Cực trị của hàm số bậc 4 là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình toán 12 và thi THPT Quốc Gia. Vậy cực trị của hàm số bậc 4 là gì? Lý thuyết và Bài tập cực trị của hàm số bậc 4? Công thức cực trị của hàm bậc 4 trùng phương?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!
Cực trị của hàm số là gì?
Cho hàm số \[ y= f[x] \] liên tục và xác định trên khoảng \[ [a;b] \] và điểm \[ x_0 \in [a;b] \]
- Hàm số \[ f[x] \] đạt cực đại tại \[ x_0 \] nếu tồn tại số \[ h>0 \] sao cho \[ f[x] < f[x_0] \] với mọi \[ x \in [x_0-h;x_0+h] \] và \[x \neq x_0\]
- Hàm số \[ f[x] \] đạt cực tiểu tại \[ x_0 \] nếu tồn tại số \[ h>0 \] sao cho \[ f[x] > f[x_0] \] với mọi \[ x \in [x_0-h;x_0+h] \] và \[x \neq x_0\]
Định lý :
Cho hàm số \[ y=f[x] \] liên tục, xác định và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng \[ [a;b] \]. Khi đó
- Nếu \[\left\{\begin{matrix} f'[x_0]=0\\ f”[x_0]>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow\] \[ x_0 \] là điểm cực tiểu của hàm số \[ f \]
- Nếu \[\left\{\begin{matrix} f'[x_0]=0\\ f”[x_0]>> Cực trị của hàm số là gì?
Cực trị của hàm số bậc 4?
Định nghĩa cực trị của hàm bậc 4
Cho hàm số bậc 4 : \[ y=f[x] = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \] với \[a \neq 0\]
Đạo hàm \[ y’ = 4ax^3+3bx^2+2cx+d \]
Hàm số \[ y=f[x] \] có thể có một hoặc ba cực trị .
Điểm cực trị là điểm mà qua đó thì đạo hàm \[ y’ \] đổi dấu
Số điểm cực trị của hàm bậc 4
Xét đạo hàm \[ y’ = 4ax^3+3bx^2+3cx+d \]
- Nếu \[ y’=0 \] có đúng 1 nghiệm thì hàm số \[ y=f[x] \] có đúng 1 cực trị [có thể là cực đại hoặc cực tiểu].
- Nếu \[ y’=0 \] có 2 nghiệm [gồm 1 nghiệm đơn , 1 nghiệm kép] thì hàm số \[ y=f[x] \] có đúng 1 cực trị [có thể là cực đại hoặc cực tiểu].
- Nếu \[ y’=0 \] có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số \[ y=f[x] \] có 3 cực trị [gồm cả cực đại và cực tiểu].
Ví dụ:
Chứng minh rằng hàm số \[ f[x] = x^4+mx^3+mx^2+mx+1 \] không thể đồng thời có cả cực đại và cực tiểu với mọi \[m \in \mathbb{R}\]
Cách giải:
Để chứng minh hàm số đã cho không có đồng thời cực đại lẫn cực tiểu thì ta chứng minh hàm số ấy chỉ có duy nhât 1 cực trị với mọi \[m \in \mathbb{R}\]
Xét đạo hàm \[ f’[x] =4x^3+m[3x^2+2x+1] \]
Xét phương trình \[f'[x]= 0 \Leftrightarrow 4x^3+m[3x^2+2x+1]=0\]
\[\Leftrightarrow \frac{4x^3}{3x^2+2x+1}+m=0\]
Xét hàm số \[ g[x] =\frac{4x^3}{3x^2+2x+1}+m\]
Ta có:
\[g'[x] =\frac{12x^2[3x^2+2x+1]-4x^3[6x+2]}{[3x^2+2x+1]^2}\]
\[=\frac{4x^2[3x^2+4x+3]}{[3x^2+2x+1]^2} \geq 0 \;\;\;\; \forall x \in \mathbb{R}\]
\[\Rightarrow\] hàm số \[ g[x] \] đồng biến
\[\Rightarrow\] phương trình \[ g[x] =0 \] có đúng 1 nghiệm duy nhất
Như vậy phương trình \[f'[x]= 0 \] có đúng 1 nghiệm duy nhất
\[\Rightarrow\] hàm số \[ f[x] \] có duy nhất một điểm cực trị
Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
Định nghĩa hàm số trùng phương là gì ?
Hàm số trùng phương là hàm số bậc 4 có dạng:
\[ y=f[x] = ax^4+bx^2+c \]
Như vậy có thể coi đây là một hàm số bậc 2 với ẩn là \[ x^2 \]
Điều kiện cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
Ví dụ:
Cho hàm số \[ f[x] = 3mx^4+ [m-2]x^2 +m-1 \] . Tìm \[ m \] để hàm số đã cho có ba điểm cực trị
Cách giải:
Để hàm số \[ f[x] \] có 3 điểm cực trị thì
\[3m[m-2]