Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
I. Hướng dẫn giải
Tính khoảng cách từ tâm O của đường tròn [O; R] đến đường thẳng a.
So sánh d với R từ đó xác định được vị trí của đường thẳng đối với đường tròn
II. Bài tập mẫu
Bài 1: Cho đường tròn [O; 2cm] và một điểm A di động trên đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến xy. Trên xy lấy một điểm M sao cho AM = 2cm. Tìm tập hợp các điểm M khi A di động trên đường tròn.
Giải
xy là tiếp tuyến của đường tròn [O] nên xy OA.
Áp dụng định lí Pi-ta-go trongOAM vuông tại A, ta có:
=
OM = 4cm
Vì O cố định, OM = 4cm không đổi nên tập hợp điểm M là đường tròn [O; 4cm] cố định..
Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C] tâm I[2; -2] bán kính R = 2 và đường thẳng [d] có phương trình y = x +1. M là một điểm nằm trên đường thẳng [d] và cách I một khoảng bằng 2. Tính khoảng cách IM.
Giải
OI là đường phân giác góc O.
OI d tại điểm A
OA là đường cao trong tam giác vuông cân nên:
OI là đường chéo hình vuông nên: OI = 2
Do đó:
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông IAM, ta có:
IM = 3,5cm.
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm [O], đường kính AB. Điểm M nằm trên cung AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn [O] tại điểm K. Các tia AH và BM cắt nhau tại điểm S. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng KS với đường tròn [B, BA].
Giải
Trước hết chứng minh KS BS.
Thật vậy, ta có:KBS =KBA [c.g.c]
Suy ra:
BS chính là khoảng cách từ tâm B của đường tròn [B, BA] đến đường thẳng KS
Tiếp theo chứng minh điểm S thuộc đường tròn [B, BA]
Ta có:
Suy raABS cân đỉnh B BS = BA S thuộc đường tròn [B, BA].
Vậy KS là tiếp xúc với đường tròn [B, BA].
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ có đường tròn tâm I bán kính R = 2 và đường tròn tâm J bán kính r = 1,5. Tọa độ của I là [-2; 1] và của J là [1,5; -2]. Khi đó:
a. Đường tròn [I] không cắt trục Ox
b. Đường tròn [I] tiếp xúc với trục Oy
c. Đường tròn [J] tiếp xúc trục Ox
d. Đường tròn [J] cắt trục Oy
Bài 2. Đường tròn [O; R] và dây cung AB = 1,6R. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA và OB theo thứ tự tại M và N. Khi đó diện tích tam giác OMN bằng:
Bài 3. Cho đường tròn [O, 5cm] và đường thẳng d. Một điểm thuộc đường thẳng d, cách chân đường vuông góc hạ từ O xuống đường thẳng d một khoảng bằng 12cm và cách tâm O của đường tròn một khoảng bằng 13cm. Vị trí tương đối của đường thẳng d đối với đường tròn [O] là:
a. Đường thẳng d không cắt đường tròn [O]
b. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn [O]
c. Đường thẳng d cắt đường tròn [O] tại hai điểm khác nhau
d. Đường thẳng d cắt đường tròn [O] tại bốn điểm khác nhau.
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba đỉnh đều nằm trên đường tròn [O; R]. Kẻ đường thẳng d đi qua điểm A và song song với cạnh BC. Điều kiện tối thiểu để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn [O] là:
a. Tam giác ABC vuông tại A
b. Tam giác ABC vuông cân tại A
c. Tam giác ABC cân tại A
d. Tam giác ABC đều
Bài 5. O là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AC = 6cm. Các cạnh của hình chữ nhật ABCD và đường tròn [O; 2cm]:
a. Có 2 điểm chung
b. Có 4 điểm chung
c. Có 8 điểm chung
d. Không có điểm chung nào
Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây.