Điều kiện để 2 phương trình tương đương
|
Phương pháp áp dụng
Cho hai phương trình f(x, m) = 0 (1) và g(x, m) = 0 (2)
1. Xác định tham số để phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) (nói cách khác “Để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)”), ta thực hiện theo các bước sau: Thí dụ 1. Cho hai phương trình: $\sqrt {x + 1} - 2 = 0$, (1) và x$^2$ - 2mx - m$^2$ - 2 = 0. (2) Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).Biến đổi (1) về dạng: $\sqrt {x + 1} = 2$ <=> x + 1 = 4 <=> x = 3. Do đó, để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) điều kiện là x = 3 cũng là nghiệm của (2), tức là: 9 - 6m - m$^2$ - 2 = 0 <=> m$^2$ + 6m - 7 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 7\end{array} \right..$ Vậy, với m = 1 hoặc m = -7 thoả mãn điều kiện đầu bài. * Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của thí dụ trên ta đã không sử dụng mẫu phương pháp điều kiện cần và đủ bởi các lý do sau:
Thí dụ 2. Cho hai phương trình: x$^2$ - (m + 2)x + m + 1 = 0, (1) x$^3$ - 2x$^2$ - mx - m$^2$ + 3 = 0. (2) Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).Điều kiện cần: Nhận xét rằng với mọi m phương trình (1) luôn có nghiệm x = 1. Do đó, để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) trước hết cần x = 1 cũng là nghiệm của (2), tức là: 1 - 2 - m - m$^2$ + 3 = 0 <=> m$^2$ + m - 2 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right..$. Đó chính là điều kiện cần của m. Điều kiện đủ: Ta lần lượt:Với m = 1, ta được: (1) <=> x$^2$ - 3x + 2 = 0 <=> x = 1 hoặc x = 2. (2) <=> x$^3$ - 2x$^2$ - x + 2 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - x - 2) = 0 <=> x = ±1 hoặc x = 2. suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2), tức m = 1 thoả mãn.Với m = -2, ta được: (1) <=> x$^2$ - 1 = 0 <=> x = ±1. (2) <=> x$^3$ - 2x$^2$ + 2x - 1 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - x + 1) = 0 <=> x = 1. suy ra x = -1 không là nghiệm của (2), tức m = -2 không thoả mãn.Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
TOÁN LỚP 9 Giải bài và ôn tập Đại Số 9 LỚP 9 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Nguồn website giaibai5s.com Ví dụ 3: Cho hệ hai phương trình : |
