Khi nhìn vào Tam giác Pascal, hãy tìm các số nguyên tố đứng đầu hàng. Số nguyên tố đó là ước của mọi số trong hàng đó
Quyền hạn của 2
Bây giờ chúng ta hãy xem lũy thừa của 2. Nếu bạn để ý thì tổng các số ở Hàng 0 là 1 hoặc 2^0. Tương tự, ở Hàng 1, tổng của các số là 1+1 = 2 = 2^1. Nếu bạn nhìn vào từng hàng cho đến hàng 15, bạn sẽ thấy rằng điều này là đúng. Thực tế, nếu tam giác Pascal được mở rộng ra ngoài Hàng 15, bạn sẽ thấy rằng tổng các số của bất kỳ hàng thứ n nào sẽ bằng 2^n
ma thuật 11
Mỗi hàng đại diện cho các số trong quyền hạn của 11 [mang chữ số nếu nó không phải là một số]. Ví dụ: các số ở hàng 4 là 1, 4, 6, 4 và 1 và 11^4 bằng 14,641. Nhìn vào hàng 5. Các số ở hàng 5 là 1, 5, 10, 10, 5 và 1. Vì 10 có hai chữ số nên bạn phải chuyển sang, nên bạn sẽ được 161,051 bằng 11^5
Mẫu gậy khúc côn cầu
Bắt đầu với bất kỳ số nào trong Tam giác Pascal và đi xuống đường chéo. Sau đó thay đổi hướng trong đường chéo cho số cuối cùng. Số cuối cùng đó là tổng của mọi số khác trong đường chéo
số tam giác
Nếu bạn bắt đầu với hàng 2 và bắt đầu với 1, đường chéo chứa các số tam giác
Số vuông
Xuống đường chéo, như hình bên phải, là các số vuông. Bạn có thể tìm chúng bằng cách cộng 2 số lại với nhau. Điều này có thể được thực hiện bằng cách bắt đầu với 0+1=1=1^2 [trong hình 1], sau đó 1+3=4=2^2 [hình 2], 3+6 = 9=3^2 [trong hình 1
*Lưu ý 2 số này được biểu diễn dưới dạng 2 số để dễ nhìn 2 số đang tính tổng
Dãy Fibonacci
Nếu bạn lấy tổng của đường chéo nông, bạn sẽ nhận được các số Fibonacci
Số Catalunya
Các số Catalan được tìm bằng cách lấy các đa giác và tìm xem có bao nhiêu cách chia chúng thành các hình tam giác. Những số này được tìm thấy trong tam giác Pascal bằng cách bắt đầu từ hàng thứ 3 của tam giác Pascal ở giữa và trừ đi số liền kề với nó
Binomial Expansion
Khi khai triển một phương trình nhị thức, các hệ số có thể tìm được trong tam giác Pascal. Ví dụ: nếu bạn đang mở rộng [x+y]^8, bạn sẽ nhìn vào hàng thứ 8 để biết rằng các chữ số này là hệ số của câu trả lời của bạn. Điều này đúng với [x+y]^n
fractal
Nếu bạn tô đen tất cả các số chẵn, bạn sẽ nhận được một fractal. Đây cũng là đệ quy của Tam giác Sierpinki
Một trong những Mẫu số thú vị nhất là Tam giác Pascal [được đặt tên theo Blaise Pascal, một nhà toán học và triết gia nổi tiếng người Pháp]
Để tạo hình tam giác, hãy bắt đầu với "1" ở trên cùng, sau đó tiếp tục đặt các số bên dưới hình tam giác đó theo mẫu hình tam giác
Mỗi số là các số ngay phía trên nó được cộng lại với nhau
[Ở đây tôi đã nhấn mạnh rằng 1+3 = 4]
Các mẫu trong tam giác
đường chéo
Tất nhiên, đường chéo đầu tiên chỉ là "1"
Đường chéo tiếp theo có các số đếm [1,2,3, v.v.]
Đường chéo thứ ba có các số tam giác
[Đường chéo thứ tư, không tô đậm, có các số tứ diện. ]
đối xứng
Tam giác cũng đối xứng. Các số ở bên trái có các số trùng khớp ở bên phải, giống như hình ảnh phản chiếu
Tổng ngang
Bạn nhận thấy gì về các khoản tiền ngang?
Có một mô hình?
Chúng nhân đôi mỗi lần [lũy thừa 2]
Số mũ của 11
Mỗi dòng cũng là lũy thừa [số mũ] của 11
- 110=1 [dòng đầu tiên chỉ là "1"]
- 111=11 [dòng thứ hai là "1" và "1"]
- 112=121 [dòng thứ ba là "1", "2", "1"]
- vân vân
Nhưng điều gì xảy ra với 115 ? . Các chữ số chỉ chồng lên nhau, như thế này.
Điều tương tự cũng xảy ra với 116 , v.v.
hình vuông
Đối với đường chéo thứ hai, bình phương của một số bằng tổng các số bên cạnh nó và bên dưới cả hai số đó
ví dụ
- 32 = 3 + 6 = 9,
- 42 = 6 + 10 = 16,
- 52 = 10 + 15 = 25,
- ...
Có một lý do tốt, quá. bạn có thể nghĩ về nó? . 42=6+10, 6=3+2+1, và 10=4+3+2+1]
Dãy Fibonacci
Thử cái này. tạo một mẫu bằng cách đi lên rồi đi dọc, sau đó cộng các giá trị [như hình minh họa]. bạn sẽ nhận được dãy Fibonacci
[Dãy Fibonacci bắt đầu từ "0, 1" và sau đó tiếp tục bằng cách cộng hai số trước đó, ví dụ 3+5=8, sau đó là 5+8=13, v.v.]
Tỷ lệ cược và Chẵn
Nếu chúng ta tô màu các số Lẻ và Chẵn, chúng ta sẽ có một mẫu giống như Tam giác Sierpinki
đường dẫn
Mỗi mục nhập cũng là số lượng đường dẫn khác nhau từ trên xuống
Ví dụ. chỉ có một con đường duy nhất từ trên xuống tới "1" bất kỳ
Và chúng ta có thể thấy có 2 đường dẫn khác nhau đến "2"
Đi lên cũng vậy, có 3 con đường khác nhau từ 3
Đến lượt của bạn, xem bạn có thể tìm thấy tất cả các đường dẫn xuống "6" không
Sử dụng Tam giác Pascal
Đầu và đuôi
Tam giác Pascal cho chúng ta thấy có bao nhiêu cách kết hợp giữa mặt ngửa và mặt sấp. Điều này sau đó có thể cho chúng ta thấy xác suất của bất kỳ sự kết hợp nào
Ví dụ: nếu bạn tung một đồng xu ba lần, thì chỉ có một tổ hợp sẽ cho ba mặt ngửa [HHH], nhưng có ba tổ hợp sẽ cho hai mặt ngửa và một mặt sấp [HHT, HTH, THH], cũng có ba kết hợp cho một . Đây là mẫu "1,3,3,1" trong Tam giác Pascal
Tung kết quả có thể [Nhóm]Pascal's Triangle1H
T1, 12HH
HTTH
TT1, 2, 13HHH
HHT, HTH, THH
HTT, THT, TTH
TTT1, 3, 3, 14HHHH
HHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH
HTTT, THTT, TTHT, TTTH
TTTT1, 4, 6, 4, 1. vân vân.
Ví dụ. Xác suất để có được đúng hai mặt ngửa với 4 lần tung đồng xu là bao nhiêu?
Có 1+4+6+4+1 = 16 [hoặc 24=16] kết quả có thể xảy ra và 6 trong số đó cho đúng hai mặt ngửa. Vậy xác suất là 6/16, hay 37. 5%
kết hợp
Hình tam giác cũng cho chúng ta thấy có thể có bao nhiêu Sự kết hợp của các đối tượng
Ví dụ. Bạn có 16 quả bóng bi a. Có bao nhiêu cách khác nhau mà bạn có thể chọn chỉ 3 trong số chúng [bỏ qua thứ tự bạn chọn chúng]?
Trả lời. đi xuống đầu hàng 16 [hàng trên cùng là 0], rồi dọc theo 3 vị trí [vị trí đầu tiên là 0] và giá trị ở đó là câu trả lời của bạn, 560
Đây là một đoạn trích ở hàng 16
1 14 91 364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ...
Công thức cho bất kỳ mục nào trong tam giác
Trên thực tế, có một công thức từ Kết hợp để tìm ra giá trị tại bất kỳ vị trí nào trong tam giác Pascal
Nó thường được gọi là "n chọn k" và được viết như thế này
n. k. [n−k]. = [nk]
ký hiệu. "n chọn k" cũng có thể được viết là C[n,k], nCk hoặc nCk
!
Cái " . " là "giai thừa" và có nghĩa là nhân một chuỗi các số tự nhiên giảm dần. ví dụ.
- 4. = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- 7. = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
- 1. = 1
Vậy Tam giác Pascal cũng có thể là
một tam giác "n chọn k" như thế này
[Lưu ý rằng hàng trên cùng là hàng không
và cột ngoài cùng bên trái là 0]
Ví dụ. Hàng 4, số 2 trong Tam giác Pascal là "6"
hãy xem nếu công thức hoạt động
[42] = 4. 2. [4−2]. = 4. 2. 2. = 4×3×2×12×1×2×1 = 6
Có nó hoạt động. Hãy thử một giá trị khác cho chính mình
Điều này có thể rất hữu ích. bây giờ chúng ta có thể tìm trực tiếp bất kỳ giá trị nào trong Tam giác Pascal [mà không cần tính toàn bộ tam giác phía trên nó]
đa thức
Tam giác Pascal cũng cho chúng ta thấy các hệ số trong khai triển nhị thức
Mở rộng PowerBinomialTam giác Pascal2[x + 1]2 = 1x2 + 2x + 11, 2, 13[x + 1]3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 11, 3, 3, 14[x + 1]4 = 1x4 + 4x3 + . vân vân.
15 dòng đầu tiên
Để tham khảo, tôi đã bao gồm hàng 0 đến 14 của Tam giác Pascal
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
Người Trung Quốc biết về nó
Bản vẽ này có tên là "Biểu đồ phương pháp cũ của bảy hình vuông nhân". Xem hình ảnh đầy đủ
Đó là từ mặt trước của cuốn sách "Ssu Yuan Yü Chien" [Tứ đại gương quý] của Chu Shi-Chieh, được viết vào năm 1303 sau Công nguyên [hơn 700 năm trước, và hơn 300 năm trước Pascal. ], và trong cuốn sách nói rằng hình tam giác đã được biết đến hơn hai thế kỷ trước đó
Quincunx
Một cỗ máy nhỏ tuyệt vời được tạo ra bởi Sir Francis Galton là Tam giác Pascal được làm từ các chốt. Nó được gọi là Quincunx
Các quả bóng được thả vào chốt đầu tiên và sau đó nảy xuống đáy của hình tam giác, nơi chúng được gom vào các thùng nhỏ
Lúc đầu, nó trông hoàn toàn ngẫu nhiên [và đúng như vậy], nhưng sau đó chúng tôi thấy các quả bóng xếp chồng lên nhau theo một kiểu đẹp mắt. phân phối bình thường