Định lý pascal dùng để làm gì?

Tam giác Pascal là một trong những mẫu số thú vị trong toán học. Đây là một mảng tam giác được xây dựng bằng cách tính tổng các phần tử liền kề trong các hàng trước đó

Mục lục

Lịch sử

Tam giác Pascal được đặt tên theo nhà toán học người Pháp ở thế kỷ 17, Blaise Pascal (1623 – 1662), mặc dù các nhà toán học khác đã nghiên cứu nó trước ông nhiều thế kỷ ở Ấn Độ, Ba Tư, Trung Quốc, Đức và Ý. Pascal đã đổi mới nhiều cách sử dụng các số của tam giác trước đây chưa được kiểm chứng, những cách sử dụng mà ông đã mô tả một cách toàn diện trong chuyên luận toán học sớm nhất được biết đến dành riêng cho tam giác, Traité du tam giác arithmétique (1654; xuất bản 1665) của ông.

Xây dựng Tam giác Pascal

Để tạo hình tam giác, hãy bắt đầu với “1” ở trên cùng, Trên hàng tiếp theo, viết hai số 1, tạo thành một hình tam giác. Trên mỗi hàng tiếp theo bắt đầu và kết thúc bằng 1 và tính mỗi số hạng bên trong bằng cách cộng hai số ở trên nó

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?

Bằng cách lặp lại quá trình này, cuối cùng chúng ta sẽ có được một tam giác Pascal. Đây là một tam giác không bao giờ kết thúc.     

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?

Tính chất của Tam giác Pascal

  1. Mỗi số là tổng của hai số trên nó
  2. Tam giác là đối xứng
  3. Các đường chéo dọc theo cạnh trái và phải chỉ chứa 1. Các đường chéo cạnh các đường chéo cạnh chứa các số tự nhiên theo thứ tự. Đường chéo tiếp theo là các số tam giác. Tương tự, các đường chéo tiếp theo là số tứ diện hoặc số hình chóp tam giác

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?
Đạo hàm của các số đơn công từ tam giác Pascal được căn trái. ()

  1. Tính tổng các đường chéo của Tam giác Pascal căn trái tạo thành một dãy Fibonacci

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?
Dãy Fibonacci trong tam giác Pascal. ()

  1. Tổng của các hàng cho lũy thừa của 2

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?
Tam giác Pascal biểu thị tổng các cột theo lũy thừa của 2 (Nguồn)

  1. Mỗi hàng cho các chữ số lũy thừa của 11

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?
Tam giác Pascal đại diện cho một mẫu trong 11 (Nguồn)

  1. Bắt đầu với bất kỳ số nào trong tam giác và đi xuống đường chéo. Sau đó thay đổi hướng trong đường chéo cho số cuối cùng. Số cuối cùng đó là tổng của mọi số khác trong đường chéo, đây được gọi là Mẫu gậy khúc côn cầu

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?
Tam giác Pascal đại diện cho mẫu gậy khúc côn cầu (Nguồn)

  1. Các số Catalan được tìm bằng cách lấy các đa giác và tìm xem có bao nhiêu cách chia chúng thành các hình tam giác. Những số này được tìm thấy trong tam giác Pascal bằng cách bắt đầu từ hàng thứ 3 ở giữa và trừ đi số liền kề với nó. .

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?
Tam giác Pascal đại diện cho mẫu số catalan (Nguồn)

  1. Nếu bạn tô đen tất cả các số chẵn, bạn sẽ nhận được một fractal. Đây cũng là đệ quy của Tam giác Sierpinki

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?
Tam giác Pascal đại diện cho tam giác sierpinki (Nguồn)

Ứng dụng của Tam giác Pascal

Bây giờ hãy xem ứng dụng của tam giác Pascal

Khai triển nhị thức

Tam giác Pascals xác định các hệ số phát sinh trong khai triển nhị thức.  

Giả sử bạn có nhị thức (x + y) và bạn muốn nâng nó lên lũy thừa chẳng hạn như 2 hoặc 3

Ví dụ
Hãy khai triển (x+y)³. Vì chúng ta đang nâng (x+y) lên lũy thừa bậc 3, hãy sử dụng các giá trị ở hàng thứ tư của Pascal làm hệ số khai triển của bạn. Sau đó điền vào các điều khoản x và y như được nêu dưới đây

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?

xác suất

Tam giác Pascals có thể chỉ cho chúng ta cách kết hợp giữa mặt ngửa và mặt sấp. Điều này mang lại xác suất của bất kỳ sự kết hợp nào

Ví dụ
Nếu H là mặt ngửa và T là mặt sấp thì nếu một đồng xu được tung 4 lần, khả năng xuất hiện của các kết hợp là

  1. HHHH
  2. HHHT, HHTH, HTHH, THHH
  3. THTH, HTHT, HTHT, HTHT HTHT, THTH
  4. HTTT, THTT, TTHT, TTTH
  5. TTTT

Như vậy mẫu quan sát được là 1,4,6,4,1. (Một hàng trong tam giác Pascal)

kết hợp

Một ứng dụng hữu ích của tam giác Pascals là tính toán các tổ hợp

Chúng ta biết rằng Nếu số lượng kết hợp của n thứ được lấy k tại một thời điểm (được gọi là n chọn k) có thể được tìm thấy theo phương trình \(C(n, k) = C^{n}_{k} = {n \ . {k. (n – k). }\)

Nhưng đây cũng là công thức cho một ô trong tam giác Pascal. Vì vậy, chúng ta chỉ có thể tra cứu mục nhập cụ thể đó và trong tam giác và tìm ra nó

Ghi chú. Để thực hiện việc này, việc đánh số hàng đầu tiên và mục đầu tiên trong hàng phải bắt đầu từ 0

Ví dụ. (Để tìm giá trị kết hợp)
Giả sử một đội bóng rổ có 11 cầu thủ và muốn biết có bao nhiêu cách chọn 8
Câu trả lời là mục 8 ở hàng 11, là 165;

(Điều này chỉ xảy ra khi đánh số bắt đầu từ 0, ngược lại nếu bắt đầu từ 1 thì chúng ta sẽ phải xem mục thứ 9 trong cột 12)

Ví dụ về Tam giác Pascal

Câu hỏi 1. Mở rộng \((a – 3b)^{4}\).

Giải pháp

Định lý pascal dùng để làm gì?
Định lý pascal dùng để làm gì?

Sử dụng tam giác, các hệ số cho sự mở rộng này là 1, 4, 6, 4 và 1. Các dấu hiệu cho mỗi thuật ngữ sẽ thay thế, vì dấu hiệu tiêu cực

\(
(a – 3b)^{4}\\
= 1a^4 – 4a^3(3b) + 6a^2(3b)^2 – 4a(3b)^3 + 1(3b)^4\\
= a^4 – 12a^3b + 6a^2(9b^2) – 4a(27b^3) + 81b^4\\
=> > a^4 – 12a^3b + 54a^2b^2 – 108ab^3 + 81b^4
\)

Câu hỏi 2. Trong Tam giác Pascals, mỗi mục là tổng của hai mục phía trên nó. Trong hàng nào của tam giác có ba mục liên tiếp xảy ra theo tỷ lệ 3. 4. 5?

Giải pháp. Gọi hàng là x, và số từ phía ngoài cùng bên trái là t.

Gọi số hạng đầu tiên trong tỉ số \(N\) là \(N = {x \choose t}\)

Số hạng tiếp theo là \(N * \frac{x – t}{t + 1}\),

và số hạng cuối cùng là \(N * \frac{(x – t) * (x – t – 1)}{(t + 1) * (t + 2)}\)

Bởi vì chúng ta có tỷ lệ,
\(N. N * \frac{x – t}{t + 1}. N * \frac{(x – t) * (x – t – 1)}{(t + 1) * (t + 2)} = 3. 4. 5\)

Vì vậy, \(\frac{x – t}{t + 1} = \frac{4}{3}\) và \(\frac{(x – t) * (x – t – 1)}{(t

Giải phương trình ta được t = 26 và x = 69

câu hỏi thường gặp

Quy tắc cho tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal là tam giác đều vô tận các số tuân theo quy tắc cộng hai số trên được số dưới. Hai trong số các cạnh là “tất cả bằng 1” và vì tam giác là vô hạn nên không có “cạnh đáy. ”

Mục đích của tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal có nhiều ứng dụng trong toán học và thống kê, bao gồm khả năng giúp bạn tính toán các kết hợp

Tại sao gọi là tam giác Pascal?

Tam giác Pascal được đặt tên theo Blaise Pascal, một nhà toán học người Pháp đã sử dụng tam giác này như một phần trong nghiên cứu của ông về lý thuyết xác suất vào thế kỷ 17. Dù Blaise Pascal không thực sự “phát hiện” ra tam giác mang tên ông, nó thực sự đã được nghiên cứu trên toàn thế giới hàng nghìn năm nay

Danh tính của Pascal được sử dụng để làm gì?

Đẳng thức Pascal là một định lý hữu ích của tổ hợp xử lý các kết hợp (còn được gọi là hệ số nhị thức). Nó thường có thể được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp liên quan đến các hệ số nhị thức . Danh tính của Pascal còn được gọi là Quy tắc của Pascal, Công thức của Pascal và đôi khi là Định lý của Pascal.

Tam giác Pascal được sử dụng như thế nào trong xác suất?

Tam giác Pascal là một tam giác số học và thường được sử dụng trong xác suất. Số hàng cần quan sát tùy thuộc vào tổng số đối tượng có . Con số dọc theo hàng biểu thị số lượng kết hợp khác nhau mà bạn có thể nhận được, tùy thuộc vào số lượng đối tượng bạn chọn trong tổng số.