Tích phân hai lớp bằng cách đổi biến trong tọa độ cực

Đổi biến để tính tích phân là nội dung quan trọng hỗ trợ chúng ta tính được tích phân dễ dàng hơn cách thông thường.

Ta cần tìm $\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy $.

Thực hiện phép đổi biến $$\left\{\begin{array}{l} {x=x[u,v]} \\ {y=y[u,v]} \end{array}\right. \label{3.1.7}\tag{*}$$ Giả sử 

1. Các hàm $x[u,v];{\rm \; }y[u,v]$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng $D'$ nằm trong mặt phẳng $Ouv$.
2. Các công thức \eqref{3.1.7} xác định 1 song ánh từ $D'$ lên $D$.
3. $$ J=\frac{D[x,y]}{D[u,v]} =\left|\begin{array}{cc} {x'_{u} } & {x'_{v} } \\ {y'_{u} } & {y'_{u} } \end{array}\right|\ne 0,{\rm \; \; }\forall [u,v]\in D'.$$ 

 Khi đó ta có công thức đổi biến trong tính tích phân bội hai: $$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\iint\limits_{D'}f[x[u,v],y[u,v]]|J|dudv.\label{3.1.8}\tag{7}$$

Ví dụ 5. Tính  $\iint\limits_{D}[x+y][x-y]^{2} dxdy $ với $D$ được giới hạn bởi các đường: $x+y=1;{\rm \; }x+y=3;{\rm \; }x-y=0;{\rm \; }x-y=1$.

Hướng dẫn.

Thực hiện phép đổi biến $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y} \\ {v=x-y} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{1}{2} [u+v]} \\ {y=\frac{1}{2} [u-v]} \end{array}\right..$

Xác định miền $D'$: $D'=\left\{[u,v]\in \mathbb{R}^{2} |1\le u\le 3;0\le v\le 1\right\}$.

Dễ thấy phép đổi biến trên xác định một song ánh từ $D'$ lên $D$.

Ta có $J=\dfrac{D[x,y]}{D[u,v]} =\left|\begin{array}{cc} {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right|=-\dfrac{1}{2} \ne 0$.

Vậy, $$\iint\limits_{D}[x+y][x-y]^{2} dxdy =\iint\limits_{D'}u.v^{2} |J|dudv =\dfrac{1}{2} \int\limits_{1}^{3}udu \int\limits_{0}^{1}v^{2} dv =\dfrac{2}{3}.$$

Chú ý. Nếu ta thực hiện phép đổi biến $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y} \\ {v=x-y} \end{array}\right..$ 

Ta vẫn có miền $D'=\left\{[u,v]\in {\rm R}^{2} |1\le u\le 3;0\le v\le 1\right\}$.

Dễ thấy phép đổi biến trên vẫn xác định một song ánh từ $D'$ lên $D$.

Và $\dfrac{1}{J} =\dfrac{D[u,v]}{D[x,y]} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right|=-2\ne 0$.

Vậy, $$\iint\limits_{D}[x+y][x-y]^{2} dxdy =\iint\limits_{D'}u.v^{2} |J|dudv =\dfrac{1}{2} \int\limits_{1}^{3}udu \int\limits_{0}^{1}v^{2} dv =\dfrac{2}{3}.$$

Công thức tính. 

Để tìm mối liên hệ giữa các tọa độ Đề các $[x,y]$ và các tọa độ cực $[r,\varphi ]$ của cùng một điểm $M$, ta dựng hệ trục tọa độ Đề các có gốc tại cực, trục hoành trùng trục cực.

Theo định lý về phép chiếu vuông góc ta có  $\left\{\begin{array}{l} {x=r\cos \varphi } \\ {y=r\sin \varphi } \end{array}\right. $ [**]

Nếu $r>0;{\rm \; }\varphi \in {\rm [}0,2\pi {\rm ]}$ thì [**] xác định một song ánh giữa các tọa độ Đề các và các tọa độ cực [riêng điểm $O[0,0]$ có $r=0;{\rm \; }\varphi $ tùy ý]

Do đó ta có thể xem [**] như một phép đổi biến.

 Ta có $J=\dfrac{D[x,y]}{D[r,\varphi ]} =\left|\begin{array}{cc} {\cos \varphi } & {-r\sin \varphi } \\ {\sin \varphi } & {r\cos \varphi } \end{array}\right|=r\ne 0$  [trừ điểm  $O[0,0]$]

Do đó, ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực:

$$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\iint\limits_{D'}f[r\cos \varphi ,r\sin \varphi ]rd\varphi dr.\label{3.1.9}\tag{8}$$

Chú ý. 

1. Công thức \eqref{3.1.9} vẫn đúng trong trường hợp  chứa gốc $O[0,0]$.
2. Nếu $D$ được giới hạn bởi  $\left\{\begin{array}{l} {r_{1} [\varphi ]\le r\le r_{2} [\varphi ]} \\ {\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} } \end{array}\right.$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực: $$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\int _{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }d\varphi \int _{r_{1} [\varphi ]}^{r_{2} [\varphi ]}f[r\cos \varphi ,r\sin \varphi ]rdr\label{3.1.10}\tag{9}.$$
3. Nếu $D$  là hình tròn tâm trùng cực, bán kính $R$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực:   $$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{R}f[r\cos \varphi ,r\sin \varphi ]rdr\label{3.1.11}\tag{10}.$$
4. Nếu $D$ được giới hạn bởi $\left\{\begin{array}{l} {r_{1} \le r\le r_{2} } \\ {\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} } \end{array}\right. $ và  $f[r\cos \varphi ,r\sin \varphi ]=f_{1} [\varphi ].f_{2} [r]$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực như sau: $$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\int _{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }f_{1} [\varphi ]d\varphi \int _{r_{1} }^{r_{2} }f_{2} [r]rdr\label{3.1.12}\tag{11}.$$

Ví dụ 6. 

Tính tích phân $\iint\limits_{D}[x^{2} +y^{2} ]dxdy $ với $D$ là hình tròn $[O,2]$.

Hướng dẫn. 

Chuyển sang tọa độ cực, ta có $$\iint\limits_{D}[x^{2} +y^{2} ]dxdy =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{2}r^{2} rdr =8\pi.$$