Đề bài
Câu 1.Giải bất phương trình \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} \le \dfrac{3}{{x + 3}}\] .
Câu 2. Xác định các giá trị của tham số \[m\] để bất phương trình sau vô nghiệm \[\left[ {m + 2} \right]{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x + 4 < 0\]
Lời giải chi tiết
Câu 1.Ta có:
\[\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} \le \dfrac{3}{{x + 3}}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} - \dfrac{3}{{x + 3}} \le 0\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {x + 3} \right]\left[ {x + 4} \right] + 2x\left[ {x + 3} \right] - 3x\left[ {x + 4} \right]}}{{x\left[ {x + 3} \right]\left[ {x + 4} \right]}} \le 0\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 12}}{{x\left[ {x + 3} \right]\left[ {x + 4} \right]}} \le 0\]
Bảng xét dấu
Bất phương trình có nghiệm \[x \in \left[ { - 12; - 4} \right] \cup \left[ { - 3;0} \right]\].
Câu 2. Bất phương trình [1] vô nghiệm tức là:
\[\left[ {m + 2} \right]{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x + 4 \ge 0\] [2] với mọi \[x \in \mathbb{R}.\]
+] Nếu \[m = -2\] thì bất phương trình [2] trở thành \[6x + 4 \ge 0\], không đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\].
+] Nếu \[m \ne - 2\] thì bất phương trình [2] đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\] khi và chỉ khi
\[\begin{array}{l}\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{\left[ {m - 1} \right]^2} - 4\left[ {m + 2} \right] \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{m^2} - 6m - 7 \le 0\end{array} \right.\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\-1\le m\le 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow -1\le m\le 7\end{array}\]
Vậy \[m \in [-1;7]\].