Tập hợp rỗng kí hiệu như thế nào

Trong toán học, và cụ thể hơn là lý thuyết tập hợp, tập hợp rỗng [hay còn gọi là tập rỗng] là tập hợp duy nhất không chứa phần tử nào. Trong lý thuyết tập hợp tiên đề [axiomatic set theory], tiên đề về tập rỗng thừa nhận sự tồn tại của tập rỗng, và mọi tập hữu hạn đều được xây dựng từ tập rỗng.

Phần tử rỗng là gì?

Trong toán học, phần tử rỗng là một trong các tổng quát hóa của số không đến các cấu trúc đại số khác. Tùy thuộc vào ngữ cảnh mà ý nghĩa phần tử không trong các cấu trúc đại số khác thay đổi.

Bạn đang xem: Tập hợp rỗng là gì

Ký hiệu tập hợp rỗng

Ký hiệu chuẩn cho tập rỗng là

∅

{displaystyle varnothing }

hoặc ∅, do nhóm Bourbaki [cụ thể là André Weil] đưa ra năm 1939.[1] Các ký hiệu này không nên bị nhầm lẫn với nguyên âm Øø của các ngôn ngữ vùng Scandinavia và chữ cái Hy Lạp Φ. Một ký hiệu thông dụng khác cho tập rỗng là {}.

Để so sánh, ta đặt ba ký hiệu cạnh nhau: ∅ Øø Φ – ký hiệu tập rỗng [ký hiệu đầu tiên] được dựa trên một đường tròn hình học, trong khi chữ cái Scandinavia giống như một chữ hình ôval ‘O’.

Tập rỗng “∅” có mã unicode U+2205. Mã soạn thảo bằng TeX là emptyset và varnothing, cho ra các hình tương ứng là:

∅ , ∅

Đọc thêm: Chạy deadline tiếng anh là gì

{displaystyle emptyset ,varnothing }

Tập rỗng có tập con không?

Theo định nghĩa trên, tập rỗng [ký hiệu ∅] và chính tập B là tập con của nó. Như vậy mọi tập hợp khác rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Tập rỗng chỉ có một tập con là rỗng. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Tính chất

[Ở đây ta sử dụng các ký hiệu toán học]

• Với bất kỳ tập A, tập rỗng là tập con của A.

  ∀ A : ∅ ⊂ A

  {displaystyle forall A:emptyset subset A}

• Với bất kỳ tập A, hợp của A với tập rỗng là A:

  ∀ A : A ∪ ∅ = A

  {displaystyle forall A:Acup emptyset =A}

• Với bất kỳ tập A, giao của tập A với tập rỗng là tập rỗng:

  ∀ A : A ∩ ∅ = ∅

  {displaystyle forall A:Acap emptyset =emptyset }

• Với bất kỳ tập A, tích Descartes của A với tập rỗng là tập rỗng:

  ∀ A : A × ∅ = ∅

  Đang hot: Hướng dẫn, thủ thuật về Mạng xã hội | Hỏi gì?

  {displaystyle forall A:Atimes emptyset =emptyset }

• Chỉ có một tập con duy nhất của tập rỗng là chính tập rỗng:

  ∀ A : A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

  {displaystyle forall A:Asubseteq emptyset Rightarrow A=emptyset }

• Số phần tử của tập rỗng [tức là lực lượng] là không [0]; nói riêng, tập rỗng là tập hợp hữu hạn:

  |

  ∅

  |

  =

  {displaystyle |emptyset |=0}

• Với bất kì tính chất nào:

• Luôn đúng với mọi phần tử thuộc tập rỗng [sự thật hiển nhiên]
• Luôn sai với mọi phần tử thuộc tập rỗng

• Ngược lại, nếu với một tính chất nào đó mà hai mệnh đề sau đúng:

• Tính chất đúng với mọi phần tử thuộc V
• Tính chất không đúng với mọi phần tử thuộc V

thì

V = ∅

{displaystyle V=emptyset }

Tham khảo: Tôn trọng lẽ phải là gì

Chú thích

Xem thêm

• Các phép toán tập hợp
• Tập hợp tô pô
• Tập hợp metric
• Tập hợp rời rạc
• Tập hợp liên thông
• Tập hợp trù mật

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., “Empty Set” từ MathWorld.
• Tập hợp rỗng tại Từ điển bách khoa Việt Nam

Khi không có gì có thể là một cái gì đó? Nó có vẻ như là một câu hỏi ngớ ngẩn, và khá ngược đời. Trong lĩnh vực toán học của lý thuyết tập hợp, không có gì là một cái gì đó khác hơn là không có gì là thông thường. Làm sao có thể?

Khi chúng ta tạo thành một tập hợp không có phần tử, chúng ta không còn gì cả. Chúng tôi có một bộ không có gì trong đó. Có một tên đặc biệt cho tập hợp không chứa phần tử nào. Đây được gọi là tập hợp rỗng hoặc rỗng.

Định nghĩa của tập trống là khá tinh tế và đòi hỏi một chút suy nghĩ. Điều quan trọng cần nhớ là chúng ta nghĩ về một tập hợp như một tập hợp các phần tử. Bản thân tập hợp này khác với các phần tử mà nó chứa.

Ví dụ, chúng ta sẽ xem xét {5}, là một tập hợp chứa phần tử 5. Tập hợp {5} không phải là một số. Nó là một tập hợp với số 5 là một phần tử, trong khi 5 là một số.

Theo một cách tương tự, tập hợp rỗng không phải là không có gì. Thay vào đó, nó là tập hợp không có phần tử. Nó giúp ích cho việc coi các tập hợp là các thùng chứa, và các phần tử là những thứ mà chúng ta đưa vào chúng. Một vùng chứa rỗng vẫn là một vùng chứa và tương tự như tập hợp rỗng.

Tập hợp rỗng là duy nhất, đó là lý do tại sao nói về tập hợp rỗng là hoàn toàn thích hợp hơn là tập hợp rỗng. Điều này làm cho tập hợp trống khác biệt với các tập hợp khác. Có vô số tập hợp với một phần tử trong chúng. Các tập hợp {a}, {1}, {b} và {123} mỗi tập có một phần tử và do đó chúng tương đương với nhau. Vì bản thân các phần tử khác nhau nên các tập hợp không bằng nhau.

Không có gì đặc biệt về các ví dụ ở trên, mỗi ví dụ có một phần tử. Với một ngoại lệ, đối với bất kỳ số đếm hoặc số vô hạn nào, có vô số bộ có kích thước đó. Ngoại lệ là đối với số không. Chỉ có một tập hợp, tập hợp rỗng, không có phần tử nào trong đó.

Chứng minh toán học của thực tế này không khó. Đầu tiên chúng ta giả định rằng tập hợp rỗng không phải là duy nhất, rằng có hai tập hợp không có phần tử nào trong chúng, và sau đó sử dụng một vài tính chất từ ​​lý thuyết tập hợp để chỉ ra rằng giả thiết này ngụ ý mâu thuẫn.

Tập hợp trống được ký hiệu bằng ký hiệu ∅, xuất phát từ một ký hiệu tương tự trong bảng chữ cái Đan Mạch. Một số sách đề cập đến tập hợp trống bằng tên thay thế của tập hợp rỗng.

Vì chỉ có một tập hợp trống, nên cần xem điều gì sẽ xảy ra khi các phép toán giao, hợp và phần bù được sử dụng với tập rỗng và tập tổng quát mà chúng ta sẽ ký hiệu là X. Cũng rất thú vị khi xem xét tập hợp con của tập hợp rỗng và khi nào thì tập hợp rỗng là tập hợp con. Những dữ kiện này được thu thập dưới đây:

• Giao của bất kỳ tập hợp nào với tập hợp rỗng là tập hợp rỗng. Điều này là do không có phần tử nào trong tập hợp rỗng và do đó hai tập hợp không có phần tử nào chung. Trong các ký hiệu, chúng ta viết X ∩ ∅ = ∅.
• Hợp nhất của bất kỳ tập hợp nào với tập hợp trống là tập hợp mà chúng ta đã bắt đầu. Điều này là do không có phần tử nào trong tập hợp trống và vì vậy chúng tôi không thêm bất kỳ phần tử nào vào tập hợp khác khi chúng tôi tạo thành liên hợp. Trong các ký hiệu, chúng ta viết X U ∅ = X.
• Phần bù của tập hợp trống là tập hợp phổ quát cho thiết lập mà chúng ta đang làm việc. Điều này là do tập hợp của tất cả các phần tử không nằm trong tập hợp trống chỉ là tập hợp của tất cả các phần tử.
• Tập hợp rỗng là tập hợp con của bất kỳ tập hợp nào. Điều này là do chúng ta tạo thành các tập con của một tập X bằng cách chọn [hoặc không chọn] các phần tử từ X. Một tùy chọn cho tập hợp con là không sử dụng bất kỳ phần tử nào từ X. Điều này cho chúng ta tập hợp trống.

Content from WikiPedia website
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License; additional terms may apply.