Đề bài
Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O [gốc tọa độ], A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức \[z'\ne 0\] và B' biểu diễn số phức zz'.
Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai tam giác đồng dạng nếu có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Lời giải chi tiết
Do z không phải là số thực nên các điểm O, A, B theo thứ tự biểu diễn các số 0, 1, z là các đỉnh của một tam giác.
Với \[z'\ne 0\], xét các điểm A', B' theo thứ tự biểu diễn các số z', zz' thì ta có:
\[{{OA'} \over {OA}} = {{|z'|} \over 1} = |z'|;\] \[{{OB'} \over {OB}} = {{|zz'|} \over {|z|}} = |z'|,\] \[{{A'B'} \over {AB}} = {{|zz' - z'|} \over {|z - 1|}} = |z'|\]
\[\dfrac{{OA'}}{{OA}} = \dfrac{{OB'}}{{OB}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \left| {z'} \right| \ne 0\]
Vậy tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác OAB [tỉ số đồng dạng bằng |z'|].
Cách khác:
Gọi z=a+bi [ab 0] z'=a'+b' i[a' b' 0]
Suy ra zz = [aa bb] [ab +ba]i
Ta có:
Do đó:
\[\dfrac{{OA'}}{{OA}} = \dfrac{{OB'}}{{OB}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \left| {z'} \right| \ne 0\]
Vậy tam giác OAB đồng dạng với tam giác OAB.