Để cho
$$ f [z] = \ frac1 {z [z^2 - 4] e^z} $$
Hãy là tích phân của bạn.
Do sự hiện diện của cực trên đường viền, tích phân này không tồn tại như vậy và các điều kiện của định lý dư cũng không áp dụng. Tuy nhiên, xung quanh cực đơn giản ở mức -2 $, chức năng là đối xứng với thứ tự đầu tiên và bằng cách đối xứng lấy giới hạn như một tích phân không phù hợp, bạn sẽ nhận được giá trị chính của Cauchy$-2$, the function is antisymmetric to first order and by symmetrically taking a limit as an improper integral, you get the Cauchy principal value
$$ PV \ INT_ {| Z-1 | = 3} f [z] dz $$
được xác định rõ cho tích phân này. Giả sử đây là tích phân bạn muốn tính toán.
Bây giờ hãy xem xét đường viền đóng sau $ \ gamma $, được tạo thành từ một phân đoạn $ \ gamma_ \ varepsilon $ bằng với đường viền ban đầu của bạn ngoại trừ một đĩa có bán kính $ \ varepsilon $ khoảng $ -2 $, và một đoạn của một vòng tròn của một vòng tròn của một vòng tròn của một vòng tròn của một vòng tròn của một vòng tròn có vòng tròn RADIUS $ \ VAREPSILON $ khoảng $ -2 $ đóng nó tắt:$\Gamma$, made up of a segment $\Gamma_\varepsilon$ equal to your original contour except for a disk of radius $\varepsilon$ around $-2$, and a segment of a circle of radius $\varepsilon$ around $-2$ closing it off:
Sau đó chúng tôi có
$$ PV \ INT_ {| Z-1 | = 3} f [z] dz = \ lim _ {\ varepsilon \ to0} \ int _ {\ gamma_ \ varepsilon} f [z] dz. $$ $$
Các cực kín là $ 0 $ và $ 2 $, trong đó dư lượng là $-\ frac14 $ và $ \ frac {e^{-2}} 8 $, vì vậy bởi định lý dư lượng mà chúng ta có$0$ and $2$, where the residues are $-\frac14$ and $\frac{e^{-2}}8$, so by the residue theorem we have
$$ \ int _ {\ gamma_ \ varepsilon} f [z] dz = \ int _ {\ gamma} f [z] dz - \ int _ {\ gamma_ \ varepsilon} f [z] frac {e^{ - 2}} 8 - \ frac14 \ right] - \ int _ {\ gamma_ \ varepsilon} f [z] dz. $$
Trong giới hạn cho $ \ varepsilon \ đến 0 $, phần thông thường của $ f $ không đóng góp cho tích phân trên $ \ gamma_ \ varepsilon $, và vì dư lượng ở mức $ -2 $ là $ \ frac {e^ 2} 8 $, tích phân trên hình bán nguyệt trong giới hạn là $-\ pi i \ frac {e^2} 8 $, dấu trừ vì nó được theo hướng theo chiều kim đồng hồ.$\varepsilon\to 0$, the regular part of $f$ doesn't contribute to the integral over $\gamma_\varepsilon$, and since the residue at $-2$ is $\frac{e^2}8$, the integral over the semicircle in the limit is $-\pi i\frac{e^2}8$, the minus sign because it is followed in clockwise direction.
Từ đó, chúng tôi nhận được giá trị
$$ PV \ INT_ {| Z-1 | = 3} f [z] dz = \ pi i \ left [\ frac {e^{ - 2}} 4 - \ frac12 + \ frac {e^2} {8}
Chỉnh sửa hãy kiểm tra số này: tham số hóa đường viền là Let's check this numerically: parameterize the contour as
$$ \ gamma [\ theta] = 3e^{i \ theta} + 1. $$
sau đó
$$ PV \ INT_ {| Z-1 | = 3} f [z] dz = \ lim _ {\ varepsilon \ to0} \ int _ { - \ pi + \ varepsilon}^{\ pi - \ varepsilon} f [\ gamma [\ theta ] d \ theta. $$
Đánh giá bằng cách sử dụng Python với MPMATH:
from mpmath import quad
from cmath import exp, pi
def f[z]:
return 1 / [z * [z**2 - 4] * exp[z]]
def g[t]:
return f[3*exp[t * 1j] + 1] * 3j * exp[t * 1j]
def pv[eps]:
return complex[quad[g, [-pi + eps, pi - eps]]]
print[pv[1e-6], pi * 1j * [exp[-2]/4 - .5 + exp[2]/8]]
Đầu ra này
1.437168991707318j 1.437171300772436j
OverviewTeaching: 15 min Exercises: 15 min QuestionsHow can I plot my data?How can I save my plot for publishing?ObjectivesCreate a time series plot showing a single data set.Create a scatter plot ...
Hướng dẫn dùng pyplot title python
Hướng dẫn dùng matplot python
Trong hướng dẫn trước của chúng tôi, Làm sạch dữ liệu Python . Hôm nay, chúng ta sẽ chơi với Hướng dẫn Python Matplotlib và Cốt truyện Python. Hơn nữa, ...
Hướng dẫn dùng numpy percentile python
numpy.percentile[]function used to compute the nth percentile of the given data [array elements] along the specified axis. Syntax : numpy.percentile[arr, n, axis=None, ...
Hướng dẫn dùng matplotlib figure python
Bài viết được sự cho phép của tác giả Kien Dang ChungNội dung chínhPylab là gì?1. Phân cấp đối tượng trong Matplotlib2. Vẽ đồ thị với plot[]2.2 Vẽ nhiều ...
Hướng dẫn bar trong python
Hôm nay, chúng ta sẽ xem cách chúng ta có thể tạo Biểu đồ Python và Biểu đồ thanh Python bằng cách sử dụng thư viện Matplotlib và Seaborn Python . Hơn nữa, trong ...
Hướng dẫn crosstab in python
Đưa ra một khung dữ liệu với các biến phân loại khác nhau, làm cách nào để trả về bảng chéo với tỷ lệ phần trăm thay vì tần số?Nội dung chínhHow to use ...
Vẽ đồ thị nhiều thanh Python
Xem Thảo luận về các bài viết bài viết articleAddiscussview Các bài viết của bài viết Biểu đồ nhiều bài viết còn được gọi là biểu đồ thanh được nhóm. Một âm mưu thanh hoặc biểu đồ thanh có nhiều ...
Hướng dẫn plt.figure in Python
BÀi VIếT ĐượC Phân cấp Đối tượng trong matplotlib2. Vẽ Đồ Thị VớI Lô [] 2.2 Vẽ Nhiều ...
Hướng dẫn cốt truyện 3d lưới python
Có nhiều cách để giải quyết vấn đề của bạn.
Mối quan hệ âm mưu giữa hai biến trong Python
Trong khi xử lý một bộ dữ liệu lớn, điều quan trọng là phải hiểu mối quan hệ giữa các tính năng. Đó là một phần lớn của phân tích dữ liệu. Các mối quan hệ có thể là giữa hai biến hoặc giữa ...
Làm thế nào để bạn in một sức mạnh trong Python?
Đối với những người tìm kiếm một giải pháp thực tế [nhưng hơi không hoàn hảo] dựa trên UTF-8, được triển khai bằng cách sử dụng bảng dịch ký tự đơn giản: Nhập chuỗi SuperScript_Map = {0:, 1: ¹, 2: ...
Hướng Dẫn Machine Learning Cheat Sheet
BÀI VIếT ĐượC DịCH: //becominghuman.ai/cheat-shetet-for-ai-nial-networks-machine-learning-deep-learning-big-data-678c51b4b463trong vào .
Tờ Cheat Python tốt nhất là gì?
Gian lận cho người mới bắt đầu và các nhà phát triển Python tiên tiến của tác giả với cuộc cách mạng CNTT vĩ đại và đặc biệt là với sự xuất hiện của khoa học dữ liệu trong những năm gần đây, tầm quan trọng của Python có ...
Làm thế nào để bạn vẽ một biến trong Python?
TỔNG QUAN TỔNG HỢP
Hướng dẫn dùng pyplot tiêu đề python
BÀi VIếT ĐượC Chún ...
Hướng dẫn dùng pd.plot python
Thư viện pandas python là gì? Nóó thể Giúp bạn nh ững gì vào Hãy Cùng Tuy Đi tìm Câu trả lời ...
Bạn có thể vẽ cốt truyện phân tán bằng Python không?
Biểu đồ phân tán sơ đồ phân tán là một sơ đồ trong đó mỗi giá trị trong tập dữ liệu được biểu thị bằng một dấu chấm. Mô -đun matplotlib có một phương thức vẽ các sơ đồ phân tán, nó cần hai mảng có cùng độ dài, ...