Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng.

A. Phương pháp giải

Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên

Suy ra 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Mà d’ không vuông góc với (P)

=>Véc tơ chỉ phương của d là 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

A.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

C.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

D.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

d đi qua điểm M (1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d':

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

A .

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

C.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng ( Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

d đi qua điểm M (0; 1; 2)

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn C.

Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng (P) : y- 2z- 1= 0 và đường thẳng Δ : 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng
 . Phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua điểm B( 2 ; 2 ; - 2) song song với (P) và vuông góc với Δ là

A.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

C.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

D.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Gọi ud→ là vectơ chỉ phương của d.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Vậy phương trình chính tắc của d là: 

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x+ y- 5z+ 1= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1;1;1) song song với ( P) và vuông góc với trục tung là

A.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

C.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

D.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Trục tung Oy có vectơ chỉ phương 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng
 .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng
 .

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với trục tung nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng
 .

Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Vậy phương trình của d là: 

Chọn D.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt cầu (S): x2 +(y-1)2 +(z+ 2)2 = 4. Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu (S), song song với mặt phẳng (P): x+ y- 2z= 0 và vuông góc với đường thẳng Δ: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng
 là.

A.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

C.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

D.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Hướng dẫn giải

+ Tâm của mặt cầu ( S) là I( 0 ;1 ; -2) .

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng
 .

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

+ Đường thẳng d đi qua điểm I( 0 ; 1 ; -2) và có vectơ chỉ phương là :

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Vậy phương trình của d là 

Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5= 0 và hai điểm A(-3; 0; 1); B( 1; -1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

A.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

C.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

D.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cần tìm

+ Gọi mặt phẳng (Q) qua A( -3; 0;1) và song song với (P).

Khi đó: (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta được : -3- 2.0+ 2.1+ D= 0 ⇔ D = 1

Vậy phương trình ( Q): x- 2y + 2z +1= 0

+ Gọi K; H lần lượt là hình chiếu của B lên d; (Q).

Ta có: d( B; d) = BK ≥BH

Do đó AH là đường thẳng cần tìm.

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

BH qua B và có vectơ chỉ phương 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

=> Phương trình đường thẳng BH là:

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( -3; 0; 1) và có vectơ chỉ phương 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 2; 0; 0); B( 0; 3; 0) và C( 0; 0; 1); đường thẳng d:

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng
 . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M (-1; 2; 0)song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.

A.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

C.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( P):

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm M(-1 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Vậy phương trình của Δ là 

Chọn A.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 1; 2; 1); B( -2; 1; 0) và C( 0; 0; 1) . Đường thẳng d có phương trình : 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng
 . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 0; 0; -3) và song song với (P); vuông góc với đường thẳng d.

A.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

B.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

C.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

D.

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Hướng dẫn giải

+ Ta tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Ta có: 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm M( 0; 0; - 3) và có vectơ chỉ phương là :

Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng

Vậy phương trình của Δ là 

Chọn B.