Một sơ đồ cho thấy tám hàng đầu tiên của hình tam giác của Pascal.
Trong toán học, tam giác của Pascal là một mảng tam giác gồm các hệ số nhị thức phát sinh trong lý thuyết xác suất, tổ hợp và đại số. Trong phần lớn thế giới phương Tây, nó được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Blaise Pascal, mặc dù các nhà toán học khác đã nghiên cứu nó từ nhiều thế kỷ trước ông ở Ấn Độ, [1] Ba Tư, [2] Trung Quốc, Đức và Ý. [3]Pascal's triangle is a triangular array of the binomial coefficients that arises in probability theory, combinatorics, and algebra. In much of the Western world, it is named after the French mathematician Blaise Pascal, although other mathematicians studied it centuries before him in India,[1] Persia,[2] China, Germany, and Italy.[3]
Các hàng tam giác của Pascal được liệt kê được liệt kê bắt đầu bằng hàng ở phía trên [hàng 0]. Các mục trong mỗi hàng được đánh số từ đầu bên trái và thường được đặt so le so với các số trong các hàng liền kề. Tam giác có thể được xây dựng theo cách sau: theo hàng 0 [hàng trên cùng], có một mục nhập khác không Quyền, xử lý các mục trống là 0. Ví dụ, số ban đầu trong hàng đầu tiên [hoặc bất kỳ] hàng đầu nào là 1 [tổng 0 và 1], trong khi số 1 và 3 trong hàng thứ ba được thêm vào để tạo ra Số 4 ở hàng thứ tư. at the top [the 0th row]. The entries in each row are numbered from the left beginning with and are usually staggered relative to the numbers in the adjacent rows. The triangle may be constructed in the following manner: In row 0 [the topmost row], there is a unique nonzero entry 1. Each entry of each subsequent row is constructed by adding the number above and to the left with the number above and to the right, treating blank entries as 0. For example, the initial number in the first [or any other] row is 1 [the sum of 0 and 1], whereas the numbers 1 and 3 in the third row are added to produce the number 4 in the fourth row.
Formula[edit][edit]
Trong hình tam giác của Pascal, mỗi số là tổng của hai số ngay phía trên nó.
Mục nhập trong hàng th và cột thứ ba của hình tam giác của Pascal được ký hiệu. Ví dụ, mục nhập khác biệt độc đáo ở hàng trên cùng là. Với ký hiệu này, việc xây dựng đoạn trước có thể được viết như sau:th row and th column of Pascal's triangle is denoted . For example, the unique nonzero entry in the topmost row is . With this notation, the construction of the previous paragraph may be written as follows:
ThìĐối với bất kỳ số nguyên không âm và bất kỳ số nguyên nào. [4] Tái phát này đối với các hệ số nhị thức được gọi là quy tắc của Pascal. and any integer .[4] This recurrence for the binomial coefficients is known as Pascal's rule.
History[edit][edit]
Meru Prastaara [मेरु प Bản thảo từ Thư viện Raghunath J & K; 755 sau Công nguyên
Phiên bản hình tam giác của Pascal
Mô hình của các con số hình thành nên tam giác của Pascal được biết đến trước thời của Pascal. Pascal đã đổi mới nhiều cách sử dụng số của Tam giác trước đây, sử dụng mà ông mô tả toàn diện trong chuyên luận toán học được biết đến sớm nhất được dành riêng cho Tam giác, Traité du Triangle Arithmétique [1654; xuất bản năm 1665].
Hàng thế kỷ trước, thảo luận về các con số đã phát sinh trong bối cảnh các nghiên cứu của Ấn Độ về kết hợp và số nhị thức. Nó xuất hiện từ các bình luận sau đó rằng các hệ số nhị thức và công thức phụ gia để tạo ra chúng, được biết đến với Pingala trong hoặc trước thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên. [5] [6] Mặc dù công việc của Pingala chỉ tồn tại trong các mảnh vỡ, nhà bình luận Varāhamihira, khoảng 505, đã đưa ra một mô tả rõ ràng về công thức phụ gia, [6] và một lời giải thích chi tiết hơn về cùng một quy tắc được đưa ra bởi Halayudha, khoảng 975. Meru-Prastaara, cầu thang của Mount Meru, đưa ra mô tả đầu tiên còn sống sót về sự sắp xếp của những con số này thành một tam giác. [6] [7] Trong khoảng 850, nhà toán học Jain Mahāvīra đã đưa ra một công thức khác cho các hệ số nhị thức, sử dụng phép nhân, tương đương với công thức hiện đại. [6] Nhà toán học được ghi lại để đánh đồng các công thức phụ gia và nhân cho các số này. [6], were known to Pingala in or before the 2nd century BC.[5][6] While Pingala's work only survives in fragments, the commentator Varāhamihira, around 505, gave a clear description of the additive formula,[6] and a more detailed explanation of the same rule was given by Halayudha, around 975. Halayudha also explained obscure references to Meru-prastaara, the Staircase of Mount Meru, giving the first surviving description of the arrangement of these numbers into a triangle.[6][7] In approximately 850, the Jain mathematician Mahāvīra gave a different formula for the binomial coefficients, using multiplication, equivalent to the modern formula .[6] In 1068, four columns of the first sixteen rows were given by the mathematician Bhattotpala, who was the first recorded mathematician to equate the additive and multiplicative formulas for these numbers.[6]
Đồng thời, nhà toán học Ba Tư Al-Karaji [953 Tiết1029] đã viết một cuốn sách hiện đã mất trong đó có mô tả đầu tiên về tam giác của Pascal. [8] [9] [10] Sau đó, nó đã được lặp đi lặp lại bởi nhà thơ-nhà cung cấp người Ba Tư-Mathematic Omar Khayyám [1048 Tiết1131]; Do đó, tam giác cũng được gọi là tam giác Khayyam ở Iran. [11] Một số định lý liên quan đến tam giác đã được biết đến, bao gồm cả định lý nhị thức. Khayyam đã sử dụng một phương pháp tìm rễ thứ n dựa trên sự mở rộng nhị thức, và do đó trên các hệ số nhị thức. [2]Khayyam triangle in Iran.[11] Several theorems related to the triangle were known, including the binomial theorem. Khayyam used a method of finding nth roots based on the binomial expansion, and therefore on the binomial coefficients.[2]
Tam giác của Pascal được biết đến ở Trung Quốc vào đầu thế kỷ 11 thông qua công việc của nhà toán học Trung Quốc Jia Xian [1010 Ném1070]. Vào thế kỷ 13, Yang Hui [1238 Từ1298] đã trình bày tam giác và do đó nó vẫn được gọi là tam giác của Yang Hui [杨辉三角;] ở Trung Quốc. [12]Yang Hui's triangle [杨辉三角; 楊輝三角] in China.[12]
Ở châu Âu, tam giác của Pascal lần đầu tiên xuất hiện trong số học của Jordanus de Nemore [thế kỷ 13]. [13] Các hệ số nhị thức được tính toán bởi Gersonides vào đầu thế kỷ 14, sử dụng công thức nhân cho chúng. [6] Petrus apianus [1495 Từ1552] đã xuất bản hình tam giác đầy đủ trên mặt trận của cuốn sách về tính toán kinh doanh của ông vào năm 1527. [14] Michael Stifel đã xuất bản một phần của tam giác [từ cột thứ hai đến cột giữa trong mỗi hàng] vào năm 1544, mô tả nó như một bảng số lượng. [6] Ở Ý, tam giác của Pascal được gọi là tam giác của Tartaglia, được đặt theo tên đại số của Ý Niccolò Fontana Tartaglia [1500 Chuyện1577], người đã xuất bản sáu hàng của tam giác năm 1556. [6] Gerolamo Cardano, cũng đã xuất bản Tam giác cũng như các quy tắc phụ gia và nhân để xây dựng nó vào năm 1570. [6]Tartaglia's triangle, named for the Italian algebraist Niccolò Fontana Tartaglia [1500–1577], who published six rows of the triangle in 1556.[6] Gerolamo Cardano, also, published the triangle as well as the additive and multiplicative rules for constructing it in 1570.[6]
Traité du Triangle Arithmétique của Pascal [chuyên luận về tam giác số lượng] đã được xuất bản năm 1655. Trong đó, Pascal đã thu thập một số kết quả sau đó được biết về tam giác và sử dụng chúng để giải quyết các vấn đề về lý thuyết xác suất. Tam giác này sau đó được đặt theo tên của Pascal bởi Pierre Raymond de Montmort [1708], người gọi đó là "Bảng de M. Pascal Pour Les Combinaisons" [tiếng Pháp: Bảng của ông Pascal cho các kết hợp] và Abraham de Moivre [1730], người gọi nó là " Triangulum arithmeticum pascalianum "[Latin: Tam giác số học của Pascal], trở thành tên phương Tây hiện đại. [15]
Mở rộng nhị thức [Chỉnh sửa][edit]
Trực quan hóa mở rộng nhị thức lên đến sức mạnh thứ 4
Tam giác của Pascal xác định các hệ số phát sinh trong các mở rộng nhị thức. Ví dụ: xem xét việc mở rộng
.
Các hệ số là các số trong hàng thứ hai của hình tam giác của Pascal: ,,., , .
Nói chung, khi một nhị thức giống như được nâng lên thành một sức mạnh số nguyên dương của, chúng ta có: is raised to a positive integer power of , we have:
Thì
trong đó các hệ số trong bản mở rộng này chính xác là các số trên hàng hình tam giác của Pascal. Nói cách khác, in this expansion are precisely the numbers on row of Pascal's triangle. In other words,
.Đây là định lý nhị thức.
Toàn bộ đường chéo bên phải của tam giác Pascal tương ứng với hệ số của các mở rộng nhị thức này, trong khi đường chéo tiếp theo tương ứng với hệ số của và vân vân. in these binomial expansions, while the next diagonal corresponds to the coefficient of and so on.
Để xem định lý nhị thức liên quan đến việc xây dựng hình tam giác của Pascal như thế nào, hãy xem xét vấn đề tính toán các hệ số mở rộng về các hệ số tương ứng của [cài đặt cho đơn giản]. Giả sử sau đó in terms of the corresponding coefficients of [setting for simplicity]. Suppose then that
.Đây là định lý nhị thức.
Toàn bộ đường chéo bên phải của tam giác Pascal tương ứng với hệ số của các mở rộng nhị thức này, trong khi đường chéo tiếp theo tương ứng với hệ số của và vân vân.
Để xem định lý nhị thức liên quan đến việc xây dựng hình tam giác của Pascal như thế nào, hãy xem xét vấn đề tính toán các hệ số mở rộng về các hệ số tương ứng của [cài đặt cho đơn giản]. Giả sử sau đó
Hiện nay].
Sáu hàng hình tam giác Pascal là hệ số nhị thức in terms of the coefficients of [these are the s], which is what we need if we want to express a line in terms of the line above it. Recall that all the terms in a diagonal going from the upper-left to the lower-right correspond to the same power of , and that the -terms are the coefficients of the polynomial , and we are determining the coefficients of . Now, for any given , the coefficient of the term in the polynomial is equal to . This is indeed the simple rule for constructing Pascal's triangle row-by-row.
Hai tổng kết có thể được tổ chức lại như sau:
[vì cách nâng cao đa thức cho một công trình sức mạnh,]., the coefficients are identical in the expansion of the general case.
Bây giờ chúng ta có một biểu thức cho đa thức về các hệ số của [đây là S], đó là những gì chúng ta cần nếu chúng ta muốn thể hiện một dòng theo dòng trên nó. Hãy nhớ lại rằng tất cả các thuật ngữ trong một đường chéo đi từ phía trên sang bên trái sang bên phải tương ứng với cùng một sức mạnh của, và các -Ther là các hệ số của đa thức và chúng ta đang xác định các hệ số của. Bây giờ, đối với bất kỳ đã cho, hệ số của thuật ngữ trong đa thức là bằng. Đây thực sự là quy tắc đơn giản để xây dựng từng hàng hình tam giác của Pascal. and equal to one. In this case, we know that , and so
Không khó để biến lập luận này thành một bằng chứng [bằng cảm ứng toán học] của định lý nhị thức.th row of Pascal's triangle is the th power of 2. This is equivalent to the statement that the number of subsets [the cardinality of the power set] of an -element set is , as can be seen by observing that the number of subsets is the sum of the number of combinations of each of the possible lengths, which range from zero through to .
Combinations[edit][edit]
Vì, các hệ số giống hệt nhau trong việc mở rộng trường hợp chung. things taken at a time [called n choose k] can be found by the equation
.Đây là định lý nhị thức. in row . For example, suppose a basketball team has 10 players and wants to know how many ways there are of selecting 8. The answer is entry 8 in row 10, which is 45; that is, 10 choose 8 is 45.
Toàn bộ đường chéo bên phải của tam giác Pascal tương ứng với hệ số của các mở rộng nhị thức này, trong khi đường chéo tiếp theo tương ứng với hệ số của và vân vân.[edit]
Để xem định lý nhị thức liên quan đến việc xây dựng hình tam giác của Pascal như thế nào, hãy xem xét vấn đề tính toán các hệ số mở rộng về các hệ số tương ứng của [cài đặt cho đơn giản]. Giả sử sau đó, the th row of Pascal's triangle becomes the binomial distribution in the symmetric case where . By the central limit theorem, this distribution approaches the normal distribution as increases. This can also be seen by applying Stirling's formula to the factorials involved in the formula for combinations.
Hiện nay with itself corresponds to taking powers of , and hence to generating the rows of the triangle. Second, repeatedly convolving the distribution function for a random variable with itself corresponds to calculating the distribution function for a sum of n independent copies of that variable; this is exactly the situation to which the central limit theorem applies, and hence leads to the normal distribution in the limit.
Các mẫu và thuộc tính [Chỉnh sửa][edit]
Tam giác của Pascal có nhiều thuộc tính và chứa nhiều mẫu số.
Mỗi khung hình đại diện cho một hàng trong tam giác của Pascal. Mỗi cột của pixel là một số trong nhị phân có bit ít đáng kể nhất ở phía dưới. Các pixel ánh sáng đại diện cho các pixel và các pixel tối là số không.
Số lượng các tác phẩm của N +1 thành các phân vùng theo thứ tự K +1 tạo thành hình tam giác của Pascal
Rows[edit][edit]
Sau đó, tỷ lệ của các sản phẩm hàng liên tiếp là và tỷ lệ của các tỷ lệ này là. Phía bên phải của phương trình trên có dạng định nghĩa giới hạn.and the ratio of these ratios is .The right-hand side of the above equation takes the form of the limit definition of .- có thể được tìm thấy trong Tam giác của Pascal thông qua loạt Nilakantha Infinite. [18]
- Giá trị của một hàng, nếu mỗi mục được coi là một vị trí thập phân [và các số lớn hơn 9 được thực hiện theo đó], là một công suất 11 [11n, đối với hàng & nbsp; n]. Do đó, theo hàng & nbsp; 2, 1, 2, 1⟩ trở thành 112, trong khi ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ trong hàng & nbsp; năm trở thành [sau khi mang] 161,051, đó là 115. bằng cách đặt x = 10 trong mở rộng nhị thức [x + 1] n và điều chỉnh các giá trị theo hệ số thập phân. Nhưng thuật ngữ biến có thể được chọn để cho phép các hàng biểu diễn các giá trị trong bất kỳ cơ sở x nào [nói chung hơn, nếu y = x + 1 cho y