Cryto Giá

Chuyên đề giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tóm tắt nội dung tài liệu

LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 3 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 3 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NH ẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT MỘT S Ố P HƯƠNG PHÁP LƯ ỢNG GIÁC HÓA TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 8 – 2011
LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Trong tập 3 “TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA” này, chúng tôi sẽ trình bày các kỹ thuật đại số, giải tích về hai vấn đề trên. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ xoáy vào trọng tâm là “PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA”, một dạng ứng dụng kỹ thuật khá hay trong một số bài toán. Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần : Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết - cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót. Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào - phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này. Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm - tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm. Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh kh ỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa. Chi tiết liên hệ tại : CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH.
LỜI CẢM ƠN Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành cuốn sách này : Trần Phong [ĐH Sư Phạm Tp.HCM] - Ngô Minh Nhựt [ĐH Kinh Tế Tp.HCM] - Mai Ngọc Thắng [ĐH Kinh Tế Tp.HCM] - Trương Tấn Sang [Westminster High School California] - Nguyễn Thị Thanh Huyền [THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai] - Nguyễn Hoài Anh [THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh] - Nguyễn Đình Thi [ĐH Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM] - và một số thành viên diễn đàn MathScope.
MỤC LỤC TẬP 3 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA CHƯƠNG 8 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. HÀM LƯỢNG GIÁC ................................................................................. 1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC .............................................. 1 1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 9 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT BẲNG THỨC CƠ BẢN ...................... 11 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 19 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM HÀM SỐ ..................................................... 24 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 35 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT II. HÀM LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ ................................................ 38 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 44 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT III. HÀM LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ............................................ 46 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 53
CHƯƠNG 9 : PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TÓM TẮT MỘT SỐ KỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG ............................. 57 I. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA II. TRONG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ ................................... 59 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 63 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA III. TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC......................................... 63 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 86 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA IV. TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ............................................................ 88 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................. 95 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA V. TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ...................................................... 95 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 104 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA VI. TRONG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT................ 105 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................ 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 114
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất CHƯƠNG 8 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM LƯỢNG GIÁC I. [ ] xác định trên miền Cho hàm số . 1. Một số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số nếu : [] { [] Kí hiệu : 2. Một số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu : [] { [] Kí hiệu :  Chú ý rằng : Nếu hàm số [ ] liên tục trên [ ] thì hàm số đó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất [GTLN] và giá trị nhỏ nhất [GTNN] của một hàm số hay một biểu thức lượng giác, tùy theo từng loại toán ta có thể dùng một trong các phương pháp sau. Ở đây, chúng ta chỉ đề cập đến các phương pháp đại số, giải tích. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1. Dựa vào tính bị chặn của hàm số sin, hàm số cos - | | { | | Dùng điều kiện có nghiệm của các phương trình cơ bản - i. Phương trình bậc hai : có nghiệm khi và chỉ khi { Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ii. 1
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Nếu hàm số có dạng iii. Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình cổ điển . Nếu hàm số chưa đưa về dạng trên thì ta biến đổi để đưa về dạng trên [nếu được]. Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] Giải: a. Ta có : [ ] Hay Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi [ ] √ √ Do đó, [ ] √ √] [ [ ] √ √] [ Ta đã chứng minh được b. Do đó, Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi 2
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Vậ y [ ] [ ] c. Ta có : [ ] [ ] [ ] Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi [ ] [ ] √ √ Do đó √ √ [ ] √ √ [ ] Chú ý: Tương tự câu a, ta đưa về bài toán dạng tổng quát Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số |√ | [ ] √ √ √ √ 3
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Giải: a. Ta có : √ |√ | |[ ] | | [ ] | [ ] { [ ] Vậ y [ ] [ ] b. Ta có : Ta xét : || | | | | | | Do đó, [ ] [ ] Hàm số xác định khi và chỉ khi c. { Ta có : √ √ √ Vậ y { [ỏ ] ề ệ ị Hơn nữa, √ √ √ Vậ y { [ỏ ] ề ệ ị 4
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Điều kiện: d. { { nên ta cần xét trên [– ]. Do đó Vì chu kỳ của và là Ta có : [ ] √[ ][ ] √ √ [ ] √ [ ] Hơn nữa, { √ √ [ ] √ { √ Suy ra √ √[√ √ √ √ ] √ Do vậy, √√ { [ ] Tương tự, ta được √ Do đó, √ √√ √ √ [ ] { 5
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số [ ] Giải: a. Ta có : | | { | | Do đó, { b. Ta có : { Do đó, { c. Ta có : [ ] [ ] ⏟[ ] ⏟ Do đó, { d. Ta có : [ ] [ ] [ ] Do đó, { [ ] 6
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số [√ ] √ Giải: a. Ta có : [ ] [ ] √ [ √ ] [ √] [ ] Do đó, √ { b. Ta có : [ ] √ √ [ ] [ ] Do đó, √ { Bài 5: Với là một góc cố định cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : [ ] [ ] Biết rằng hàm số thỏa các điều kiện xác định cho trước. 7
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Giải: Ta có : [ [ ] [ ]] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Do đó, tồn tại khi và chỉ khi [ ] [ ] [ ] [ ] Khi đó, [ ] Vậ y Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [ĐH Giao Thông Vận Tải 1999] Giải: Điều kiện: [ ] Ta có : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Do đó, [ ] { { . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu Bài 7: Cho thức Giải: Ta có : { Do đó, khi và chỉ khi . Ta chọn 8
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Hơn nữa, ta thấy luôn luôn tồn tại 2 số giả sử là cùng dấu và { | | [ ] | | | | | | và | | Do đó, khi và chỉ khi . Khi đó, ta chọn { BÀI TẬP TỰ LUYỆN - 8.1.1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số √ [ ] ốị ướ 8.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ếằ 8.1.3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức [ ] [ ] 9
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN - 8.1.1. [ ] { [ ] √] [ [ ] [ √] [ √ [ ] √ { [ [ ] { [ ] [ ] { [ ] √ [ ] [ √] √ [ ] [ √] { [ ] √ [ √] { [ ] √ [ √] √ √ { 10
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất [ ] [ ] [ ] { [ ]{ [ ]{ [ 8.1.2. Ta biến đổi hàm số đã cho thành [ ][ ] [ ][ ] 8.1.3. Ta biến đổi biểu thức đã cho thành Để ý rằng, nếu ta đặt { Ta sẽ đưa biểu thức về dạng biểu thức . PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 2. Ở phần này, ngoài việc sử dụng các phương pháp đã được đề cập ở chương 3, - chúng ta cần phải xác định rõ điều kiện xác định của hàm số hay biểu thức trước khi sử dụng các bất đẳng thức cơ bản. Phương pháp này được coi là một phương pháp khó vì đòi hỏi tính sáng tạo và kỹ - thuật cao trong việc sử dụng thành thạo bất đẳng thức và trong việc vừa tìm giá trị lớn nhất vừa tìm giá trị nhỏ nhất nên đa phần các bài toán ở dạng này chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số hay biểu thức. 11
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] ếằ Giải: [ ] { Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ √ √ Do đó, √ { Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √[ ][ ] √[ ][ ] { √[ ][ ] Do đó, Ta biến đổi hàm số thành 12
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất [ ] [ ] Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √[ ][ ] [ ] Do đó, { nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 2: Cho [ ] Giải: nhọn nên dương. Do Ta có : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : [ ] [ ]| [ ] | { [ ] [ ]| [ ] | [ [ ]] [ [ ] [ ] ] ⏟ [] [ ] 13
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Do đó, [ ] là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của Bài 3: Cho biểu thức [ ] √ √ Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √[ ][ ] √ √ √[ √[ √ [ ]] √] Do đó, √ √ √ √ √[ { √] √ [ ] √ { √ là hai số tự nhiên lớn hơn . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Bài 4: Cho [ ] [ĐH Bách Khoa Hà Nội 1998] Giải: [ ] Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] ⏟ ⏟ ốạ ốạ [ ] ⏟ ⏟ [ ] ốạ ốạ 14

Page 2

YOMEDIA

Tham khảo sách 'chuyên đề lượng giác: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, một số phương pháp lượng giác hóa', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

03-04-2012 2185 277

Download