Hướng dẫn what is an entry in pascals triangle? - một mục trong tam giác pascal là gì?

Một sơ đồ cho thấy tám hàng đầu tiên của hình tam giác của Pascal.

Trong toán học, tam giác của Pascal là một mảng tam giác gồm các hệ số nhị thức phát sinh trong lý thuyết xác suất, tổ hợp và đại số. Trong phần lớn thế giới phương Tây, nó được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Blaise Pascal, mặc dù các nhà toán học khác đã nghiên cứu nó từ nhiều thế kỷ trước ông ở Ấn Độ, [1] Ba Tư, [2] Trung Quốc, Đức và Ý. [3]Pascal's triangle is a triangular array of the binomial coefficients that arises in probability theory, combinatorics, and algebra. In much of the Western world, it is named after the French mathematician Blaise Pascal, although other mathematicians studied it centuries before him in India,[1] Persia,[2] China, Germany, and Italy.[3]

Các hàng tam giác của Pascal được liệt kê được liệt kê bắt đầu bằng hàng ở phía trên (hàng 0). Các mục trong mỗi hàng được đánh số từ đầu bên trái và thường được đặt so le so với các số trong các hàng liền kề. Tam giác có thể được xây dựng theo cách sau: theo hàng 0 (hàng trên cùng), có một mục nhập khác không Quyền, xử lý các mục trống là 0. Ví dụ, số ban đầu trong hàng đầu tiên (hoặc bất kỳ) hàng đầu nào là 1 (tổng 0 và 1), trong khi số 1 và 3 trong hàng thứ ba được thêm vào để tạo ra Số 4 ở hàng thứ tư. at the top (the 0th row). The entries in each row are numbered from the left beginning with and are usually staggered relative to the numbers in the adjacent rows. The triangle may be constructed in the following manner: In row 0 (the topmost row), there is a unique nonzero entry 1. Each entry of each subsequent row is constructed by adding the number above and to the left with the number above and to the right, treating blank entries as 0. For example, the initial number in the first (or any other) row is 1 (the sum of 0 and 1), whereas the numbers 1 and 3 in the third row are added to produce the number 4 in the fourth row.

Formula[edit][edit]

Trong hình tam giác của Pascal, mỗi số là tổng của hai số ngay phía trên nó.

Mục nhập trong hàng th và cột thứ ba của hình tam giác của Pascal được ký hiệu. Ví dụ, mục nhập khác biệt độc đáo ở hàng trên cùng là. Với ký hiệu này, việc xây dựng đoạn trước có thể được viết như sau:th row and th column of Pascal's triangle is denoted . For example, the unique nonzero entry in the topmost row is . With this notation, the construction of the previous paragraph may be written as follows:

Đối với bất kỳ số nguyên không âm và bất kỳ số nguyên nào. [4] Tái phát này đối với các hệ số nhị thức được gọi là quy tắc của Pascal. and any integer .[4] This recurrence for the binomial coefficients is known as Pascal's rule.

History[edit][edit]

Meru Prastaara (मेरु प Bản thảo từ Thư viện Raghunath J & K; 755 sau Công nguyên

Phiên bản hình tam giác của Pascal

Mô hình của các con số hình thành nên tam giác của Pascal được biết đến trước thời của Pascal. Pascal đã đổi mới nhiều cách sử dụng số của Tam giác trước đây, sử dụng mà ông mô tả toàn diện trong chuyên luận toán học được biết đến sớm nhất được dành riêng cho Tam giác, Traité du Triangle Arithmétique (1654; xuất bản năm 1665).

Hàng thế kỷ trước, thảo luận về các con số đã phát sinh trong bối cảnh các nghiên cứu của Ấn Độ về kết hợp và số nhị thức. Nó xuất hiện từ các bình luận sau đó rằng các hệ số nhị thức và công thức phụ gia để tạo ra chúng, được biết đến với Pingala trong hoặc trước thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên. [5] [6] Mặc dù công việc của Pingala chỉ tồn tại trong các mảnh vỡ, nhà bình luận Varāhamihira, khoảng 505, đã đưa ra một mô tả rõ ràng về công thức phụ gia, [6] và một lời giải thích chi tiết hơn về cùng một quy tắc được đưa ra bởi Halayudha, khoảng 975. Meru-Prastaara, cầu thang của Mount Meru, đưa ra mô tả đầu tiên còn sống sót về sự sắp xếp của những con số này thành một tam giác. [6] [7] Trong khoảng 850, nhà toán học Jain Mahāvīra đã đưa ra một công thức khác cho các hệ số nhị thức, sử dụng phép nhân, tương đương với công thức hiện đại. [6] Nhà toán học được ghi lại để đánh đồng các công thức phụ gia và nhân cho các số này. [6], were known to Pingala in or before the 2nd century BC.[5][6] While Pingala's work only survives in fragments, the commentator Varāhamihira, around 505, gave a clear description of the additive formula,[6] and a more detailed explanation of the same rule was given by Halayudha, around 975. Halayudha also explained obscure references to Meru-prastaara, the Staircase of Mount Meru, giving the first surviving description of the arrangement of these numbers into a triangle.[6][7] In approximately 850, the Jain mathematician Mahāvīra gave a different formula for the binomial coefficients, using multiplication, equivalent to the modern formula .[6] In 1068, four columns of the first sixteen rows were given by the mathematician Bhattotpala, who was the first recorded mathematician to equate the additive and multiplicative formulas for these numbers.[6]

Đồng thời, nhà toán học Ba Tư Al-Karaji (953 Tiết1029) đã viết một cuốn sách hiện đã mất trong đó có mô tả đầu tiên về tam giác của Pascal. [8] [9] [10] Sau đó, nó đã được lặp đi lặp lại bởi nhà thơ-nhà cung cấp người Ba Tư-Mathematic Omar Khayyám (1048 Tiết1131); Do đó, tam giác cũng được gọi là tam giác Khayyam ở Iran. [11] Một số định lý liên quan đến tam giác đã được biết đến, bao gồm cả định lý nhị thức. Khayyam đã sử dụng một phương pháp tìm rễ thứ n dựa trên sự mở rộng nhị thức, và do đó trên các hệ số nhị thức. [2]Khayyam triangle in Iran.[11] Several theorems related to the triangle were known, including the binomial theorem. Khayyam used a method of finding nth roots based on the binomial expansion, and therefore on the binomial coefficients.[2]

Tam giác của Pascal được biết đến ở Trung Quốc vào đầu thế kỷ 11 thông qua công việc của nhà toán học Trung Quốc Jia Xian (1010 Ném1070). Vào thế kỷ 13, Yang Hui (1238 Từ1298) đã trình bày tam giác và do đó nó vẫn được gọi là tam giác của Yang Hui (杨辉三角;) ở Trung Quốc. [12]Yang Hui's triangle (杨辉三角; 楊輝三角) in China.[12]

Ở châu Âu, tam giác của Pascal lần đầu tiên xuất hiện trong số học của Jordanus de Nemore (thế kỷ 13). [13] Các hệ số nhị thức được tính toán bởi Gersonides vào đầu thế kỷ 14, sử dụng công thức nhân cho chúng. [6] Petrus apianus (1495 Từ1552) đã xuất bản hình tam giác đầy đủ trên mặt trận của cuốn sách về tính toán kinh doanh của ông vào năm 1527. [14] Michael Stifel đã xuất bản một phần của tam giác (từ cột thứ hai đến cột giữa trong mỗi hàng) vào năm 1544, mô tả nó như một bảng số lượng. [6] Ở Ý, tam giác của Pascal được gọi là tam giác của Tartaglia, được đặt theo tên đại số của Ý Niccolò Fontana Tartaglia (1500 Chuyện1577), người đã xuất bản sáu hàng của tam giác năm 1556. [6] Gerolamo Cardano, cũng đã xuất bản Tam giác cũng như các quy tắc phụ gia và nhân để xây dựng nó vào năm 1570. [6]Tartaglia's triangle, named for the Italian algebraist Niccolò Fontana Tartaglia (1500–1577), who published six rows of the triangle in 1556.[6] Gerolamo Cardano, also, published the triangle as well as the additive and multiplicative rules for constructing it in 1570.[6]

Traité du Triangle Arithmétique của Pascal (chuyên luận về tam giác số lượng) đã được xuất bản năm 1655. Trong đó, Pascal đã thu thập một số kết quả sau đó được biết về tam giác và sử dụng chúng để giải quyết các vấn đề về lý thuyết xác suất. Tam giác này sau đó được đặt theo tên của Pascal bởi Pierre Raymond de Montmort (1708), người gọi đó là "Bảng de M. Pascal Pour Les Combinaisons" (tiếng Pháp: Bảng của ông Pascal cho các kết hợp) và Abraham de Moivre (1730), người gọi nó là " Triangulum arithmeticum pascalianum "(Latin: Tam giác số học của Pascal), trở thành tên phương Tây hiện đại. [15]

Mở rộng nhị thức [Chỉnh sửa][edit]

Trực quan hóa mở rộng nhị thức lên đến sức mạnh thứ 4

Tam giác của Pascal xác định các hệ số phát sinh trong các mở rộng nhị thức. Ví dụ: xem xét việc mở rộng

.

Các hệ số là các số trong hàng thứ hai của hình tam giác của Pascal: ,,., , .

Nói chung, khi một nhị thức giống như được nâng lên thành một sức mạnh số nguyên dương của, chúng ta có: is raised to a positive integer power of , we have:

Thì

trong đó các hệ số trong bản mở rộng này chính xác là các số trên hàng hình tam giác của Pascal. Nói cách khác, in this expansion are precisely the numbers on row of Pascal's triangle. In other words,

Đây là định lý nhị thức.

Toàn bộ đường chéo bên phải của tam giác Pascal tương ứng với hệ số của các mở rộng nhị thức này, trong khi đường chéo tiếp theo tương ứng với hệ số của và vân vân. in these binomial expansions, while the next diagonal corresponds to the coefficient of and so on.

Để xem định lý nhị thức liên quan đến việc xây dựng hình tam giác của Pascal như thế nào, hãy xem xét vấn đề tính toán các hệ số mở rộng về các hệ số tương ứng của (cài đặt cho đơn giản). Giả sử sau đó in terms of the corresponding coefficients of (setting for simplicity). Suppose then that

Đây là định lý nhị thức.

Toàn bộ đường chéo bên phải của tam giác Pascal tương ứng với hệ số của các mở rộng nhị thức này, trong khi đường chéo tiếp theo tương ứng với hệ số của và vân vân.

Để xem định lý nhị thức liên quan đến việc xây dựng hình tam giác của Pascal như thế nào, hãy xem xét vấn đề tính toán các hệ số mở rộng về các hệ số tương ứng của (cài đặt cho đơn giản). Giả sử sau đó

Hiện nay).

Sáu hàng hình tam giác Pascal là hệ số nhị thức in terms of the coefficients of (these are the s), which is what we need if we want to express a line in terms of the line above it. Recall that all the terms in a diagonal going from the upper-left to the lower-right correspond to the same power of , and that the -terms are the coefficients of the polynomial , and we are determining the coefficients of . Now, for any given , the coefficient of the term in the polynomial is equal to . This is indeed the simple rule for constructing Pascal's triangle row-by-row.

Hai tổng kết có thể được tổ chức lại như sau:

(vì cách nâng cao đa thức cho một công trình sức mạnh,)., the coefficients are identical in the expansion of the general case.

Bây giờ chúng ta có một biểu thức cho đa thức về các hệ số của (đây là S), đó là những gì chúng ta cần nếu chúng ta muốn thể hiện một dòng theo dòng trên nó. Hãy nhớ lại rằng tất cả các thuật ngữ trong một đường chéo đi từ phía trên sang bên trái sang bên phải tương ứng với cùng một sức mạnh của, và các -Ther là các hệ số của đa thức và chúng ta đang xác định các hệ số của. Bây giờ, đối với bất kỳ đã cho, hệ số của thuật ngữ trong đa thức là bằng. Đây thực sự là quy tắc đơn giản để xây dựng từng hàng hình tam giác của Pascal. and equal to one. In this case, we know that , and so

Không khó để biến lập luận này thành một bằng chứng (bằng cảm ứng toán học) của định lý nhị thức.th row of Pascal's triangle is the th power of 2. This is equivalent to the statement that the number of subsets (the cardinality of the power set) of an -element set is , as can be seen by observing that the number of subsets is the sum of the number of combinations of each of the possible lengths, which range from zero through to .

Combinations[edit][edit]

Vì, các hệ số giống hệt nhau trong việc mở rộng trường hợp chung. things taken at a time (called n choose k) can be found by the equation

Đây là định lý nhị thức. in row . For example, suppose a basketball team has 10 players and wants to know how many ways there are of selecting 8. The answer is entry 8 in row 10, which is 45; that is, 10 choose 8 is 45.

Toàn bộ đường chéo bên phải của tam giác Pascal tương ứng với hệ số của các mở rộng nhị thức này, trong khi đường chéo tiếp theo tương ứng với hệ số của và vân vân.[edit]

Để xem định lý nhị thức liên quan đến việc xây dựng hình tam giác của Pascal như thế nào, hãy xem xét vấn đề tính toán các hệ số mở rộng về các hệ số tương ứng của (cài đặt cho đơn giản). Giả sử sau đó, the th row of Pascal's triangle becomes the binomial distribution in the symmetric case where . By the central limit theorem, this distribution approaches the normal distribution as increases. This can also be seen by applying Stirling's formula to the factorials involved in the formula for combinations.

Hiện nay with itself corresponds to taking powers of , and hence to generating the rows of the triangle. Second, repeatedly convolving the distribution function for a random variable with itself corresponds to calculating the distribution function for a sum of n independent copies of that variable; this is exactly the situation to which the central limit theorem applies, and hence leads to the normal distribution in the limit.

Các mẫu và thuộc tính [Chỉnh sửa][edit]

Tam giác của Pascal có nhiều thuộc tính và chứa nhiều mẫu số.

Mỗi khung hình đại diện cho một hàng trong tam giác của Pascal. Mỗi cột của pixel là một số trong nhị phân có bit ít đáng kể nhất ở phía dưới. Các pixel ánh sáng đại diện cho các pixel và các pixel tối là số không.

Số lượng các tác phẩm của N +1 thành các phân vùng theo thứ tự K +1 tạo thành hình tam giác của Pascal

Rows[edit][edit]

• có thể được tìm thấy trong Tam giác của Pascal thông qua loạt Nilakantha Infinite. [18]

• Giá trị của một hàng, nếu mỗi mục được coi là một vị trí thập phân (và các số lớn hơn 9 được thực hiện theo đó), là một công suất 11 (11n, đối với hàng & nbsp; n). Do đó, theo hàng & nbsp; 2, 1, 2, 1⟩ trở thành 112, trong khi ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ trong hàng & nbsp; năm trở thành (sau khi mang) 161,051, đó là 115. bằng cách đặt x = 10 trong mở rộng nhị thức (x + 1) n và điều chỉnh các giá trị theo hệ số thập phân. Nhưng thuật ngữ biến có thể được chọn để cho phép các hàng biểu diễn các giá trị trong bất kỳ cơ sở x nào (nói chung hơn, nếu y = x + 1 cho y <0, thì cơ sở tương ứng là x mod 2y = {y - 1, - (y + 1)}, với các giá trị lẻ của n mang lại giá trị hàng âm).11n, for row n). Thus, in row 2, ⟨1, 2, 1⟩ becomes 112, while ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ in row five becomes (after carrying) 161,051, which is 115. This property is explained by setting x = 10 in the binomial expansion of (x + 1)n, and adjusting values to the decimal system. But the variable term can be chosen to allow rows to represent values in any base x (more generally, if y = x + 1 for y < 0, then the corresponding base is x mod 2y = {y - 1, -(y + 1)}, with odd values of n yielding negative row values).
  • Trong cơ sở 3: 1 2 13 = 42 (16)1 2 13 = 42 (16)
  • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 13 = 43 (64)
  • Trong cơ sở 9: 1 2 19 = 102 (100)1 2 19 = 102 (100)
  • & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; 1 3 3 19 = 103 (1000)1 3 3 19 = 103 (1000)
  • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 19 = 105 (100000)
  Cụ thể (xem thuộc tính trước), với giá trị x = 1 vẫn không đổi (1place = 1). Do đó, các mục nhập chỉ đơn giản là có thể được thêm vào trong việc diễn giải giá trị của một hàng.x = 1 place value remains constant (1place=1). Thus entries can simply be added in interpreting the value of a row.
• Một số con số trong tam giác của Pascal tương quan với các con số trong tam giác của Lozanić.
• Tổng các bình phương của các phần tử của hàng & nbsp; n bằng phần tử giữa của hàng & nbsp; 2n. Ví dụ: 12 & nbsp;+& nbsp; 42 & nbsp;+& nbsp; 62 & nbsp;+& nbsp; 42 & nbsp; Ở dạng chung:n equals the middle element of row 2n. For example, 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 70. In general form:

• Trên bất kỳ hàng nào & nbsp; n, trong đó n chẵn, thời hạn giữa trừ hai điểm hai điểm bên trái bằng với số Catalan, cụ thể là số Catalan (n/2 + 1). Ví dụ: trên hàng & nbsp; 4, 6 - 1 = 5, đó là số Catalan thứ 3 và 4/2 + 1 = 3.n, where n is even, the middle term minus the term two spots to the left equals a Catalan number, specifically the (n/2 + 1)th Catalan number. For example: on row 4, 6 − 1 = 5, which is the 3rd Catalan number, and 4/2 + 1 = 3.
• Trong một hàng & nbsp; p trong đó p là số nguyên tố, tất cả các thuật ngữ trong hàng đó ngoại trừ 1S là bội số của & nbsp; p. Điều này có thể được chứng minh dễ dàng, vì nếu, P thì không có yếu tố nào tiết kiệm cho 1 và chính nó. Mỗi mục trong tam giác là một số nguyên, do đó theo định nghĩa và là yếu tố của. Tuy nhiên, không có cách nào có thể p tự nó có thể hiển thị trong mẫu số, do đó P (hoặc một số bội số của nó) phải được để lại trong tử số, làm cho toàn bộ mục nhập của p.p where p is a prime number, all the terms in that row except the 1s are multiples of p. This can be proven easily, since if , then p has no factors save for 1 and itself. Every entry in the triangle is an integer, so therefore by definition and are factors of . However, there is no possible way p itself can show up in the denominator, so therefore p (or some multiple of it) must be left in the numerator, making the entire entry a multiple of p.
• TLARY: Để đếm các thuật ngữ lẻ trong hàng & nbsp; n, chuyển đổi n thành nhị phân. Đặt x là số 1 trong biểu diễn nhị phân. Sau đó, số lượng các thuật ngữ lẻ sẽ là 2x. Những con số này là các giá trị trong chuỗi của Gould. [19]n, convert n to binary. Let x be the number of 1s in the binary representation. Then the number of odd terms will be 2x. These numbers are the values in Gould's sequence.[19]
• Mỗi mục trong hàng 2N-1, n ≥ 0, là số lẻ. [20]
• Phân cực: Khi các phần tử của một hàng hình tam giác của Pascal được thêm vào và trừ cùng nhau theo tuần tự, mỗi hàng có số giữa, có nghĩa là các hàng có số nguyên lẻ, kết quả là 0. Như các ví dụ, hàng 4 là 1 4 6 4 1, vì vậy công thức sẽ là 6 - (4+4)+(1+1) = 0; và hàng 6 là 1 6 15 20 15 6 1, vì vậy công thức sẽ là 20 - (15+15)+(6+6) - (1+1) = 0. Vì vậy, mỗi hàng thậm chí hàng của tam giác pascal bằng 0 khi Bạn lấy số giữa, sau đó trừ các số nguyên trực tiếp bên cạnh trung tâm, sau đó thêm các số nguyên tiếp theo, sau đó trừ đi, do đó, cho đến khi bạn đi đến cuối hàng.

Diagonals[edit][edit]

Đạo hàm của các số đơn giản từ hình tam giác của Pascal

Các đường chéo của tam giác Pascal chứa số lượng đơn giản:

• Các đường chéo đi dọc theo các cạnh trái và phải chỉ chứa 1.
• Các đường chéo bên cạnh các đường chéo cạnh chứa các số tự nhiên theo thứ tự.
• Di chuyển vào bên trong, cặp đường chéo tiếp theo chứa các số hình tam giác theo thứ tự.
• Cặp đường chéo tiếp theo chứa các số tứ diện theo thứ tự và cặp tiếp theo đưa ra số pentatope.

Độ đối xứng của tam giác ngụ ý rằng số chiều d thứ n bằng với số dth n chiều.

Một công thức thay thế không liên quan đến đệ quy là

trong đó n (d) là thế hệ đang tăng.

Ý nghĩa hình học của hàm PD là: PD (1) = 1 cho tất cả d. Xây dựng một tam giác chiều D (tam giác 3 chiều là tứ diện) bằng cách đặt các chấm bổ sung bên dưới một dấu chấm ban đầu, tương ứng với PD (1) = 1. Đặt các chấm này theo cách tương tự như vị trí của các số trong hình tam giác của Pascal. Để tìm PD (x), có tổng số các chấm X sáng tác hình dạng đích. PD (x) sau đó bằng tổng số chấm trong hình. Tam giác 0 chiều là một điểm và tam giác 1 chiều chỉ đơn giản là một đường, và do đó P0 (x) = 1 và p1 (x) = x, là chuỗi các số tự nhiên. Số lượng chấm trong mỗi lớp tương ứng với PD & NBSP; - & NBSP; 1 (x).

Calculating a row or diagonal by itself[edit]

There are simple algorithms to compute all the elements in a row or diagonal without computing other elements or factorials.

To compute row with the elements , , ..., , begin with . For each subsequent element, the value is determined by multiplying the previous value by a fraction with slowly changing numerator and denominator:

For example, to calculate row 5, the fractions are  ,  ,  ,  and , and hence the elements are  ,   ,   , etc. (The remaining elements are most easily obtained by symmetry.)

To compute the diagonal containing the elements , , , ..., we again begin with and obtain subsequent elements by multiplication by certain fractions:

By symmetry, this same process can be used to compute the diagonal , , ... .

For example, to calculate the diagonal beginning at , the fractions are  ,  ,  , ..., and the elements are ,   ,   , etc. By symmetry, these elements are equal to , , , etc.

Overall patterns and properties[edit]

A level-4 approximation to a Sierpinski triangle obtained by shading the first 32 rows of a Pascal triangle white if the binomial coefficient is even and black if it is odd.

• The pattern obtained by coloring only the odd numbers in Pascal's triangle closely resembles the fractal called the Sierpinski triangle. This resemblance becomes more and more accurate as more rows are considered; in the limit, as the number of rows approaches infinity, the resulting pattern is the Sierpinski triangle, assuming a fixed perimeter. More generally, numbers could be colored differently according to whether or not they are multiples of 3, 4, etc.; this results in other similar patterns.

• In a triangular portion of a grid (as in the images below), the number of shortest grid paths from a given node to the top node of the triangle is the corresponding entry in Pascal's triangle. On a Plinko game board shaped like a triangle, this distribution should give the probabilities of winning the various prizes.

• If the rows of Pascal's triangle are left-justified, the diagonal bands (colour-coded below) sum to the Fibonacci numbers.

Construction as matrix exponential[edit]

Binomial matrix as matrix exponential. All the dots represent 0.

Due to its simple construction by factorials, a very basic representation of Pascal's triangle in terms of the matrix exponential can be given: Pascal's triangle is the exponential of the matrix which has the sequence 1, 2, 3, 4, ... on its subdiagonal and zero everywhere else.

Connections to geometry of polytopes[edit]

Pascal's triangle can be used as a lookup table for the number of elements (such as edges and corners) within a polytope (such as a triangle, a tetrahedron, a square, or a cube).

Number of elements of simplices[edit]

Let's begin by considering the 3rd line of Pascal's triangle, with values 1, 3, 3, 1. A 2-dimensional triangle has one 2-dimensional element (itself), three 1-dimensional elements (lines, or edges), and three 0-dimensional elements (vertices, or corners). The meaning of the final number (1) is more difficult to explain (but see below). Continuing with our example, a tetrahedron has one 3-dimensional element (itself), four 2-dimensional elements (faces), six 1-dimensional elements (edges), and four 0-dimensional elements (vertices). Adding the final 1 again, these values correspond to the 4th row of the triangle (1, 4, 6, 4, 1). Line 1 corresponds to a point, and Line 2 corresponds to a line segment (dyad). This pattern continues to arbitrarily high-dimensioned hyper-tetrahedrons (known as simplices).

To understand why this pattern exists, one must first understand that the process of building an n-simplex from an (n − 1)-simplex consists of simply adding a new vertex to the latter, positioned such that this new vertex lies outside of the space of the original simplex, and connecting it to all original vertices. As an example, consider the case of building a tetrahedron from a triangle, the latter of whose elements are enumerated by row 3 of Pascal's triangle: 1 face, 3 edges, and 3 vertices (the meaning of the final 1 will be explained shortly). To build a tetrahedron from a triangle, we position a new vertex above the plane of the triangle and connect this vertex to all three vertices of the original triangle.

The number of a given dimensional element in the tetrahedron is now the sum of two numbers: first the number of that element found in the original triangle, plus the number of new elements, each of which is built upon elements of one fewer dimension from the original triangle. Thus, in the tetrahedron, the number of cells (polyhedral elements) is 0 + 1 = 1; the number of faces is 1 + 3 = 4; the number of edges is 3 + 3 = 6; the number of new vertices is 3 + 1 = 4. This process of summing the number of elements of a given dimension to those of one fewer dimension to arrive at the number of the former found in the next higher simplex is equivalent to the process of summing two adjacent numbers in a row of Pascal's triangle to yield the number below. Thus, the meaning of the final number (1) in a row of Pascal's triangle becomes understood as representing the new vertex that is to be added to the simplex represented by that row to yield the next higher simplex represented by the next row. This new vertex is joined to every element in the original simplex to yield a new element of one higher dimension in the new simplex, and this is the origin of the pattern found to be identical to that seen in Pascal's triangle. The "extra" 1 in a row can be thought of as the -1 simplex, the unique center of the simplex, which ever gives rise to a new vertex and a new dimension, yielding a new simplex with a new center.

Số lượng các yếu tố của hypercubes [chỉnh sửa][edit]

Một mô hình tương tự được quan sát liên quan đến hình vuông, trái ngược với hình tam giác. Để tìm mẫu, người ta phải xây dựng một hình tam giác tương tự với hình tam giác của Pascal, có các mục nhập là các hệ số của số hàng (x + 2), thay vì (x + 1) số hàng. Có một vài cách để làm điều này. Đơn giản hơn là bắt đầu với hàng 0 = 1 và hàng 1 = 1, 2. Tiến hành xây dựng các tam giác tương tự theo quy tắc sau:(x + 2)Row Number, instead of (x + 1)Row Number. There are a couple ways to do this. The simpler is to begin with Row 0 = 1 and Row 1 = 1, 2. Proceed to construct the analog triangles according to the following rule:

Đó là, chọn một cặp số theo các quy tắc của hình tam giác của Pascal, nhưng tăng gấp đôi số bên trái trước khi thêm. Kết quả này trong:

Cách khác để sản xuất tam giác này là bắt đầu với hình tam giác của Pascal và nhân mỗi mục nhập với 2K, trong đó k là vị trí trong hàng của số đã cho. Ví dụ, giá trị thứ 2 trong hàng 4 của hình tam giác của Pascal là 6 (độ dốc của 1 tương ứng với mục zeroth trong mỗi hàng). Để có được giá trị nằm ở vị trí tương ứng trong tam giác tương tự, nhân 6 với số 2 định vị = 6 × 22 = 6 × 4 = 24. Bây giờ, tam giác tương tự đã được xây dựng, số lượng phần tử của bất kỳ kích thước nào tổng hợp Khối kích thước tùy ý (được gọi là HyperCube) có thể được đọc từ bảng theo cách tương tự như tam giác của Pascal. Ví dụ, số lượng các phần tử 2 chiều trong khối 2 chiều (một hình vuông) là một, số lượng các phần tử 1 chiều (bên hoặc đường) là 4 và số lượng các phần tử 0 chiều (điểm, hoặc các đỉnh) là 4. Điều này phù hợp với hàng thứ 2 của bảng (1, 4, 4). Một khối lập phương có 1 khối lập phương, 6 mặt, 12 cạnh và 8 đỉnh, tương ứng với dòng tiếp theo của tam giác tương tự (1, 6, 12, 8). Mô hình này tiếp tục vô thời hạn.2Position Number = 6 × 22 = 6 × 4 = 24. Now that the analog triangle has been constructed, the number of elements of any dimension that compose an arbitrarily dimensioned cube (called a hypercube) can be read from the table in a way analogous to Pascal's triangle. For example, the number of 2-dimensional elements in a 2-dimensional cube (a square) is one, the number of 1-dimensional elements (sides, or lines) is 4, and the number of 0-dimensional elements (points, or vertices) is 4. This matches the 2nd row of the table (1, 4, 4). A cube has 1 cube, 6 faces, 12 edges, and 8 vertices, which corresponds to the next line of the analog triangle (1, 6, 12, 8). This pattern continues indefinitely.

Để hiểu lý do tại sao mô hình này tồn tại, trước tiên nhận ra rằng việc xây dựng một n-cube từ một (n-1) -cube được thực hiện bằng cách sao chép hình gốc và thay thế nó một khoảng cách (đối với một n-cube thông thường, chiều dài cạnh ) trực giao với không gian của hình gốc, sau đó kết nối từng đỉnh của hình mới với đỉnh tương ứng của bản gốc. Quá trình sao chép ban đầu này là lý do tại sao, để liệt kê các phần tử kích thước của một n-cube, người ta phải tăng gấp đôi số đầu tiên của một cặp trong một hàng của hình tam giác tương tự này trước khi tổng hợp để mang lại số bên dưới. Do đó, sự nhân đôi ban đầu mang lại số lượng các phần tử "gốc" được tìm thấy trong n-cube cao hơn tiếp theo và, như trước đây, các phần tử mới được xây dựng dựa trên các phần tử ít hơn (các cạnh trên các đỉnh, mặt trên các cạnh, v.v.). Một lần nữa, số cuối cùng của một hàng đại diện cho số lượng các đỉnh mới được thêm vào để tạo ra n-cube cao hơn tiếp theo.(n − 1)-cube is done by simply duplicating the original figure and displacing it some distance (for a regular n-cube, the edge length) orthogonal to the space of the original figure, then connecting each vertex of the new figure to its corresponding vertex of the original. This initial duplication process is the reason why, to enumerate the dimensional elements of an n-cube, one must double the first of a pair of numbers in a row of this analog of Pascal's triangle before summing to yield the number below. The initial doubling thus yields the number of "original" elements to be found in the next higher n-cube and, as before, new elements are built upon those of one fewer dimension (edges upon vertices, faces upon edges, etc.). Again, the last number of a row represents the number of new vertices to be added to generate the next higher n-cube.

Trong tam giác này, tổng các phần tử của hàng m bằng 3M. Một lần nữa, để sử dụng các phần tử của hàng 4 làm ví dụ: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81, bằng.1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81, which is equal to .

Đếm các đỉnh trong khối theo khoảng cách [Chỉnh sửa][edit]

Mỗi hàng tam giác của Pascal cung cấp số lượng đỉnh ở mỗi khoảng cách từ một đỉnh cố định trong một khối lập phương n. Ví dụ, trong ba chiều, hàng thứ ba (1 3 3 1) tương ứng với khối lập phương ba chiều thông thường: sửa một đỉnh v, có một đỉnh ở khoảng cách 0 từ V (nghĩa là V chính), ba đỉnh ở Khoảng cách 1, ba đỉnh ở khoảng cách √2 và một đỉnh ở khoảng cách √ 3 (đỉnh đối diện v). Hàng thứ hai tương ứng với một hình vuông, trong khi các hàng được đánh số lớn hơn tương ứng với các hypercub trong mỗi chiều.√2 and one vertex at distance √3 (the vertex opposite V). The second row corresponds to a square, while larger-numbered rows correspond to hypercubes in each dimension.

Biến đổi Fourier của sin (x) n+1/x [Chỉnh sửa][edit]

Như đã nêu trước đây, các hệ số của (x & nbsp;+& nbsp; 1) n là hàng thứ n của tam giác. Bây giờ, các hệ số của (x & nbsp; - & nbsp; 1) n giống nhau, ngoại trừ dấu hiệu thay thế từ +1 đến 1 và quay lại. Sau khi chuẩn hóa phù hợp, cùng một mẫu số xảy ra trong biến đổi Fourier của sin (x) n+1/x. Chính xác hơn: nếu n là chẵn, hãy lấy phần thực của biến đổi và nếu n là kỳ lạ, hãy lấy phần tưởng tượng. Sau đó, kết quả là một hàm bước, có giá trị (chuẩn hóa phù hợp) được đưa ra bởi hàng thứ n của tam giác với các dấu hiệu xen kẽ. [21] Ví dụ: các giá trị của hàm bước kết quả từ:

Kết hợp hàng thứ 4 của tam giác, với các dấu hiệu xen kẽ. Đây là một khái quát của kết quả cơ bản sau đây (thường được sử dụng trong kỹ thuật điện):

là chức năng Boxcar. [22] Hàng tương ứng của tam giác là hàng 0, chỉ bao gồm số & nbsp; 1.

Nếu N đồng dạng với 2 hoặc 3 mod 4, thì các dấu hiệu bắt đầu bằng & nbsp; 1. Trên thực tế, trình tự của các thuật ngữ đầu tiên (được chuẩn hóa) tương ứng với sức mạnh của I, chu kỳ xung quanh giao điểm của các trục với vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức:

Extensions[edit][edit]

Đến kích thước cao hơn [chỉnh sửa][edit]

Tam giác của Pascal có khái quát chiều cao hơn. Phiên bản ba chiều được gọi là kim tự tháp của Pascal hoặc tứ diện của Pascal, trong khi các phiên bản chung được gọi là đơn giản của Pascal.

Hàng số âm [Chỉnh sửa][edit]

Tam giác của Pascal có thể được mở rộng sang số hàng âm.

Đầu tiên viết tam giác dưới dạng sau:

Tiếp theo, mở rộng cột của 1s trở lên:

Tiếp theo, mở rộng cột của 1s trở lên:

4

3

Tiếp theo, mở rộng cột của 1s trở lên:

3

2

1

Bây giờ quy tắc:

4

3

2

1

Bây giờ quy tắc:

có thể được sắp xếp lại để:.

cho phép tính toán các mục khác cho các hàng âm:[edit]

• −20
• −56
• 10
• −21
• 6
• Phần mở rộng này bảo tồn thuộc tính mà các giá trị trong cột MTH được xem là một hàm của n phù hợp với đa thức M order m, cụ thể là
• .
• Phần mở rộng này cũng bảo tồn thuộc tính rằng các giá trị trong hàng thứ n tương ứng với các hệ số của (1 & nbsp;+& nbsp; x) n:
• Ví dụ:
• Khi được xem như một loạt, các hàng phân kỳ N âm. Tuy nhiên, chúng vẫn có thể tổng hợp, tổng kết đưa ra các giá trị tiêu chuẩn là 2n. (Trên thực tế, n & nbsp; = & nbsp; /4.)
• Một tùy chọn khác để mở rộng hình tam giác của Pascal sang các hàng âm xuất phát từ việc mở rộng dòng 1S khác:
• 4
• 3
• 2
• 1
• Áp dụng quy tắc tương tự như trước khi dẫn đến
• ..
• Phần mở rộng này cũng có các thuộc tính giống như

References[edit][edit]

1. chúng ta có Maurice Winternitz, History of Indian Literature, Vol. III
2. Ngoài ra, giống như tổng hợp dọc theo các đường chéo dưới bên trái đến bên phải của ma trận Pascal mang lại các số Fibonacci, loại mở rộng thứ hai này vẫn tổng hợp các số Fibonacci cho chỉ số âm.a b Coolidge, J. L. (1949), "The story of the binomial theorem", The American Mathematical Monthly, 56 (3): 147–157, doi:10.2307/2305028, JSTOR 2305028, MR 0028222.
3. Một trong hai phần mở rộng này có thể đạt được nếu chúng ta xác định Peter Fox (1998). Cambridge University Library: the great collections. Cambridge University Press. p. 13. ISBN 978-0-521-62647-7.
4. và lấy một số giới hạn nhất định của chức năng gamma,. The binomial coefficient is conventionally set to zero if k is either less than zero or greater than n.
5. Xem thêm [sửa] A. W. F. Edwards. Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea. JHU Press, 2002. Pages 30–31.
6. Bean Machine, "Quincunx" của Francis Galtona b c d e f g h i Edwards, A. W. F. (2013), "The arithmetical triangle", in Wilson, Robin; Watkins, John J. (eds.), Combinatorics: Ancient and Modern, Oxford University Press, pp. 166–180.
7. Tam giác chuông Alexander Zawaira; Gavin Hitchcock (2008). A Primer for Mathematics Competitions. Oxford University Press. p. 237. ISBN 978-0-19-156170-2.
8. Tam giác của Bernoulli Selin, Helaine (2008-03-12). Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer Science & Business Media. p. 132. Bibcode:2008ehst.book.....S. ISBN 9781402045592.
9. Mở rộng nhị thức The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra - R. Rashed "Page 63"
10. Tam giác Euler Sidoli, Nathan; Brummelen, Glen Van (2013-10-30). From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren. Springer Science & Business Media. p. 54. ISBN 9783642367366.
11. ^Kennedy, E. (1966). Omar Khayyam. Giáo viên toán học 1958. Hội đồng giáo viên toán học quốc gia. Trang & NBSP; 140 Từ142. JStor & nbsp; i27957284. Kennedy, E. (1966). Omar Khayyam. The Mathematics Teacher 1958. National Council of Teachers of Mathematics. pp. 140–142. JSTOR i27957284.
12. ^Weisstein, Eric W. (2003). CRC Bách khoa toàn thư CRC của toán học, tr. 2169. ISBN & NBSP; 978-1-58488-347-0. Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics, p. 2169. ISBN 978-1-58488-347-0.
13. ^Hughes, Barnabas (ngày 1 tháng 8 năm 1989). "Tam giác học của Jordanus de Nemore". Historia Mathematica. 16 (3): 213 Từ223. doi: 10.1016/0315-0860 (89) 90018-9. Hughes, Barnabas (1 August 1989). "The arithmetical triangle of Jordanus de Nemore". Historia Mathematica. 16 (3): 213–223. doi:10.1016/0315-0860(89)90018-9.
14. ^Smith, Karl J. (2010), Bản chất của toán học, Học tập Cengage, P. & NBSP; 10, ISBN & NBSP; 9780538737586. Smith, Karl J. (2010), Nature of Mathematics, Cengage Learning, p. 10, ISBN 9780538737586.
15. ^Fowler, David (tháng 1 năm 1996). "Hàm hệ số nhị thức". Toán học Mỹ hàng tháng. 103 (1): 1 trận17. doi: 10.2307/2975209. JStor & NBSP; 2975209. Xem cụ thể p. 11. Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly. 103 (1): 1–17. doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. See in particular p. 11.
16. ^Anh em, H. J. (2012), "Tìm e trên Tam giác của Pascal", Tạp chí Toán học, 85: 51, doi: 10.4169/Math.Mag.85.1.51, S2Cid & NBSP; 218541210. Brothers, H. J. (2012), "Finding e in Pascal's triangle", Mathematics Magazine, 85: 51, doi:10.4169/math.mag.85.1.51, S2CID 218541210.
17. ^Anh em, H. J. (2012), "Tam giác của Pascal: The Hidden Stor-e", Công báo toán học, 96: 145 Phản148, doi: 10.1017/s00255572004204, S2CID & NBSP; 23335674. Brothers, H. J. (2012), "Pascal's triangle: The hidden stor-e", The Mathematical Gazette, 96: 145–148, doi:10.1017/S0025557200004204, S2CID 233356674.
18. ^ Foster, T. (2014), "Dấu chân của Nilakantha trong Tam giác của Pascal", Giáo viên toán học, 108: 247, doi: 10.5951/Mathteacher.108.4.0246 Foster, T. (2014), "Nilakantha's Footprints in Pascal's Triangle", Mathematics Teacher, 108: 247, doi:10.5951/mathteacher.108.4.0246
19. ^Fine, N. J. (1947), "Hệ số nhị thức Modulo A Prime", American Mathematical hàng tháng, 54 (10): 589 Xem trong Định lý 2 đặc biệt, đưa ra một khái quát về thực tế này cho tất cả các mô -đun chính. Fine, N. J. (1947), "Binomial coefficients modulo a prime", American Mathematical Monthly, 54 (10): 589–592, doi:10.2307/2304500, JSTOR 2304500, MR 0023257. See in particular Theorem 2, which gives a generalization of this fact for all prime moduli.
20. ^Hinz, Andreas M. (1992), "Tam giác của Pascal và Tháp Hà Nội", Hàng tháng Toán học Hoa Kỳ, 99 (6): 538 Chuyện544, doi: 10.2307/2324061, JStor & NBSP; Hinz gán cho quan sát này cho một cuốn sách năm 1891 của Édouard Lucas, Théorie des Nombres (P. & NBSP; 420). Hinz, Andreas M. (1992), "Pascal's triangle and the Tower of Hanoi", The American Mathematical Monthly, 99 (6): 538–544, doi:10.2307/2324061, JSTOR 2324061, MR 1166003. Hinz attributes this observation to an 1891 book by Édouard Lucas, Théorie des nombres (p. 420).
21. ^Ví dụ tương tự, xem ví dụ: Hore, P. J. (1983), "Ức chế dung môi trong cộng hưởng từ hạt nhân biến đổi Fourier", Tạp chí cộng hưởng từ, 55 (2): 283 Nott300, Bibcode: 1983jmagr..55..283H, DOI: 10.1016/00222222222 83) 90240-8. For a similar example, see e.g. Hore, P. J. (1983), "Solvent suppression in Fourier transform nuclear magnetic resonance", Journal of Magnetic Resonance, 55 (2): 283–300, Bibcode:1983JMagR..55..283H, doi:10.1016/0022-2364(83)90240-8.
22. ^Karl, John H. (2012), Giới thiệu về xử lý tín hiệu số, Elsevier, P. & NBSP; 110, ISBN & NBSP; 9780323139595. Karl, John H. (2012), An Introduction to Digital Signal Processing, Elsevier, p. 110, ISBN 9780323139595.

Liên kết bên ngoài [Chỉnh sửa][edit]

• "Tam giác Pascal", bách khoa toàn thư về toán học, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Tam giác của Pascal". Thế giới toán học.
• Biểu đồ phương pháp cũ của bảy hình vuông nhân (từ Ssu Yuan Yü Chien của Chu Shi-Chieh, 1303, mô tả chín hàng đầu tiên của hình tam giác Pascal)
• Chuyên luận của Pascal về tam giác số học (hình ảnh trang của chuyên luận của Pascal, 1654; Tóm tắt)

Có bao nhiêu mục trong mỗi hàng của Tam giác Pascal?

Các mục ở hàng thứ 13 của Tam giác Pascal là gì?

Có nhiều mục thậm chí hoặc kỳ lạ trong Tam giác của Pascal không?

2 mẫu trong tam giác của Pascal là gì?