Vĩnh Sương said:
Cho bất phương trình
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-20; 20] để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc [-1;2].
Mình cảm ơn mọi người ạ.Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Đặt [imath]\sqrt{-x^2+2x+3}=t[/imath] thì với [imath]x \in [-1,2][/imath] thì [imath]t \in [0,2][/imath]
Bất phương trình trên trở thành [imath]4t \leq -t^2+m \Leftrightarrow m \geq 4t+t^2[/imath][1]
Để bất phương trình đúng [imath]\forall x \in [-1,2][/imath] thì [1] đúng [imath]\forall t \in [0,2][/imath]
Lập bảng biến thiên hàm [imath]f[t]=4t+t^2[/imath] ta thấy [imath]m \geq \max f[t]=12[/imath]
Từ đó [imath]m \in [12,20][/imath] hay có [imath]9[/imath] giá trị nguyên của [imath]m[/imath] thỏa mãn.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Bất đẳng thức. Bất phương trình
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 10;10} \right]\] để bất phương trình sau nghiệm đúng \[\forall x \in R:{\left[ {6 + 2\sqrt 7 } \right]^x} + \left[ {2 - m} \right]{\left[ {3 - \sqrt 7 } \right]^x} - \left[ {m + 1} \right]{2^x} \ge 0\] ?
- A. 10
- B. 9
- C. 12
- D. 11
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \[{2^x} > 0\] ta được: \[{\left[ {3 + \sqrt 7 } \right]^x} + \left[ {2 - m} \right]{\left[ {\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right]^x} - \left[ {m + 1} \right] \ge 0\]
Nhận xét: \[{\left[ {3 + \sqrt 7 } \right]^x}.{\left[ {\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right]^x} = 1\], do đó khi ta đặt \[t = {\left[ {3 + \sqrt 7 } \right]^x}\left[ {t > 0} \right] \Rightarrow {\left[ {\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right]^x} = \frac{1}{t}\]
Phương trình trở thành: \[t + \left[ {2 - m} \right]\frac{1}{t} - \left[ {m + 1} \right] \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left[ {m + 1} \right]t + 2 - m \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} - t + 2 \ge m\left[ {t + 1} \right] \Leftrightarrow m \le \frac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}} = f\left[ t \right]{\rm{ }}\forall t > 0 \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} f\left[ t \right]\]
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\in \left[ -10;10 \right]\] để bất phương trình sau nghiệm đúng \[\forall x\in \mathbb{R}:{{\left[ 6+2\sqrt{7} \right]}^{x}}+\left[ 2-m \right]{{\left[ 3-\sqrt{7} \right]}^{x}}-\left[ m+1 \right]{{2}^{x}}\ge 0\]?
- A. 10
- B. 9
- C. 12
- D. 11
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \[{{2}^{x}}>0\] ta được: \[{{\left[ 3+\sqrt{7} \right]}^{x}}+\left[ 2-m \right]{{\left[ \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right]}^{x}}-\left[ m+1 \right]\ge 0\]
Nhận xét: \[{{\left[ 3+\sqrt{7} \right]}^{x}}.{{\left[ \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right]}^{x}}=1\], do đó khi ta đặt \[t={{\left[ 3+\sqrt{7} \right]}^{x}}\left[ t>0 \right]\Rightarrow {{\left[ \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right]}^{x}}=\frac{1}{t}\].
Phương trình trở thành: \[t+\left[ 2-m \right]\frac{1}{t}-\left[ m+1 \right]\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left[ m+1 \right]t+2-m\ge 0\]
\[\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t+2\ge m\left[ t+1 \right]\Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}=f\left[ t \right]\text{ }\forall t>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\min }}\,f\left[ t \right]\].
Xét hàm số \[f\left[ t \right]=\frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}\left[ t>0 \right]\] ta có: \[f'\left[ t \right]=\frac{\left[ 2t-1 \right]\left[ t+1 \right]-{{t}^{2}}+t-2}{{{\left[ t+1 \right]}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left[ t+1 \right]}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-3 \\ \end{align} \right.\]
BBT
Từ BBT \[\Rightarrow m\le 1\].
Kết hợp điều kiện đề bài \[\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m\in \mathbb{R} \\ & m\in \left[ -10;1 \right] \\ \end{align} \right.\Rightarrow \]