Công thức tam giác Pascals cho hàng thứ n

[OEIS A007318]. Công thức của Pascal cho thấy rằng mỗi hàng tiếp theo có được bằng cách cộng hai mục theo đường chéo ở trên,

[3]

Biểu đồ trên cho thấy các biểu diễn nhị phân cho các số hạng 255 [hình trên] và 511 [hình dưới] đầu tiên của tam giác Pascal phẳng

Số đầu tiên sau số 1 trong mỗi hàng chia hết tất cả các số khác trong hàng đó nếu nó là số nguyên tố

Tổng

của số mục lẻ trong hàng đầu tiên của tam giác Pascal cho , 1 . là 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49,. [OEIS A006046]. Thì đúng là

[4]

[Harborth 1976, Le Lionnais 1983], với đẳng thức của

lũy thừa 2 và lũy thừa của hằng số

[5]

[OEIS A020857]. Chuỗi tổng số lần nhập lẻ có một số thuộc tính đáng kinh ngạc và giá trị tối thiểu có thể

[OEIS A077464] được gọi là hằng số Stolarsky-Harborth.

Tam giác Pascal chứa các số tượng trưng dọc theo các đường chéo của nó, như có thể thấy từ biểu thức

[6]

[7]

Ngoài ra, tổng các phần tử của

hàng thứ là

[số 8]

do đó tổng của

hàng đầu tiên [i. e. , các hàng từ 0 đến ] là số Mersenne

[9]

"Các đường chéo nông" của tam giác Pascal tổng bằng các số Fibonacci, i. e. ,

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

và, nói chung,

[16]

Số lần mà các số 2, 3, 4,. xảy ra trong tam giác Pascal được cho bởi 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4,. [OEIS A003016; Ogilvy 1972, trang. 96; . 93; . Tương tự, các số hàng trong đó các số 2, 3, 4,. xảy ra là 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2,. [OEIS A059233]

Đến hàng 210, các số

[17]

[18]

[19]

đã xuất hiện sáu lần, nhiều hơn bất kỳ số nào khác [không bao gồm 1]. Đến hàng 1540,

[20]

hiện đã xảy ra sáu lần, theo hàng 3003,

[21]

hiện đã xuất hiện 8 lần và đến hàng 7140, 7140 cũng đã xuất hiện 6 lần. Trên thực tế, các số xuất hiện năm lần trở lên trong tam giác Pascal là 1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310,. [OEIS A003015], không có mã nào khác cho đến

.

Biết rằng có vô số số xuất hiện ít nhất 6 lần trong tam giác Pascal, đó là nghiệm của

[22]

được cho bởi

[23]

[24]

trong đó

là số Fibonacci thứ [Singmaster 1975]. Một số giá trị đầu tiên như vậy của cho , 2,. là 1, 3003, 61218182743304701891431482520,. [OEIS A090162].

Có một mối liên hệ bất ngờ giữa tam giác Pascal và các số Delannoy thông qua phân rã Cholesky [G. Mũ bảo hiểm, cá nhân. liên lạc. , tháng 8. 29, 2005]. Hơn nữa, mặc dù cả hai không liên quan đến nhau về mặt toán học, nhưng cũng có một mối liên hệ mang tính thời sự giữa tam giác Pascal và cái gọi là tam giác bất hảo;

Tam giác Pascal [mod 2] hóa ra tương đương với sàng Sierpiński [Wolfram 1984; Crandall và Pomerance 2001; Borwein và Bailey 2003, trang. 46-47]. Guy [1990] đưa ra một số tính chất bất ngờ khác của tam giác Pascal

Hàng thứ 6 của tam giác Pascal là gì?

Quy tắc tính tổng của hàng thứ n trong tam giác Pascal là gì?

Hàng thứ 4 trong tam giác Pascal là gì?

Hàng thứ 7 của tam giác Pascal là gì?