Phương trình hai mặt phẳng vuông góc

1. Kiến thức cần nhớ

a] Định nghĩa

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \[{90^0}\].

Kí hiệu \[\left[ P \right] \bot \left[ Q \right]\].

b] Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

c] Tính chất

- Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia.

- Nếu hai mặt phẳng \[\left[ P \right],\left[ Q \right]\] vuông góc với nhau và \[A \in \left[ P \right]\] thì đường thẳng \[a\] qua \[A\] và vuông góc với \[\left[ Q \right]\] sẽ nằm trong \[\left[ P \right]\].

- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

- Qua đường thẳng \[a\] không vuông góc với mặt phẳng \[\left[ Q \right]\], có duy nhất một mặt phẳng \[\left[ P \right]\] vuông góc với \[\left[ Q \right]\].

2. Bài toán về quan hệ vuông góc

a] Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Phương pháp chung:

Tìm một đường thẳng \[a\] nằm trong mặt phẳng \[\left[ P \right]\] mà \[a \bot \left[ Q \right]\].

Ví dụ: Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB \bot \left[ {BCD} \right]\]. Gọi \[E\] là hình chiếu của \[B\] trên \[CD\]. Chứng minh \[\left[ {ABE} \right] \bot \left[ {ACD} \right]\].

Giải:

Để chứng minh \[\left[ {ACD} \right] \bot \left[ {ABE} \right]\] ta sẽ tìm một đường thẳng trong mặt phẳng này mà nó vuông góc với mặt phẳng kia.

Thật vậy,

Ta có: \[AB \bot \left[ {BCD} \right] \Rightarrow AB \bot CD\].

Lại có \[BE \bot CD\] nên \[CD \bot \left[ {ABE} \right]\].

Mà \[CD \subset \left[ {ACD} \right]\] nên \[CD\] chính là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \[\left[ {ACD} \right]\] mà vuông góc với \[\left[ {ABE} \right]\].

Vậy \[\left[ {ACD} \right] \bot \left[ {ABE} \right]\].

b] Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Phương pháp chung:

Ngoài một số phương pháp đề cập từ bài trước, ta có thể sử dụng thêm một trong các phương pháp dưới đây:

+] Chứng minh \[a \subset \left[ Q \right]\] với \[\left[ Q \right] \bot \left[ P \right]\] và \[a\] vuông góc với giao tuyến của \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\].

+] Chứng minh \[a\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ Q \right],\left[ R \right]\] mà cùng vuông góc với \[\left[ P \right]\].

1. Góc giữa hai mặt phẳng.

    Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

    Cách xác định góc giữa hai đường thẳng:

\[[P] ∩ [Q] = c\]. Trong \[[P]\] từ \[I ∈ c\] vẽ \[a ⊥ c\]; trong \[[Q]\] từ \[I\] vẽ \[b ⊥ c\]. Góc giữa \[a\] và \[b\] là góc giữa \[mp[P]\] và \[mp[Q]\] [h.3.41].

    Diện tích hình chiếu của một đa giác.

    Cho đa giác \[H\] thuộc \[mp[Q]\]. Gọi đa giác \[H'\] là hình chiếu của đa giác \[H\] lên \[mp[P]\]; \[α =  \widehat{[P; Q]}.\] Khi đó \[S_{H'}=S_{H}.cos\alpha .\]

2. Hai mặt phẳng vuông góc 

    Định nghĩa: 

    Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \[90^{0}.\]

    Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

    Hệ quả 1

    Nếu hai mặt phẳng \[[P]\] và \[[Q]\] vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng \[a\] nào nằm trong mặt phẳng \[[P]\], vuông góc với giao tuyến của \[[P]\] và \[[Q]\] đều vuông góc với mp \[[Q]\].

     Hệ quả 2

     Nếu hai mặt phẳng \[[P]\] và \[[Q]\] vuông góc với nhau và \[A\] là một điểm nằm trong \[[P]\] thì đường thẳng \[a\] đi qua điểm \[A\] và vuông góc với \[[Q]\] sẽ nằm trong \[[P]\].

     Hệ quả 3

     Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

     . Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

     . Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

     . Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đấy là hình chữ nhật.

     . Hình lập phương là hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông.

4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.

     Hình chóp đều:

     - Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là 1 đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đấy.

     - Hình chóp đều có các mặt cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

     Hình chóp cụt đều:

     Phần nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy của hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều.

Loigiaihay.com

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa

Cho mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$. Nếu vectơ $\overrightarrow n  \ne 0$ và có giá vuông góc với mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ thì $\overrightarrow n $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\alpha $

.

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa

Phương trình có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

* Nhận xét:

a] Nếu mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ có phương trình tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]$.

b] Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${M_o}\left[ {{x_o};{y_o};{z_o}} \right]$ nhận vectơ $\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]$ làm vectơ pháp tuyến là $A\left[ {x - {x_o}} \right] + B\left[ {y - {y_o}} \right] + C\left[ {z - {z_o}} \right] = 0$.

2. Các trường hợp riêng

Vị trí đặc biệt của mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ so với trục tọa độ:

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

$\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right]//\left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_1}}  = k\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} \ne k{D_2}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {{A_1};{B_1};{C_1}} \right] = k\left[ {{A_2};{B_2};{C_2}} \right]}\\{{D_1} \ne k{D_2}}\end{array}} \right.\end{array}\\\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right] \equiv \left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_1}}  = k\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} = k{D_2}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {{A_1};{B_1};{C_1}} \right] = k\left[ {{A_2};{B_2};{C_2}} \right]}\\{{D_1} = k{D_2}}\end{array}} \right.\end{array}

\end{array}$

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

$\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right] \bot \left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\\ \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0

\end{array}$

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm ${M_o}\left[ {{x_o};{y_o};{z_o}} \right]$. Khoảng cách từ điểm ${M_o}$ đến mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$, kí hiệu là $d\left[ {{M_o},\left[ \alpha  \right]} \right]$, được tính theo công thức:

 $d\left[ {{M_o},\left[ \alpha  \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Page 2

SureLRN