Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?

Tam giác Pascal là tam giác chứa các giá trị từ khai triển nhị thức;

Của cải

hệ số nhị thức

Đây là chín hàng đầu tiên của Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được xác định sao cho số trong hàng và cột là

Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
. Vì lý do này, quy ước cho rằng cả số hàng và số cột đều bắt đầu bằng 0. Do đó, đỉnh của tam giác là hàng 0 và số đầu tiên trong mỗi hàng là cột 0. Ví dụ: số ở hàng 4, cột 2 là
Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
. Do đó, Tam giác Pascal có thể đóng vai trò là "bảng tra cứu" cho các giá trị khai triển nhị thức. Ngoài ra, nhiều đặc điểm của Tam giác Pascal bắt nguồn từ các đồng nhất tổ hợp; .
Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
, the sum of the values on rowof Pascal's Triangle is.

Tổng các giá trị trước đó

Một trong những tính năng nổi tiếng nhất của Tam giác Pascal bắt nguồn từ đồng nhất tổ hợp

Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
. Do đó, bất kỳ số nào trong phần bên trong của Tam giác Pascal sẽ là tổng của hai số xuất hiện trên nó. Ví dụ:
Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
. Thuộc tính này cho phép dễ dàng tạo một vài hàng đầu tiên của Tam giác Pascal mà không cần phải tính toán từng khai triển nhị thức.

số Fibonacci

Các số Fibonacci xuất hiện trong Tam giác Pascal dọc theo "các đường chéo nông. " Tức là,

Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
, dãy Fibonacci ở đâu. Ví dụ:
Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
. Một "đường chéo nông" được vẽ trong sơ đồ.

Bản sắc khúc côn cầu-dính

Các tiểu bang.

Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
. Tên của nó là do "cây gậy khúc côn cầu" xuất hiện khi các con số được vẽ trên Tam giác Pascal, như thể hiện trong biểu diễn của định lý bên dưới (và).

Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?

số chẵn lẻ

Cân nhắc việc viết số hàng trong cơ số hai dưới dạng. Số ở cột thứ của hàng thứ trong Tam giác Pascal là số lẻ khi và chỉ khi có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số. Ví dụ,. Như vậy 4 số lẻ duy nhất ở hàng thứ 9 sẽ nằm ở cột thứ, thứ, thứ và thứ. Ngoài ra, đánh dấu từng số lẻ này trong Tam giác Pascal sẽ tạo ra tam giác Sierpinki

Sự khái quát

Đây là trường hợp đặc biệt của Định lý Kummer, phát biểu rằng cho trước một số nguyên tố p và các số nguyên m,n, lũy thừa cao nhất của phép chia p

Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascals?
là số lũy thừa trong phép cộng và n .

Các mẫu và thuộc tính của Tam giác Pascal

hàng

Hàng thứ 0 có tổng là. Hàng đầu tiên có tổng là. Hàng có tổng bằng, có nghĩa là có nhiều cách để đến hàng đó từ hàng thứ 0

Bằng chứng. Để tìm số cách đi đến hàng của Tam giác Pascal, hãy bắt đầu từ hàng thứ 0. Có nhiều cách để đến hàng tiếp theo vì có các số ở hàng đầu tiên. Bây giờ để đến hàng thứ hai, chúng tôi nhận thấy rằng bắt đầu từ bất kỳ số nào trên hàng đầu tiên, chúng tôi có hai tùy chọn để đi đến hàng thứ hai. Điều này có nghĩa là chúng ta cần nhân số cách đi đến hàng đầu tiên với. Mô hình này tiếp tục, vì vậy số cách để đi đến hàng của Tam giác Pascal là

đường chéo

Đường chéo thứ 1 là hàng 1, đường chéo thứ 2 mỗi cạnh là các số tự nhiên, đường chéo thứ 3 là các số tam giác, đường chéo thứ 4 là các số hình chóp

Tam giác Pascal là một trong những cấu trúc hấp dẫn nhất mà chúng ta có thể xây dựng từ một mẫu số đơn giản. Thật thú vị khi thấy mối liên hệ giữa một cấu trúc đơn giản như vậy và nhiều lĩnh vực khác của toán học

Tam giác Pascal có thể được hình thành bằng cách bắt đầu bằng một cái ở trên cùng và sau đó đặt hai cái bên dưới. Khi đó, mỗi phần tử của một hàng bằng tổng của hai phần tử trên. Do đó, trong hình dưới đây, chúng ta có thể thấy rằng hai là tổng của hai cái trên

Để hoàn thành hàng tiếp theo, chúng ta có thể xem xét tổng theo cặp của các phần tử của hàng này. Mục nhập đầu tiên sẽ là 1. Chúng ta có thể coi đây là tổng của 0 và 1 như được hiển thị

Phần tử tiếp theo là tổng của 1 và 2 như hình bên dưới

Tương tự, phần tử sau là tổng của 2 và 1 như hình

Phần tử cuối cùng, giống như phần tử đầu tiên, có thể coi là tổng của 1 và 0 như sau

Tiếp tục mô hình này, chúng ta đến cái được gọi là tam giác Pascal

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal là một mảng tam giác gồm các số thỏa mãn tính chất mỗi phần tử bằng tổng của hai phần tử trên. Các hàng được liệt kê từ trên xuống sao cho hàng đầu tiên được đánh số 𝑛=0.

Tương tự, các phần tử của mỗi hàng được liệt kê từ 𝑘=0 đến 𝑛. Tám hàng đầu tiên của tam giác Pascal được hiển thị bên dưới.

Mặc dù, ở phần lớn thế giới phương Tây, tam giác được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Blaise Pascal, nhưng trên thực tế, nó đã được các nhà toán học trước ông nhiều thế kỷ biết đến ở những nơi như Trung Quốc, Ba Tư và Ấn Độ. Cho đến ngày nay, nó được biết đến với những cái tên khác nhau ở những nơi này

Tam giác Pascal có nhiều tính chất thú vị. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xem xét một số mô hình đơn giản tồn tại trong tam giác

Một số mẫu rõ ràng nhất có liên quan đến các đường chéo. ví dụ, đường chéo đầu tiên chỉ chứa các số nguyên, trong khi đường chéo thứ hai chứa các số nguyên liên tiếp

Thú vị hơn, đường chéo thứ ba chứa các số tam giác và đường chéo thứ tư chứa các số tứ diện

Hơn nữa, chúng ta có thể thấy có sự đối xứng phản xạ về trung tâm

ví dụ 1. Các phần tử trong tam giác Pascal

Phần tử thứ hai trong hàng thứ 500 của tam giác Pascal là gì?

Câu trả lời

Nhớ lại rằng các phần tử thứ hai của mỗi hàng của tam giác Pascal là các số nguyên liên tiếp. Tại thời điểm này, chúng ta có thể muốn ngay lập tức đi đến kết luận rằng nó sẽ là 500. Tuy nhiên, chúng ta cần cẩn thận hơn một chút so với điều này. Nhớ lại rằng hàng đầu tiên chỉ chứa 1. Do đó, không có phần tử thứ hai. Hàng đầu tiên có phần tử thứ hai là hàng thứ hai, bao gồm hai phần tử. Do đó, phần tử thứ hai trong hàng này là 1 chứ không phải 2. Do đó, phần tử thứ hai của hàng thứ 500 của tam giác Pascal sẽ là 499

ví dụ 2. Các mẫu trong Tam giác Pascal

Hình tam giác Pascal được điền một phần được hiển thị. Bằng cách chú ý đến các mẫu hoặc tìm các giá trị của 𝑎, 𝑏, 𝑐, and 𝑑.

Câu trả lời

Chúng tôi bắt đầu bằng cách xem xét các yếu tố của đường chéo thứ ba. Có một khuôn mẫu rõ ràng để đi từ phần tử này sang phần tử khác. để đi từ thứ nhất đến thứ hai, chúng tôi thêm hai;

Chúng ta có thể mở rộng mô hình này như sau

Cả 𝑎 và 𝑏 đều là các phần tử trong hàng này. Do đó, 𝑎=10 và 𝑏=15.

Bây giờ chúng ta xem xét phần tử 𝑐. Phần tử này thực ra cũng nằm trong đường chéo thứ ba—đường nằm ở hướng khác—và nó là phần tử thứ sáu. Do đó, 𝑐=21.

Cuối cùng ta thấy 𝑑 nằm trên đường chéo thứ hai. Đường chéo này chứa các số nguyên dương liên tiếp. Do đó, vì nó là phần tử thứ mười một nên giá trị của nó sẽ đơn giản là 11

Do đó, đáp án cuối cùng của chúng ta là 𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=21, . and 𝑑=11.

ví dụ 3. Tính tổng theo các đường chéo trong tam giác Pascal

Hình minh họa một phần của tam giác Pascal. Không dùng máy tính bỏ túi, hãy tìm tổng các phần tử được đánh dấu

Câu trả lời

Đối với câu hỏi này, chúng ta chỉ cần tính tổng các yếu tố riêng lẻ. Tuy nhiên, trên thực tế chúng ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác Pascal để tính nhanh tổng các phần tử này. Chúng ta sẽ bắt đầu từ phần tử nhỏ nhất trong hàng. 1. Rõ ràng tổng của phần tử này chỉ đơn giản là 1, mà chúng ta có thể thấy là phần tử bên dưới bên phải như trong hình

Bây giờ chúng ta xem xét hai phần tử đầu tiên và lưu ý rằng tổng của chúng là phần tử bên dưới phần tử thứ hai ở bên phải

Tương tự, tổng của ba phần tử đầu tiên bằng tổng của hai phần tử đầu tiên và phần tử thứ ba. Từ tính chất xác định của tam giác Pascal, ta thấy đây là phần tử nằm ngay dưới hai

Bằng cách tiếp tục mô hình này, chúng ta thấy rằng tổng của các phần tử được đánh dấu sẽ là phần tử bên dưới phần tử cuối cùng ở bên phải như được hiển thị

Do đó, tổng của các phần tử được đánh dấu là 5‎ ‎005 .

Bây giờ chúng ta sẽ chú ý đến mối quan hệ giữa các phần tử liền kề. Rõ ràng phần tử nào cũng là tổng của hai phần tử trên. Tuy nhiên, có những mối quan hệ khác giữa ba điều khoản này. Khi thảo luận về vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng phép liệt kê các hàng bắt đầu từ 𝑛=0. Tương tự, trong một hàng nhất định, chúng ta sẽ liệt kê các phần tử theo 𝑘, trong đó 𝑘=0 là phần tử đầu tiên .

Chúng ta hãy xem xét các hệ số liên quan đến các số hạng trên các đường chéo giữa các hàng được liệt kê bởi 𝑛=5 và 𝑛=6. Hình bên dưới biểu thị hệ số nhân đưa chúng ta từ hàng 𝑛=5 đến hàng 𝑛=6 theo đường chéo sang trái.

Dường như có một dạng tổng quát liên quan đến các số hạng này mà chúng ta có thể biểu diễn dưới dạng phép nhân với 𝑛𝑘, trong đó 𝑘 là phép liệt kê của . Trên thực tế, đây là mối quan hệ chính xác giữ cho hai phần tử bất kỳ có liên quan trên một đường chéo trái. Lưu ý rằng cả 𝑛 và 𝑘 đều liên quan đến các phần tử thấp hơn. Tương tự, chúng ta có thể nhìn vào mối quan hệ giữa các phần tử trên đường chéo bên phải. Hình bên dưới biểu thị hệ số nhân đưa chúng ta từ hàng 𝑛=5 đến hàng 𝑛=6 đi chéo phải.

Một lần nữa, một mẫu rõ ràng xuất hiện mà chúng ta có thể biểu diễn dưới dạng phép nhân với 𝑛𝑛−𝑘. Điều này một lần nữa tổng quát hóa cho hai phần tử bất kỳ được nối trên một đường chéo phải. Một lần nữa, cả 𝑛 và 𝑘 đều liên quan đến các phần tử thấp hơn.

Bây giờ ta sẽ xét quan hệ giữa hai phần tử liên tiếp trên cùng một hàng. Hình bên dưới biểu thị hệ số nhân đưa chúng ta từ phần tử thứ (𝑘−1) đến phần tử thứ 𝑘 của hàng 𝑛=6

Một lần nữa, có một khuôn mẫu rõ ràng ở đây. để di chuyển từ phần tử thứ (𝑘−1) đến phần tử thứ 𝑘, chúng ta nhân với 𝑛−𝑘+1𝑘.

Chúng tôi tóm tắt các mối quan hệ này trong hình dưới đây

Ví dụ 4. Mối quan hệ giữa các yếu tố liền kề trong tam giác Pascal

Hình vẽ 7 phần tử kề nhau trong tam giác Pascal

Cho rằng 5‎ ‎98518 . 22nd row, find 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, and 𝑓.

Câu trả lời

Đầu tiên ta viết ra giá trị của 𝑛 và 𝑘 của phần tử đã cho. Nhớ lại rằng chúng ta bắt đầu liệt kê trong 𝑛 và 𝑘 từ 0. Do đó, phần tử thứ 18 là phần tử mà 𝑘=17 và hàng thứ 22 là hàng mà 𝑛=21.

Chúng ta sẽ sử dụng mối quan hệ giữa các phần tử liên tiếp trong tam giác Pascal. Chúng tôi đã biểu diễn các hệ số kết nối các phần tử liền kề trong hình bên dưới

Bây giờ chúng ta tập trung vào việc tìm kiếm 𝑎. Nhớ rằng, trong một hàng nhất định, để di chuyển từ phần tử thứ (𝑘−1) đến phần tử thứ 𝑘, chúng ta nhân với 𝑛−𝑘+1𝑘. Do đó, để di chuyển từ phần tử thứ 𝑘 sang (𝑘−1)th, chúng ta nhân với nghịch đảo. 𝑘𝑛−𝑘+1. Do đó, 𝑎=1721−17+1×5985=175×5985=20349.

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa các đường chéo bên trái để tìm 𝑏. Nhắc lại rằng, để di chuyển xuống đường chéo bên trái (từ phần tử thứ (𝑘−1) trên hàng thứ (𝑛−1) đến phần tử thứ 𝑘 trên hàng thứ 𝑛), chúng ta nhân với . 𝑛𝑘. Do đó, để chuyển động ngược chiều ta nhân với nghịch đảo. 𝑘𝑛. Do đó, 𝑏=1721×5985=4845.

Tương tự, bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa các phần tử trên đường chéo bên phải, chúng ta có thể tìm thấy 𝑐. Nhớ rằng, để di chuyển xuống đường chéo bên phải (từ phần tử thứ 𝑘 trên hàng thứ (𝑛−1) đến phần tử thứ 𝑘 trên hàng thứ 𝑛), chúng ta nhân với 𝑛𝑛−𝑘. Do đó, để chuyển động ngược chiều ta nhân với nghịch đảo. 𝑛−𝑘𝑛. Do đó, 𝑐=421×5985=1140.

Cần kiểm tra rằng 𝑏+𝑐=5985, vì nếu điều này không đúng, chúng tôi đã phạm sai lầm. Kiểm tra điều này, chúng tôi thấy rằng ba yếu tố của chúng tôi đáp ứng điều kiện này. Bây giờ chúng ta xem xét 𝑑. Chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa các phần tử trong cùng một hàng và chúng ta có thể tìm thấy 𝑑 bằng cách nhân với 418. Do đó, 𝑑=418×5985=1330.

Cuối cùng, chúng ta có thể tìm thấy 𝑒 bằng cách sử dụng tính chất xác định của tam giác Pascal. 5985+𝑑=𝑒. Do đó, 𝑒=5985+1330=7315.

Tương tự, chúng ta có thể tìm 𝑓 bằng cách đánh giá 𝑎+5985=𝑓. Do đó, 𝑓=20349+5985=26334.

Do đó, đáp án cuối cùng là 𝑎=20349,𝑏=4845,𝑐=1140,𝑑=1330,𝑒=7315,𝑓=26334

Sử dụng mối quan hệ này giữa các phần tử, chúng ta có thể tìm ra công thức chung cho một phần tử. Ta xét phần tử liệt kê 𝑘 trên hàng liệt kê 𝑛. Chúng tôi xem xét làm thế nào để đến phần tử này từ phần tử ở đầu hàng luôn bằng 1. Để đến phần tử thứ hai (𝑘=1), ta nhân với 𝑛1. Sau đó, để đến phần tử tiếp theo, chúng ta nhân với 𝑛−12. Do đó, để đi từ số thứ nhất đến số thứ ba, chúng ta nhân với 𝑛(𝑛−1)2×1. Nhân giá trị này với hệ số để đến phần tử tiếp theo, chúng ta có công thức sau cho phần tử thứ tư (tại vị trí 𝑘=3). 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)3×2×1.

Chúng ta có thể tiếp tục mô hình này cho đến khi đến phần tử ở vị trí 𝑘, . Điều này mang lại cho chúng ta công thức 𝑛(𝑛−1)( .

Sử dụng ký hiệu giai thừa, chúng ta có thể viết điều này ngắn gọn hơn. Nhớ lại rằng giai thừa của một số nguyên dương 𝑛 là tích của tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 𝑛. Chúng ta ký hiệu 𝑛 giai thừa là 𝑛. Do đó, 𝑛=𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×⋯×2×1.

Sử dụng ký hiệu giai thừa, chúng ta có thể viết lại giá trị này dưới dạng 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)×⋯×(𝑛−𝑘+1)𝑘×(𝑘−1)×⋯×2×1=𝑛(𝑛−1)

Nhân với 𝑛−𝑘𝑛−𝑘, ta có 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)×⋯×(𝑛− . (𝑛−𝑘). =𝑛𝑛−𝑘𝑘.

Công thức này có thể quen thuộc vì nó thực sự là công thức cho sự kết hợp 𝐶 đôi khi còn được gọi là hệ số nhị thức 𝑛𝑘. Do đó, khi tìm công thức tổng quát, ta cũng đã chứng minh được mối liên hệ chặt chẽ giữa tam giác Pascal và tổ hợp. Ngoài ra, chúng ta cũng đã chỉ ra rằng tam giác Pascal là tam giác được tạo thành từ các hệ số nhị thức (thực tế, đây là một định nghĩa thay thế của tam giác).

Trong phần còn lại của phần giải thích này, chúng ta sẽ dành một chút thời gian để khám phá hai mối liên hệ này, bắt đầu với mối liên hệ giữa tam giác Pascal và các hệ số nhị thức

Tam giác Pascal có thể được sử dụng để tìm hệ số của các số hạng trong khai triển của (𝑎+𝑏). Hình minh họa điều này.

Mối quan hệ này thường được nắm bắt trong định lý nhị thức

Định lý nhị thức

Với một số nguyên 𝑛, (𝑎+𝑏)=𝐶𝑎+𝐶𝑎𝑏+𝐶𝑎𝑏+⋯+𝐶𝑎𝑏+⋯+𝐶𝑎𝑏+𝐶𝑏, .

Đôi khi ký hiệu sau được sử dụng thay cho 𝐶. 𝑛𝑟, 𝐶, 𝐶, 𝐶 . and 𝐶(𝑛,𝑟).

Ví dụ 5. Tổng một hàng của tam giác Pascal

Tổng các số hạng ở hàng thứ 30 của tam giác Pascal là bao nhiêu?

Câu trả lời

Nhắc lại rằng hàng thứ 30 của tam giác Pascal là hàng chúng ta liệt kê 𝑛=29. Với mối liên hệ giữa các phần tử của tam giác Pascal và các hệ số nhị thức, chúng ta có thể trình bày lại đây là bài toán đánh giá 𝐶 .

Tất nhiên chúng ta có thể đánh giá điều này một cách đơn giản bằng máy tính. Tuy nhiên, bằng cách sử dụng Định lý Binomial, (𝑎+𝑏) = 𝐶𝑎+𝐶𝑎𝑏+𝐶𝑎𝑏+⋯+𝐶𝑎𝑏+𝐶𝑎𝑏+𝐶𝑏,  . Lưu ý rằng nếu chúng ta đặt 𝑎=𝑏=1 và 𝑛=29, ta có 2=𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶+𝐶. 

Do đó, tổng các số hạng ở hàng thứ 30 của tam giác Pascal là 2.

Thuộc tính mà ví dụ cuối cùng đã khám phá không phải là duy nhất đối với hàng thứ 30. Thật vậy, tổng các hàng liên tiếp của tam giác Pascal là lũy thừa liên tiếp của hai. Đặc biệt, hàng liệt kê 𝑛 có tổng 2.

Ví dụ 6. Tổng của mỗi phần tử thứ hai trong một hàng của tam giác Pascal

Tổng của mọi phần tử khác trong 1‎ ‎000 hàng thứ của tam giác Pascal là bao nhiêu?

Câu trả lời

Nhắc lại rằng 1‎ ‎000 hàng của tam giác Pascal là hàng chúng ta liệt kê 𝑛 . Đối với một câu hỏi như thế này, các con số rõ ràng sẽ quá lớn để chúng ta có thể đánh giá một cách dài dòng. Vì vậy, chúng ta cần phải tìm một cách thay thế. Đầu tiên, sử dụng mối liên hệ giữa tam giác Pascal và các hệ số nhị thức, chúng ta có thể phát biểu lại đây là bài toán đánh giá 𝐶+𝐶+ .

Chúng ta sẽ ký hiệu tổng này 𝑆. Hơn nữa, chúng ta sẽ biểu thị tổng của các số hạng khác 𝑆. Do đó, 𝑆=𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶+𝐶. 

Chúng ta biết rằng tổng của tất cả các số hạng của hàng này sẽ bằng 2. Do đó, 𝑆+𝑆=2. Bây giờ chúng ta muốn tìm một biểu thức khác theo 𝑆 và 𝑆 để có thể giải 𝑆. Sử dụng định lý nhị thức, (𝑎+𝑏)=𝐶𝑎+𝐶𝑎𝑏+𝐶𝑎𝑏+⋯+𝐶𝑎𝑏+⋯+𝐶𝑎𝑏+𝐶𝑏, . 0=𝐶−𝐶+𝐶−𝐶+𝐶+⋯+𝐶−𝐶.  𝑎=1, 𝑏=−1, and 𝑛=999 as follows: 0=𝐶−𝐶+𝐶−𝐶+𝐶+⋯+𝐶−𝐶.

Chúng ta có thể viết lại thành 0=𝑆−𝑆. 

𝑆+𝑆=2 nên chúng ta có thể cộng hai phương trình này lại để được 2𝑆=2. 

Do đó, 𝑆=2. Do đó, tổng của mọi phần tử khác trong hàng thứ 1‎ ‎000 của tam giác Pascal là 2.

Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa tam giác Pascal và tổ hợp. Chúng ta có thể coi tam giác Pascal là một đồ thị trong đó mỗi mục đại diện cho một nút. Tại mỗi nút, chúng ta có quyền lựa chọn đi sang trái hoặc sang phải. Với ý tưởng này, các mục trong tam giác của Pascal có thể được hiểu là số đường dẫn riêng biệt dẫn qua biểu đồ từ phần tử trên cùng đến phần tử đã cho. Ví dụ: nếu chúng ta xem xét phần tử thứ ba của hàng thứ tư, chúng ta có thể thấy có ba đường dẫn riêng biệt để đi từ đỉnh của tam giác đến phần tử đã cho

Chúng ta có thể sử dụng tính chất này để giải các bài toán tổ hợp và xác suất như ví dụ tiếp theo sẽ chứng minh

Ví dụ 7. Tam giác Pascal và Tổ hợp

Ramy đang chơi một trò chơi trong đó một quả bóng được thả vào một loạt các chốt, từ phía trên chốt trên cùng theo phương thẳng đứng và nó nảy xuống các thùng được đánh số ở phía dưới

Anh ta chỉ nhận được giải thưởng nếu nó rơi vào thùng 3 hoặc 7. Tìm xác suất để anh ta nhận được một giải thưởng biết rằng có một xác suất chẵn là nó sẽ rơi về bên trái hoặc bên phải của bất kỳ chốt đã cho nào

Câu trả lời

Xác suất để một quả bóng kết thúc trong một nhóm cụ thể sẽ bằng số đường đi có thể đến nhóm đó chia cho tổng số đường đi qua mảng. Nhớ lại rằng các phần tử của tam giác Pascal có thể được hiểu là số đường đi có thể đi qua tam giác. Do đó, số lượng đường dẫn đến mỗi nhóm có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng tam giác pascal. Trong hình đã cho, chúng ta có 9 thùng. Do đó, chúng tôi muốn xem xét hàng thứ chín của tam giác Pascal, là hàng mà 𝑛=8. Chúng ta có thể viết hàng này ra bằng cách sử dụng công thức chung cho các mục nhập hoặc chỉ cần sao chép chín hàng đầu tiên của tam giác. Ở đây chúng ta sẽ sử dụng công thức chung.

Hàng thứ chín của tam giác Pascal được biểu diễn bên dưới. 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

Đánh giá mỗi trong số này có thể thể hiện các yếu tố của hàng này như sau. 18285670562881

Chúng ta có thể viết số lượng đường dẫn đến mỗi nhóm trong sơ đồ như sau

Để tìm tổng số đường dẫn, chúng ta có thể cộng các số này lại với nhau hoặc sử dụng thực tế là tổng các phần tử của hàng thứ (𝑛+1) là 2. Do đó, tổng số đường dẫn qua mảng là 2. Do đó, xác suất để quả bóng rơi vào thùng thứ ba là 282=764. Tương tự, xác suất để quả bóng rơi vào thùng thứ bảy cũng là 282=764. Do đó, xác suất để Ramy giành được giải thưởng là tổng của các. 764+764=732.

Còn nhiều mẫu và tính chất thú vị khác của tam giác Pascal. Ví dụ, thật thú vị khi khám phá các mẫu mà chúng ta có được bằng cách xem xét vị trí của tất cả các số lẻ trong tam giác Pascal hoặc mối liên hệ giữa tam giác Pascal và lũy thừa của 11

Những số nào nằm trên đường chéo thứ hai của tam giác Pascal?

Các số ở đường chéo thứ hai là số tam giác . Một số tam giác là một số có thể tạo ra một mô hình chấm tam giác đều. Ví dụ: 1, 3, 6, 10 và 15 là các số tam giác.

Các đường chéo trong tam giác Pascals là gì?

Các đường chéo của tam giác Pascal chứa các số đơn giản. Các đường chéo dọc theo cạnh trái và phải chỉ chứa các số 1. Các đường chéo cạnh các đường chéo cạnh chứa các số tự nhiên theo thứ tự. Di chuyển vào trong, cặp đường chéo tiếp theo chứa các số tam giác theo thứ tự

Số hạng thứ hai trong hàng của tam giác Pascal là gì?

Hàng đầu tiên, hay chỉ 1, cho hệ số khai triển của (x + y)0 = 1; . 1 1, gives the coefficients for (x + y)1 = x + y; the third row, or 1 2 1, gives the coefficients for (x + y)2 = x2 + 2xy + y2; and so forth.

Các mục trên hàng thứ 13 của tam giác pascal là gì?

Năm mục đầu tiên trong Hàng 13 của Tam giác Pascal là 1, 13, 78, 286 và 715 . Xác định năm mục đầu tiên trong Hàng 14.