrow {MB} ] = 3{a^2}.$
Bài 4: Cho tứ giác $ABCD$, $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD.$ Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \frac{1}{2}I{J^2}.$
Bài 5: Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a.$ Tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} = \frac{{{a^2}}}{4}.$
Bài 6: Cho tam giác $ABC$, góc $A$ nhọn, trung tuyến $AI.$ Tìm tập hợp những điểm $M$ di động trong góc $BAC$ sao cho: $AB.AH + AC.AK = A{I^2}$ trong đó $H$ và $K$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB$ và $AC.$
Bài 7: Cho tam giác $ABC$ và $k$ là số thực cho trước. Tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho $M{A^2} – M{B^2} = k.$
Bài 8: Cho tam giác $ABC.$ Tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho $\alpha M{A^2} + \beta M{B^2} + \gamma M{C^2} = k$ với $k$ là số cố định cho trước khi: a] $\alpha + \beta + \gamma = 0.$
b] $\alpha + \beta + \gamma \ne 0.$
DẠNG TOÁN 4: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho $\vec a = \left[ {{x_1};{y_1}} \right]$, $\vec b = \left[ {{x_2};{y_2}} \right].$ Khi đó:
+ Tích vô hướng hai vectơ là $\vec a.\vec b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}.$
+ Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức:
$\cos [\vec a,\vec b] = \frac{{\vec a.\vec b}}{{|\vec a||\vec b|}}$ $ = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}.$
Chú ý: $\vec a \bot \vec b$ $ \Leftrightarrow \vec a.\vec b = 0$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0.$
Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức: + Nếu $\vec a = [x;y]$ thì $|\vec a| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .$+ Nếu $A\left[ {{x_A};{y_A}} \right]$, $B\left[ {{x_B};{y_B}} \right]$ thì $AB = \sqrt {{{\left[ {{x_B} – {x_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_B} – {y_A}} \right]}^2}} .$
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có $A[1;2]$, $B[ – 2;6]$, $C[9;8].$
a] Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A.$
b] Tính góc $B$ của tam giác $ABC.$
c] Xác định hình chiếu của $A$ lên cạnh $BC.$
a] Ta có $\overrightarrow {AB} [ – 3;4]$, $\overrightarrow {AC} [8;6]$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = – 3.8 + 4.6 = 0.$ Do đó $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} $ hay tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ b] Ta có $\overrightarrow {BC} [11;2]$, $\overrightarrow {BA} [3; – 4].$ Suy ra $\cos B = \cos [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} ]$ $ = \frac{{11.3 + 2.[ – 4]}}{{\sqrt {{{11}^2} + {2^2}} \sqrt {{3^2} + {{[ – 4]}^2}} }}$ $ = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.$ c] Gọi $H[x;y]$ là hình chiếu của $A$ lên $BC.$ Ta có $\overrightarrow {AH} [x – 1;y – 2]$, $\overrightarrow {BH} [x + 2;y – 6]$, $\overrightarrow {BC} [11;2].$ $AH \bot BC$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0$ $ \Leftrightarrow 11[x – 1] + 2[y – 2] = 0.$ Hay $11x + 2y – 15 = 0$ $[1].$ Mặt khác $\overrightarrow {BH} $, $\overrightarrow {BC} $ cùng phương nên $\frac{{x + 2}}{{11}} = \frac{{y – 6}}{2}$ $ \Leftrightarrow 2x – 11y + 70 = 0$ $[2].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra $x = \frac{1}{5}$, $y = \frac{{32}}{5}.$
Vậy hình chiếu của $A$ lên $BC$ là $H\left[ {\frac{1}{5};\frac{{32}}{5}} \right].$
Ví dụ 2: Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $I[1;1]$, đỉnh $A[3;2]$ và đỉnh $B$ nằm trên trục hoành. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
Vì $B$ nằm trên trục hoành nên giả sử $B[0;y].$ Vì $I$ là tâm hình thoi $ABCD$ nên $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD.$ Suy ra $C = \left[ {2{x_I} – {x_A};2{y_I} – {y_A}} \right]$ $ = [ – 1;0]$, $D = \left[ {2{x_I} – {x_B};2{y_I} – {y_B}} \right]$ $ = [2;2 – y].$ Do đó $AB = AD$ $ \Leftrightarrow A{B^2} = A{D^2}$ $ \Leftrightarrow 9 + {[y – 2]^2} = 1 + {y^2}$ $ \Leftrightarrow y = 3.$
Vậy $B[0;3]$, $C[ – 1;0]$, $D[2; – 1].$
Ví dụ 3: Cho ba điểm $A[3;4]$, $B[2;1]$ và $C[ – 1; – 2].$ Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ để góc $\widehat {AMB} = {45^0}.$
Giả sử $M[x;y]$ suy ra $\overrightarrow {MA} [3 – x;4 – y]$, $\overrightarrow {MB} [2 – x;1 – y]$, $\overrightarrow {BC} [ – 3; – 3].$ Vì $\widehat {AMB} = {45^0}$ suy ra $|\cos \widehat {AMB}| = |\cos [\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {BC} ]|.$ $ \Leftrightarrow \cos {45^0} = \frac{{|\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} |}}{{|\overrightarrow {MA} |.|\overrightarrow {BC} |}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{| – 3[3 – x] – 3[4 – y]|}}{{\sqrt {{{[3 – x]}^2} + {{[4 – y]}^2}} \sqrt {9 + 9} }}.$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{{[3 – x]}^2} + {{[4 – y]}^2}} $ $ = |x + y – 7|$ $[*].$ Mặt khác $M$ thuộc đường thẳng $BC$ nên hai vectơ $\overrightarrow {MB} $, $\overrightarrow {BC} $ cùng phương. Suy ra $\frac{{2 – x}}{{ – 3}} = \frac{{1 – y}}{{ – 3}}$ $ \Leftrightarrow x = y + 1$ thế vào $[*]$ ta được: $\sqrt {{{[2 – y]}^2} + {{[4 – y]}^2}} $ $ = |2y – 6|$ $ \Leftrightarrow {y^2} – 6y + 8 = 0$ $ \Leftrightarrow y = 2$ hoặc $y = 4.$ + Với $y = 2 \Rightarrow x = 3$, ta có: $\overrightarrow {MA} [0;2]$, $\overrightarrow {MB} [ – 1; – 1]$ $ \Rightarrow \cos \widehat {AMB}$ $ = \cos [\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} ]$ $ = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$ Khi đó $\widehat {AMB} = {135^0}$ [không thỏa mãn]. + Với $y = 4 \Rightarrow x = 5$, ta có: $\overrightarrow {MA} [ – 2;0]$, $\overrightarrow {MB} [ – 3; – 3]$ $ \Rightarrow \cos \widehat {AMB}$ $ = \cos [\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} ]$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$ Khi đó $\widehat {AMB} = {45^0}.$
Vậy $M[5;4]$ là điểm cần tìm.
Ví dụ 4: Cho điểm $A[2;1].$ Lấy điểm $B$ nằm trên trục hoành có hoành độ không âm và điểm $C$ trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Tìm toạ độ $B$, $C$ để tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất.
Gọi $B[b;0]$, $C[0;c]$ với $b \ge 0$, $c > 0.$ Suy ra $\overrightarrow {AB} [b – 2; – 1]$, $\overrightarrow {AC} [ – 2;c – 1].$ Theo giả thiết ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ $ \Leftrightarrow [b – 2][ – 2] – 1.[c – 1] = 0$ $ \Leftrightarrow c = – 2b + 5.$ Ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC$ $ = \frac{1}{2}\sqrt {{{[b – 2]}^2} + 1} .\sqrt {{2^2} + {{[c – 1]}^2}} $ $ = {[b – 2]^2} + 1$ $ = {b^2} – 4b + 5.$ Vì $c > 0$ nên $ – 2b + 5 > 0$ $ \Rightarrow 0 \le b < \frac{5}{2}.$ Xét hàm số $y = {x^2} – 4x + 5$ với $0 \le x < \frac{5}{2}.$
Bảng biến thiên:
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^2} – 4x + 5$ với $0 \le x < \frac{5}{2}$ là $y = 5$ khi $x =0.$ Do đó diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất khi và chỉ khi $b = 0$, suy ra $c=5.$
Vậy $B[0;0]$, $C[0;5]$ là điểm cần tìm.
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hai vectơ $\vec a[0;4]$, $\vec b[4; – 2].$
a] Tính cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b .$
b] Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow c $ biết $[\vec a + 2\vec b].\vec c = – 1$ và $[ – \vec b + 2\vec c].\vec a = 6.$
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ có $A[5;3]$, $B[2; – 1]$, $C[ – 1;5].$ a] Tìm tọa độ trực tâm tam giác $ABC.$ b] Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ $A.$
c] Tính diện tích tam giác $ABC.$
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ với $A[3;1]$, $B[-1;-1]$, $C[6;0].$ a] Tính góc $A$ của tam giác $ABC.$
b] Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính $AB$ và đường tròn đường kính $OC.$
Bài 4: Cho ba điểm $A[6;3]$, $B[-3;6]$, $C[1;-2].$ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Bài 5: Các điểm $B[-1;3]$, $C[3;1]$ là hai đỉnh của một tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$ Tìm tọa độ đỉnh $A.$
Bài 6: Cho bốn điểm $A[-8;0]$, $B[0;4]$, $C[2;0]$, $D[-3;-5].$ Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp được một đường tròn.
Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $A[-2;-1]$, $B[2;-4].$ a] Tìm trên trục $Oy$ điểm $M$ sao cho $\widehat {MBA} = {45^0}.$
b] Tìm trên trục $Ox$ điểm $N$ sao cho $NA = NB.$
Bài 8: Cho hai điểm $A[4;-3]$, $B[3;1].$ Tìm $M$ trên trục hoành sao cho $\widehat {AMB} = {135^0}.$
Bài 9: Biết $A[1;-1]$, $B[3;0]$ là hai đỉnh của hình vuông $ABCD.$ Tìm tọa độ các đỉnh $C$ và $D.$
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm $A[1;4]$, $B[-2;-2]$ và $C[4;2].$ Xác định tọa độ điểm $M$ sao cho tổng $M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2}$ nhỏ nhất.