Phương trình đẳng cấp lượng giác

Phương trình đẳng cấp bậc hai. Là phương trình lượng giác có dạng $$a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x +  = d\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]$$

Cách giải 1. Dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi $${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2};{\rm{  }}{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2};\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.$$ Thay vào $\left[ 1 \right]$ ta được phương trình bậc nhất đối với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.

Cách giải 2. Xét hai trường hợp

TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào $\left[ 1 \right]$ xem có thoả hay không.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của $\left[ 1 \right]$ cho $\cos x$ để đưa về phương trình bậc $2$ theo $\tan x$.

Giải. Cách 1. $\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 3\frac{{1 + \cos 2x}}{2} - 2 = 0\\ \,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\, \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0\\ {\rm{     }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left[ {2x + \frac{\pi }{4}} \right] + 1 = 0\\ {\rm{    }} \Leftrightarrow \sin \left[ {2x + \frac{\pi }{4}} \right] =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ {\rm{    }} \Leftrightarrow \sin \left[ {2x + \frac{\pi }{4}} \right] = \sin \left[ { - \frac{\pi }{4}} \right]\\ {\rm{   }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ 2x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\\ {\rm{   }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.{\rm{   }} \end{array}$

Cách 2. Ta xét $2$ trường hợp

TH1: Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$ thoả $\left[  *  \right]$ nên $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ là nghiệm của $\left[  *  \right]$. TH2: Với $\cos x \ne 0$, chia hai vế của $\left[  *  \right]$ cho ${\cos ^2}x$ ta được $$\begin{array}{l} \left[  *  \right] \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - 2\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right] = 0\\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x =  - 1\\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x = \tan \left[ { - \frac{\pi }{4}} \right]\\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi .

\end{array}$$ Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$

[nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán]
 

Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao. Cũng giống như phương trình đẳng cấp bậc hai, phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao có thể giải như sau: Xét hai trường hợp

TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào PT xem có thoả hay không.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của PT cho luỹ thừa cao nhất của phương trình đối với $\cos x$ để đưa về phương trình bậc cao theo $\tan x$.
 

Ví dụ 1. Giải phương trình ${\cos ^3}x - 4{\sin ^3}x - 3\cos x{\sin ^2}x + \sin x = 0{\rm{    }}\left[  *  \right]$
 

Giải. Ta xét hai trường hợp

TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \sin x =  - 1

\end{array} \right..$

Với $\cos x = 0,\sin x = 1$, thay vào $\left[  *  \right]$ ta được $\left[  *  \right] \Leftrightarrow  - 4 + 1 = 0$, vô lý.
Với $\cos x = 0,\sin x =  - 1$, thay vào $\left[  *  \right]$ ta được $\left[  *  \right] \Leftrightarrow 4 - 1 = 0$, vô lý.

Vậy $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ không là nghiệm của $\left[  *  \right]$. TH2: $\cos x \ne 0,$ chia hai vế của $\left[  *  \right]$ cho ${\cos ^3}x$ ta được $$\begin{array}{l} {\rm{     }}1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\  \Leftrightarrow 1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right] = 0\\  \Leftrightarrow 4{\tan ^3}x + 2{\tan ^2}x - 2 = 0.\\  \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi . \end{array}$$

Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$

[nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán]