Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

§5. CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN A. Tóm tắt kiến thức Nêỉi đặt b - 2b' thì A = 4b'~ - 4ac - 4(b'2 - ac). Đặt A' - b’~ - ac, ta có thê nói vé nghiệm của phương trình bậc hai theo A' như sau : Đôi với phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, với b - 2b', đặt A' = /? - ơc ta có các kết luận sau : Nêỉt A' > 0 thì phương trình cố hai nghiệm phân biệt : -//+VẶ7 -ố'-VÃ7 A-y = —, x2 = — 1. a a Nếu A' = 0 thì phương trình có nghiệm kép -h' X1 - x2 - —— ■ a Nếu A' < 0 thì phương trình vô nghiệm. Lim ý. Đối với các phương trình bậc hai có hệ số b là một số chẩn hoặc có dạng 2B, với B là một biểu thức nào đó thì việc dùng A' để giải phương trình rất thuận lợi. B. Ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình : 5x2 + 8x - 2 = 0 ; b) 3x2 - óVI X + 2 = 0 ; 2x2 + 2 V2 X + 1 = 0 ; d) 4x2 - 2x + 3 = 0. Giải, a) Ta có b' = 4, Á’ = 42 - 5.(-2) = 26 > 0. 7Ã7 = 726 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: -4 + 726 -4 - 726 X] = —, x2 = ———2 . Ta có b'= 72 , A'= (72 )2 - 2.1 = 2 - 2 = 0. Phương trình có nghiệm kép : _-7i X>=X2= 2 • Ta có b' = -1, A’ = (-1)2 - 4.3 = 1 - 12 = -11 < 0. Phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2. Không vẽ đồ thị, hãy tìm giao điểm của các cặp đồ thị sau : y = 3x và y = 4x - 1 ; y = 2 72 X2 và y = 2 73 X - 1. ❖ Phăn tích. Vì giao điểm của hai đồ thị thuộc cả hai đồ thị nên khi hai đồ thị cắt nhau giá trị của hai hàm số bằng nhau. Giải. Vì giao điểm của hai đồ thị thuộc cả hai đồ thị nên khi hai đồ thị cắt nhau là khi 3x2 = 4x - 1 hay 3x2 - 4x + 1 = 0. Giải phương trình này ta tìm được X, tức là hoành độ của giao điểm. A’.= 22-3.1 = 1. TÃ7 = 1. Phương trình có hai nghiệm : b) Giải phương trình 272 X2 = 273 X - 1 hay 272 X2 - 273 X + 1 = 0. b'= 73, A' = (73 7-272.1 =3-272 =2-272.1 + 1 =(72- l)2. A' = 7(72-l)2 = 72- 1. _ 73 + 72-1 _ 76-72+2 _ 71-72 + 1 _ 76+72-2 272 ~ 4 ,X2_ 272 _ 4 Ví dụ 3. Tim giá trị của m để phương trình 3mx2 - 2(m + 2)x + m - 1 = 0. Có nghiệm kép. Có một nghiệm là X = 2. Khi đó phương trình có mấy nghiệm ? Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. > Giải. a) Trước hết m + 2. A’ = (m + 2)2 - 3m.(m - 1) = m2 + 4m + 4 - 3m2 + 3m = -2m2 + 7m + 4. Phương trình có nghiệm kép khi A’ = -2m~ + 7m + 4 = 0. Coi m là ẩn số ta giải phương trình -2m2 + 7m + 4 = 0. (*) Để tránh nhầm lẫn, ta kí hiệu biệt thức của phương trình (*) bởi Am. Ta có Am = 72 - 4.(-2).4 = 49 + 32 = 81. #7=9>0. Do đó có hai giá trị phân biệt của m : -7 + 9 1 -7-9 . m 1 - ——— = -—, m9 = ——— = 4. (-2) 2 2.(-2) Vậy phương trình có nghiệm kép khi m = -ý hoặc khi m = 4. b) Phương trình có một nghiệm là X = 2 khi : 3m.22 - 2(m + 2).2 + m - 1 = 0 hay 12m - 4m - 8 + m - 1 =0 hay 9m - 9 = 0. Vậy phương trình có nghiệm là X = 2 khi m = 1. Khi m = 1 thì phương trình đã cho trở thành : 3.1 .X2 - 2( 1 + 2)x +1-1=0 hay 3x2 - 6x = 0. (**) Giải phương trình (**) : 3x2 - 6x = 0 3x(x -2) = 0x = 0 hoặc x-2 = 0x = 0 hoặc x = 2. Vậy phương trình có hai nghiệm là X = 2 và X = 0. 17. Giải, a) a = 4, b' = 2, c = 1 .A' = 2Z - 4.1 = 0. 4 - 2 ,2 c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Phương trình có nghiệm kép : Xị = x2 = a = 13852, b' = -7, c = 1. Ta có : A' = (-7/ - 13852.1 = 49 - 13852 < 0. Phương trình vô nghiệm. a = 5, b' = -3, c = 1. Ta có : A' = (~3)2 - 5.1 = 9 - 5 = 4. VÃ7 = 2. _ -(-3) + 2 „ _ -(-3)-2 1 X, = -7 = 1 , x2 = = - ■ 1 5 2 5 5 a = -3, b' = 2 Vó , c = 4. Ta có : A’ = (2 Vó )2 - (-3).4 = 24+ 12= 36. VÃ7 = 6. Xp= -2^6 + 6 _ 2V6 -6 _ -2V6-6 _ 2V6+6 3 3 1-V7 -3 3 ’*2 -3 3 18. Đáp số: a) X, = « 1,82, x2 = 4—-AA ~ -0,82. 2 2 Xj = V2 « 1,41, x2 = « 0,47 . Vô nghiệm ; 5 + VĨ7 5 - V17 n .. X[ = —-2— « 4,56 , x2 = 4-— « 0,44. 19. Trả lời: Ta có ax + bx + c = a b - 4ac 2a 2aJ 4a Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì A 0. 4a Vì a > 0 nên ax + bx + c = a X + 4— l 2a \2 — > 0, với mọi giá trị của X. 4a2 Đáp số: a) X = ±y ; b) Vô nghiệm ; c) Xị = 0, x2 = -1,3 ; Giải. 4x2 - 2 V3 X = 1 - V3 4x2 - 2 V3 X + V3 -1=0. A' = (-Vã)2-4.(73 - 1) = (V3)2-4V3 + 4 = (a/3 )2-2.2. V3 + 22 = (2--s/3 )2. 7^ = 2-71. 73 + 2-73 1 73-2 + 73 73-1 X1 = — = T ’ x2 = ; = —7 • 4 2 4 .2 Đáp so : a) X] = 24, x2 =-12. -> b) Xj = 12, x2 = -19. Trả lời : Có hai nghiệm phân biệt vì a và c trái dấu. Có hai nghiệm phân biệt vì cùng một lí do trên. Trả lời : Khi t = 5 phút thì V = 60km/h. Khi V = 120km/h thì tj « 9,47 phút, t2 « 0,53 phút. Trả lời : a) A' = -2m + 1. b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m < -^. Phương trình có nghiệm kép khi m = . Phương trình vô nghiệm khi m > . D. Bài tập luyện thêm Giải phương trình : a) 2x2 - 4x + 1 = 3x - 2 ; b) 5x2 + 3x - 1 = 3 - 5x. Giải phương trình : V5x2+73X + 1 = 3-ự3x ; b)273x2 + ựỹx - 1 = T3x2-T7x + 3. Cho phương trình (m - 3)x2 + 2mx - (m - 1) - 0. Chứng tỏ rằng phương trình này luôn luôn có nghiệm. Khi nào thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Khi nào thì phương trình chỉ có một nghiệm ? Nếu có hãy tìm nghiệm duy nhất ấy. Phương trình có thể có nghiệm kép được không ? Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 2m. Tính kích thước của thửa đất này biết rằng diện tích của nó là 360m . Khi cầu thủ đá trái bóng, độ cao của trái bóng so với mặt đất được xác định bởi công thức : h- = —t + 6t + 1, trong đó độ cao h tính bằng m, t tính bàng giây. Tính độ cao của trái bóng khi t = 2 giây. ớ những thời điểm nào thì trái bóng ở độ cao 6m ? Hướng dẫn - Đáp sô Đáp số: x, =3,x2= ; b) X, = I, x2 =-2. Giải, a)7Ix2 + V3x + 1 = 3 - 73x ^TIx2 + 2ự3x -2 = 0. ■ A' = (73)2+ 275 = 3+ 275. -73 + a/3 + 275 -73 - ^3 + 275 75 75 273x2+ Tỹx - 1 = 73 X2-77 X + 3 73 X2 + 277 X - 4 = 0. A’= (77)2+ 473 = 7 + 2.2.73 = 4 + 2.2.73 + 3 = (2+73)2. -77 + 2 + 73 3 + 273-721.. -7? - 2 - Ti _ -3 - 273 - 721 *'■ 7 = 3 '*2 = 7 = 3 ■ Phản tích. Muốn dùng biệt thức A để lập luận về nghiệm của phương trình thì phương trình đó phải là phương trình bậc hai. Khi đó a = m - 3 0. Vì đầu bài không cho biết giá trị của m nên cần xét các trường hợp : m - 3 = 0 và m - 3 0. Giải. a) • Nếu m = 3 thì phương trình đã cho trở thành phương trình bậc nhất 6x - 2 = 0. Phương trình có nghiệm là X = ^. • Nếu m * 3 thì phương trình đã cho là một phương trình bậc hai. A' = m2 + (m - 3)(m - 1) = m2 + m2 - 4m + 3 = 2m2 - 4m + 3 = 2m2 - 4m + 2+1 = 2(m2 - 2m + 1) + 1 = 2(m - 1)2 + 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. Vậy dù m = 3 hay m * 3, phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm. Qua phần lập luận trên đây, ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m # 3. Phương trình có một nghiệm khi m = 3 vằ nghiệm đó là X = -^ . Phương trình không thể có nghiệm kép vì khi nó là phương trình bậc hai, tức là khi m * 3 thì Á' > 0. Giải. Gọi chiều rộng của thửa đất là X (m), X > 0, thì chiều dài của thửa đất là : X + 2 (m). Diện tích của thửa đất là : x(x + 2) = X2 + 2x (m2). Theo đầu bài: X2 + 2x = 360 hay X2 + 2x - 360 = 0. Giải phương trình : A’= 1 + 360 = 361. VÃ7 = 19. -1 + 19 X, = —j-— = 18,x2 = -1 - 19 = -20. Vì X > 0 nên chỉ có giá trị X] = 18, thoả mãn điều kiện của ẩn. Vậy chiều rộng của thửa đất là : 18m ; Chiều dài của thửa đất là : 18 + 2 = 20(m). Trả lời: a) 9m ; b) Khi t = lgiây hoặc khi t = 5 giây.

Sách giải toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 5 trang 48: Từ bảng kết luận của bài trước hãy dùng các đẳng thức b = 2b’, Δ = 4Δ’ để suy ra những kết luận sau:

Lời giải

Với b = 2b’, Δ = 4Δ’ ta có:

a) Nếu Δ’ > 0 thì Δ > 0 phương trình có hai nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

b) Nếu Δ’ = 0 thì Δ = 0 phương trình có nghiệm kép

x = (-b)/2a = (-2b’)/2a = (-b’)/a

c) Nếu Δ’ < 0 thì Δ < 0 do đó phương trình vô nghiệm.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 5 trang 48: Giải phương trình 5x2 + 4x – 1 = 0 bằng cách điền vào những chỗ trống:

a = …;        b’ = …;        c = …;

Δ’ = …;        √(Δ’) = ….

Nghiệm của phương trình:

x1 = …;        x2 = ….

Lời giải

a = 5;        b’ = 2;        c = -1;

Δ’ = 9;        √(Δ’) = 3

Nghiệm của phương trình:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 5 trang 49: Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) 3x2 + 8x + 4 = 0;

b) 7x2 – 6√2x + 2 = 0.

Lời giải

a) 3x2 + 8x + 4 = 0;

a = 3; b’ = 4; c = 4

Δ’= (b’)2 – ac = 42 – 3.4 = 4 ⇒ √(Δ’) = 2

Phương trình có 2 nghiệm:

x1 = (-4 + 2)/3 = (-2)/3; x2 = (-4 – 2)/3 = -2

b) 7x2 – 6√2x + 2 = 0

a = 7; b’ = -3√2; c = 2

Δ’ =(b’)2 – ac = (-3√2)2 – 7.2 = 4 ⇒ √(Δ’) = 2

Phương trình có 2 nghiệm:

x1 = (3√2 + 2)/7; x2 = (3√2 – 2)/7

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

a) 4x2 + 4x + 1 = 0 ;

b) 13852x2 – 14x + 1 = 0;

c) 5x2 – 6x + 1 = 0;

d) -3x2 + 4√6.x + 4 = 0.

Lời giải

a) Phương trình bậc hai 4x2 + 4x + 1 = 0

Có a = 4; b’ = 2; c = 1; Δ’ = (b’)2 – ac = 22 – 4.1 = 0

Phương trình có nghiệm kép là:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

b) Phương trình 13852x2 – 14x + 1 = 0

Có a = 13852; b’ = -7; c = 1; Δ’ = (b’)2 – ac = (-7)2 – 13582.1 = -13533 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình bậc hai 5x2 – 6x + 1 = 0

Có: a = 5; b’ = -3; c = 1.; Δ’ = (b’)2 – ac = (-3)2 – 5 = 4 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

d) Phương trình bậc hai:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

a) 3x2 – 2x = x2 + 3;

b) (2x – √2)2 – 1 = (x + 1)(x – 1);

c) 3x2 + 3 = 2(x + 1);

d) 0,5x(x + 1) = (x – 1)2.

Lời giải

a) 3x2 – 2x = x2 + 3

⇔ 3x2 – 2x – x2 – 3 = 0

⇔ 2x2 – 2x – 3 = 0 (*)

Có a = 2; b’ = -1; c = -3; Δ’ = b’2 – ac = (-1)2 – 2.(-3) = 7 > 0

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

b) (2x – √2)2 – 1 = (x + 1)(x – 1);

⇔ 4x2 – 2.2x.√2 + 2 – 1 = x2 – 1

⇔ 4x2 – 2.2√2.x + 2 – 1 – x2 + 1 = 0

⇔ 3x2 – 2.2√2.x + 2 = 0

Có: a = 3; b’ = -2√2; c = 2; Δ’ = b’2 – ac = (-2√2)2 – 3.2 = 2 > 0

Vì Δ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

c) 3x2 + 3 = 2(x + 1)

⇔ 3x2 + 3 = 2x + 2

⇔ 3x2 + 3 – 2x – 2 = 0

⇔ 3x2 – 2x + 1 = 0

Phương trình có a = 3; b’ = -1; c = 1; Δ’ = b’2 – ac = (-1)2 – 3.1 = -2 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) 0,5x(x + 1) = (x – 1)2

⇔ 0,5x2 + 0,5x = x2 – 2x + 1

⇔ x2 – 2x + 1 – 0,5x2 – 0,5x = 0

⇔ 0,5x2 – 2,5x + 1 = 0

⇔ x2 – 5x + 2 = 0

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Lời giải

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Ta có: a > 0 (gt),

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9
với mọi x, a, b ⇒
Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Phương trình ax2 + bx + c vô nghiệm nên

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Vậy ax2 + bx + c =

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9
với mọi x.

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Luyện tập (trang 49-50 sgk Toán 9 Tập 2)

a) 25x2 – 16 = 0;

b) 2x2 + 3 = 0;

c) 4,2x2 + 5,46x = 0;

d) 4x2 – 2√3.x = 1 – √3.

Lời giải

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Phương trình vô nghiệm vì x2 ≥ 0 với mọi x.

c) 4,2x2 + 5,46x = 0

⇔ x.(4,2x + 5,46) = 0

⇔ x = 0 hoặc 4,2x + 5,46 = 0

+ 4,2x + 5,46 = 0 ⇔

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0 và

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

d) 4x2 – 2√3 x = 1 – √3.

⇔ 4x2 – 2√3 x – 1 + √3 = 0

Có a = 4; b’ = -√3; c = -1 + √3;

Δ’ = b’2 – ac = (-√3)2 – 4(-1 + √3) = 7 – 4√3 = 4 – 2.2.√3 + (√3)2 = (2 – √3)2.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Luyện tập (trang 49-50 sgk Toán 9 Tập 2)

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Lời giải

a) x2 = 12x + 288

⇔ x2 – 12x – 288 = 0

Có a = 1; b’ = -6; c = -288; Δ’ = b’2 – ac = (-6)2 – 1.(-288) = 324 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 24 và x2 = -12.

b)

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

⇔ x2 + 7x = 228

⇔ x2 + 7x – 228 = 0

Có a = 1; b = 7; c = -228; Δ = b2 – 4ac = 72 – 4.1.(-228) = 961 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 12 và x2 = -19.

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Luyện tập (trang 49-50 sgk Toán 9 Tập 2)

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Lời giải

a) Phương trình 15x2 + 4x – 2005 = 0 có a = 15; c = -2005 trái dấu

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9
Công thức nghiệm thu gọn Toán 9
; c = 1890 trái dấu

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Luyện tập (trang 49-50 sgk Toán 9 Tập 2)

v = 3t2 -30t + 135

(t tính bằng phút, v tính bằng km/h)

a) Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút.

b) Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải

a) Tại t = 5, ta có: v = 3.52 – 30.5 + 135 = 60 (km/h)

b) Khi v = 120 km/h

⇔ 3t2 – 30t + 135 = 120

⇔ 3t2 – 30t + 15 = 0

Có a = 3; b’ = -15; c = 15; Δ’ = b’2 – ac = (-15)2 – 3.15 = 180

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Vì rada quan sát chuyển động của ô tô trong 10 phút nên t1 và t2 đều thỏa mãn.

Vậy tại t = 9,47 phút hoặc t = 0,53 phút thì vận tốc ô tô bằng 120km/h.

Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Luyện tập (trang 49-50 sgk Toán 9 Tập 2)

a) Tính Δ’.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.

Lời giải

a) Phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 (1)

Có a = 1; b’ = -(m – 1); c = m2

⇒ Δ’ = b’2 – ac = (1 – m)2 – 1.m2 = 1 – 2m + m2 – m2 = 1 – 2m.

b) Phương trình (1):

+ Vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – 2m < 0 ⇔ 2m > 1 ⇔ m >

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

+ Có nghiệm kép ⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – 2m = 0 ⇔ m =

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

+ Có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ 2m < 1 ⇔ m <

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9

Vậy: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m <

Công thức nghiệm thu gọn Toán 9
; có nghiệm kép khi m =
Công thức nghiệm thu gọn Toán 9
và vô nghiệm khi m >
Công thức nghiệm thu gọn Toán 9