Xin chào tất cả các bạn, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách xét dấu tam thức bậc hai.
Tương tự như việc xét dấu nhị thức, việc xét dấu tam thức bậc hai là việc làm rất thường gặp khi giải toán, đặc biệt là khi giải các dạng toán như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình, hệ bất phương trình, …
Và ở trong bài viết này mình sẽ trình bày với các bạn 4 cách khác nhau để thực hiện xét dấu tam thức bậc 2, tùy thuộc vào thói quen, bài toán cụ thể mà các bạn hãy cân nhắc lựa chọn sao cho phù hợp nhé.
I. Tam thức bậc hai là biểu thức như thế nào?
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng $f[x]=ax^2+bx+c$ với $a \in R^*, b \in R, c \in R$
Một cách nôm na ta có thể hiểu tam thức bậc hai là đa thức có ba số hạng.
Ví dụ: $f[x]=x^2-3x+2, g[x]=x^2-2x+1, h[x]=x^2+2x+3$ là những tam thức bậc hai.
II. Cách xét dấu của tam thức bậc hai
Okay, bây giờ chúng ta sẽ đi qua từng mục nhé, cũng rất đơn giản thôi các bạn ạ !
#1. Bảng xét dấu tam thức
Trường hợp 1. $\Delta0$ và $x_1, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của tam thức bậc hai $f[x]=ax^2+bx+c$
Giả sử $x_10$ với mọi $x \in [-\infty, +\infty]$
Cách 2. $h[x]=x^2+2x+3=[x+1]^2+2>0$ với mọi $x \in [-\infty, +\infty]$
III. Xét dấu tích, thương các tam thức bậc hai
Tương tự tích, thương của các nhị thức bậc nhất, ta cũng có thể xét dấu tích, thương của các tam thức bậc hai một cách khá là đơn giản.
Ví dụ 5. Xét dấu $f[x]=\frac{[x^2-3x+2][x^2-2x+1]}{x^2+2x+3}$
Lời giải:
Vì $x^2+2x+3=[x+1]^2>0$ mọi $x \in [-\infty, +\infty]$ nên f[x] xác định với mọi $x \in [-\infty, +\infty]$
Các tam thức $x^2-3x+2, x^2-2x+1$ có các nghiệm lần lượt là $1, 2, 1$ [nghiệm kép]
Các nghiệm được viết theo thứ tự tăng dần là $1, 2$
Các nghiệm này chia khoảng $[-\infty, +\infty]$ thành ba khoảng là $[-\infty, 1]; [1,2]; [2, +\infty]$
Vậy …
- $f[x]>0$ khi $x \in [-\infty, 1] \cup [2, +\infty]$
- $f[x] 0 và
III. Một số bài toán áp dụng dấu của tam thức bậc hai
Bài toán 1: Cho tam thức bậc hai sau và tiến hành xét dấu:
f [x] =
ta có
→ phương trình f [x] = 0 có hai nghiệm
Lập bảng xét dấu: “Trong trái ngoài cùng”
Như vậy:
f [x] < 0 → x
f [x] > 0 → x
Bài toán 2: Xét dấu tam thức bậc 2:
a]
b]
c]
d] [2x - 3][x + 5]
Hướng dẫn
a] Tam thức f[x] = có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f[x] cùng dấu với hệ số a.
Mà a = 5 > 0
Do đó f[x] > 0 với ∀ x ∈ R.
b] Tam thức f[x] = có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.
Tam thức có hai nghiệm phân biệt , hệ số a = –2 < 0
Ta có bảng xét dấu sau
Như vậy f[x] > 0 khi x ∈ [–1; ]
f[x] = 0 khi x = –1 ; x =
f[x] < 0 khi x ∈ [–∞; –1] ∪ [; +∞]
c] Tam thức f[x] = có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.
Ta có bảng xét dấu sau
Như vậy f[x] > 0 với ∀ x ≠ –6
f[x] = 0 khi x = –6
d] f[x] = [2x – 3][x + 5] = + 7x – 15
Tam thức f[x] = + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt , hệ số a = 2 > 0.
Ta có bảng xét dấu sau
Như vậy f[x] > 0 khi x ∈ [–∞; –5] ∪ [; +∞]
f[x] = 0 khi x = –5 ; x =
f[x] < 0 khi x ∈ [–5; ]
Một số bài tập tự áp dụng để rèn luyện
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f [x] = m+ [m – 1]x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn
⇒ Đáp án: phương trình có hai nghiệm thoả mãn ⇔