Đồ thị (C của hàm số y a 1 x 2 x b 1 nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng thì tổng A B là)

Phương pháp thực hiện
1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$ hàm số có dạng: Y + b = f(X + a) <=> Y = F(X) (1)

Bước 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số lẻ.

Bước 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.

2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thực hiện phép biến đổi toạ độ

$\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$ hàm số có dạng: Y + b = f(X + a) <=> Y = F(X) (1)

Bước 2: Đồ thị hàm số nhận I(a, b) làm tâm đối xứng <=> hàm số (1) là hàm số lẻ <=> tham số .

Bước 3: Kết luận.

3. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = f(x) đối xứng qua điểm I(a, b), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lấy hai điểm A(xA, y(xA)) và B(xB, y(xB)) thuộc đồ thị hàm số.

Bước 2: Hai điểm A và B đối xứng qua điểm I(a, b) <=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2a\\{y_A} + {y_B} = 2b\end{array} \right.$ => toạ độ A và B.

4. Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua điểm I(x0, y0), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(x0, y0).

Bước 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)∈(H) <=> ∃M1(x1, y1)∈(C) sao cho M đối xứng với M1 qua I <=> ∃ x1, y1 thoả mãn: $\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = f({x_1})\\{x_1} + x = 2{x_0}\\{y_1} + y = 2{y_0}\end{array} \right.$ (I)

Bước 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H).

Thí dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số sau: a. y = 2x$^3$ - 6x + 3. b. y = $\frac{x}{{2x + 1}}$.a. Giả sử hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng. Với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$ khi đó hàm số có dạng: Y + b = 2(X + a)$^3$ - 6(X + a) + 3 <=> Y = 2X$^3$ + 6aX$^2$ + (6a - 6)X + 2a$^3$ - 6a + 3 - b (1) Hàm số (1) là lẻ <=> $\left\{ \begin{array}{l}6a = 0\\2{a^3} - 6a - b + 3 = 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\end{array} \right.$. Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(0; 3).

b. Viết lại hàm số dưới dạng:

y = $\frac{1}{2} - \frac{1}{{2(2x + 1)}}$. Giả sử hàm số nhận điểm I(a; b) làm tâm đối xứng. Với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - a\\Y = y - b\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x = X + a\\y = Y + b\end{array} \right.$ khi đó hàm số có dạng: Y + b = $\frac{1}{2} - \frac{1}{{[2(X + a) + 1]}}$ <=> Y = $\frac{1}{2} - b - \frac{1}{{2X + 2a + 1}}$. (1) Hàm số (1) là lẻ <=> $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} - b = 0\\2a + 1 = 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$. Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(-$\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$).

Chú ý: Đồ thị hàm số:

• y = f(x) = ax$^3$ + bx$^2$ + cx + d, với a ≠ 0 luôn nhận điểm U(-$\frac{b}{{3a}}$, f(-$\frac{b}{{3a}}$)) làm tâm đối xứng.
• y = f(x) = $\frac{{ax + b}}{{cx + d}}$, với c ≠ 0, D = ad - bc ≠ 0 luôn nhận điểm I(-$\frac{d}{c}$, $\frac{a}{c}$) làm tâm đối xứng.
• y = f(x) = $\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}$, với a, d ≠ 0 luôn nhận điểm I(-$\frac{e}{d}$, f(-$\frac{e}{d}$)) làm tâm đối xứng.

Thí dụ 2. Cho hàm số: y = $\frac{{(2m - 1)x - m + 2}}{{mx - 1}}$. Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng.
Điểm I(1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ: $\left\{ \begin{array}{l}X = x - 1\\Y = y - 1\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = X + 1\\y = Y + 1\end{array} \right.$ hàm số sau là hàm lẻ Y + 1 = $\frac{{(2m - 1)(X + 1) - m + 2}}{{m(X + 1) - 1}}$ <=> Y = $\frac{{(2m - 1)(X + 1) - m + 2}}{{mX + m - 1}}$ - 1. Để hàm số là hàm lẻ trước tiên nó phải có tập xác định D là tập đối xứng, tức là m = 0 hoặc m = 1. Thử lại:

• Với m = 0, ta được: Y = -X, là hàm số lẻ.
• Với m = 1, ta được: Y = $\frac{{X + 2}}{X}$ - 1 = $\frac{2}{X}$, là hàm số lẻ.

Vậy, với m = 0 hoặc m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Cho hàm số: (Cm): y = $\frac{{{x^2} - 4mx + 5m}}{{x - 2}}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

Hai điểm A(xA,$\frac{{x_A^2 - 4m{x_A} + 5m}}{{{x_A} - 2}}$) và B(xB,$\frac{{x_B^2 - 4m{x_B} + 5m}}{{{x_B} - 2}}$) thuộc (Cm). Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\frac{{x_A^2 - 4m{x_A} + 5m}}{{{x_A} - 2}} + \frac{{x_B^2 - 4m{x_B} + 5m}}{{{x_B} - 2}} = 0\,\,\,(2)\end{array} \right.$ Thay (1) vào (2) ta được: (2m - 1)$x_A^2$ = 5m (3) Để tồn tại hai điểm A và B thì phương trình (3) phải có nghiệm. Do 0 < $x_A^2\,$≠ 4 nên: 0 < $\frac{{5m}}{{2m - 1}}$ ≠ 4 <=> $\left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2} < m \ne \frac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.$.

Vậy, với $\frac{1}{2}$ < m ≠ $\frac{4}{3}$ hoặc m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.

25/09/2021 82

Đáp án A (C) có tiệm cận đứng là x=b−1; tiệm cận ngang là y=a+1 Tâm đối xứng của (C) là giao điểm của hai đường tiệm cận Ib−1;a+1 O là tâm đối xứng của C⇔I≡O  b=1;a=−1⇒a+b=0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Xem đáp án » 24/09/2021 953

Gọi S là diện tích hình phẳng (P) giới hạn bởi parabol tiếp tuyến với (P) tại điểm A(1;-1) và đường thẳng x=2 (như hình vẽ). Tính S.

Xem đáp án » 25/09/2021 429

Đạo hàm của hàm số y=logx là

Xem đáp án » 25/09/2021 422

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính theo thể tích của khối chóp S.ABCD

Xem đáp án » 25/09/2021 417

Tập nghiệm của phương trình logx2−1=log2x−1

Xem đáp án » 25/09/2021 388

Có bao nhiêu số nguyên dương y để tập nghiệm của bất phương trình log2x−2log2x−y<0 chứa tối đa 1000 số nguyên

Xem đáp án » 25/09/2021 369

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AB=AD=a, CD=2a. Cạnh bên SD vuông góc với đáy (ABCD) và SD=a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Xem đáp án » 25/09/2021 353

Một nhóm học sinh gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành 1 hàng. Xác suất để có đúng 2 trong 4 bạn nữ đứng cạnh nhau là

Xem đáp án » 25/09/2021 335

Diện tích mặt cầu (S) tâm I đường kính bằng a là

Xem đáp án » 24/09/2021 242

Có một khối gỗ là khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB=30cm, BC=40cm, CA=50cm và chiều cao AA'=100cm. Từ khối gỗ này người ta tiện để thu được một khối trụ có cùng chiều cao với khối gỗ ban đầu. Thể tích lớn nhất của khối trụ gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Xem đáp án » 25/09/2021 229

Gọi V là thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D', V' là thể tích khối tứ diện A'.ABD. Hệ thức nào dưới đây là đúng

Xem đáp án » 25/09/2021 198

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên ℝ và f(1)=1. Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình bên.

Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y=4fsinx+cos2x−a nghịch biến trên 0;π2?

Xem đáp án » 25/09/2021 178

Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là

Xem đáp án » 24/09/2021 178

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a→=2;1;0 và b→=−1;0;−2. Khi đó cosa→,b→ bằng

Xem đáp án » 25/09/2021 172

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tập hợp T tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)=m có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1;3] là:

Xem đáp án » 24/09/2021 163