Khỏe Đẹp Son

Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng trong oxyz

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa

Cho mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$. Nếu vectơ $\overrightarrow n \ne 0$ và có giá vuông góc với mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ thì $\overrightarrow n $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\alpha $

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa

Phương trình có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

* Nhận xét:

a] Nếu mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ có phương trình tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]$.

b] Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${M_o}\left[ {{x_o};{y_o};{z_o}} \right]$ nhận vectơ $\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]$ làm vectơ pháp tuyến là $A\left[ {x - {x_o}} \right] + B\left[ {y - {y_o}} \right] + C\left[ {z - {z_o}} \right] = 0$.

2. Các trường hợp riêng

Vị trí đặc biệt của mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ so với trục tọa độ:

Phương trình $\left[ \alpha \right]$Đặc điểm của $\left[ \alpha \right]$

By + Cz + D = 0	$\left[ \alpha \right]$ song song hoặc chứa Ox
Ax+ Cz + D = 0	$\left[ \alpha \right]$ song song hoặc chứa Oy
Ax + By + D = 0	$\left[ \alpha \right]$ song song hoặc chứa Oz
Cz + D = 0	$\left[ \alpha \right]$ song song hoặc trùng với [Oxy]
By + D = 0	$\left[ \alpha \right]$ song song hoặc trùng với [Oxz]
Ax + D = 0	$\left[ \alpha \right]$ song song hoặc trùng với [Oyz]

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

$\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right]//\left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} \ne k{D_2}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {{A_1};{B_1};{C_1}} \right] = k\left[ {{A_2};{B_2};{C_2}} \right]}\\{{D_1} \ne k{D_2}}\end{array}} \right.\end{array}\\\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right] \equiv \left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} = k{D_2}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {{A_1};{B_1};{C_1}} \right] = k\left[ {{A_2};{B_2};{C_2}} \right]}\\{{D_1} = k{D_2}}\end{array}} \right.\end{array}

\end{array}$

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

$\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right] \bot \left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\\ \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0

\end{array}$

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm ${M_o}\left[ {{x_o};{y_o};{z_o}} \right]$. Khoảng cách từ điểm ${M_o}$ đến mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$, kí hiệu là $d\left[ {{M_o},\left[ \alpha \right]} \right]$, được tính theo công thức:

$d\left[ {{M_o},\left[ \alpha \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Page 2

SureLRN

Thành thạo cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng sẽ giúp các em học sinh có thể chứng minh được hai mặt phẳng song song với nhau.