Tìm a DE phương trình có nghiệm nguyên

A.Lý thuyết

I. Các kiến thức liên quan:

 1] Tính chất chia hết của số nguyên.

 2] Tính chất của số chính phương.

 3] Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

 4] Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 [ a  0] có 2 nghiệm x1; x2 thì :

 ax2 + bx + c = a[x – x1][x – x2].

II.Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên:

 - Phương pháp đánh giá

+Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến.

+Đưa về tổng các bình phương để đánh giá

 - Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.

 - Đổi vai trò của ẩn

 - Đưa về phương trình ước số.

- Tham số hóa để đưa về phương trình ước số.

 - Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên.

 - Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét.

Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương trình bậc hai với nghiệm nguyên, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI NGHIỆM NGUYÊN A.Lý thuyết I. Các kiến thức liên quan: 1] Tính chất chia hết của số nguyên. 2] Tính chất của số chính phương. 3] Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4] Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 [ a ¹ 0] có 2 nghiệm x1; x2 thì : ax2 + bx + c = a[x – x1][x – x2]. II.Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên: - Phương pháp đánh giá +Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến. +Đưa về tổng các bình phương để đánh giá - Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương. - Đổi vai trò của ẩn - Đưa về phương trình ước số. - Tham số hóa để đưa về phương trình ước số. - Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên. - Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - xy + y2 = 2x - 3y - 2 [ 1] Giải: Coi [1] là phương trình bậc 2 đối với ẩn y ta được: y2 + [ 3 - x]y + [ x2 - 2x +2 ] = 0 [2] ∆ = - 3x2 + 2x + 1 Để phương trình [2] có nghiệm thì ∆ ≥ 0 Û - 3x2 + 2x + 1 ≥ 0 Û -1/3 ≤ x ≤ 1 mà x là số nguyên suy ra x Î{0; 1} +] Với x = 0 thay vào [2] ta được y2 + 3y + 2 = 0 ta có y1 = - 1; y2 = -2 +] Với x = 1 thay vào [2] ta được y2 + 2y + 1 = 0 ta có y3 = - 1 Kết luận: Vậy các nghiệm nguyên [x;y] của phương trình là : [0; -1]; [0; -2]; [1; -1] Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 3xy - x -y + 3 = 0 [1] Giải: Viết phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn x ta được x2 + [ 3y - 1]x + [ 2y2 - y + 3] = 0 [2] Có ∆ = y2 - 2y -11 Xét điều kiện cần để phương trình 2 có nghiệm nguyên : ∆ là số chính phương Û y2 - 2y -11 = k2 [ k ÎN] Û [y - 1]2 - k2 = 12 Û [ y - 1 +k][y - 1 - k] = 12 Do y - 1 + k và y - 1 - k cùng tính chẵn lẻ và y - 1 + k > y - 1 - k nên ta có bảng sau: y - 1 + k 6 -2 y - 1 - k 2 -6 y - 1 4 -4 y 5 -3 +] Với y = 5 thay vào phương trình [2] ta được x2 + 14x + 48 = 0 ta có x1 = -8; x2 = - 6 +] Với y = - 3 thay vào phương trình [2] ta được x2 - 10x + 24 = 0 ta có x3 = 6; x4 = 4 Kết luận: Nghiệm nguyên [x;y] của phương trình là: [ -8;5]; [-6;5]; [6;-3]; [4;-3]. Ví dụ 3:Cho phương trình: [ p là tham số] Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên. Giải: Phân tích: nếu ta coi là phương trình bậc 2 với ẩn x thì ∆ = -8p2-68p -131 đến đây ta chặn được p nhưng không thể tìm được p. Do đó ta cần đổi vai trò của ẩn Coi phương trình [*] là phương trình bậc hai ẩn p ta có: ∆’ = -2x2 + 5x -2.... Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - 2x - 11 = y2Û [x2 - 2x -1] - y2 = 12 Û [x - 1- y][x - 1+y] = 12.... Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x - 3y = 2xy -11Û [2x+3]y = 5x + 11 do x nguyên 2x + 3 ≠ 0 Þ y = 2+[x+5]/[2x+3] .... Ví dụ : Giải phương trình nghiệm nguyên [1] [ HSG Bắc Ninh 2012 – 2013] Coi là phương trình bậc 2 ẩn x ta được [x2]2 – x2 [y2 + 4] – 2y4 – 7y2 – 5 = 0 có D = [y2 + 4]2  - 4[– 2y4 – 7y2 – 5 ] = 9y4 + 36y2 +36 = [3y2 + 6]2 nên [1] Û.. NX: Nếu vế phải của [1] là số nguyên khác 0 ta được phương trình ước số. Ví dụ: Tìm các số nguyên dương thoả mãn [1] Nhận xét: Nếu coi phương trình [1] là phương trình bậc hai ẩn x ta được: 2x2 – x[y + 7] – y2 + 2y – 7 = 0 Có: D= [y +7]2 – 4.2[– y2 + 2y – 7 ] = 9y2 +2y + 105 Không thuận lợi. Do đó ta coi phương trình [1] là phương trình bậc hai ẩn y ta được: y2 + y[x – 2] – 2x2 – 7x + 7= 0 Có: D = [x – 2]2 – 4[– 2x2 – 7x + 7] = 9x2 +24x -24 D không là một bình phương vậy xử lý thế nào? Ví dụ 6:Cho phương trình : [m – 1 ]x2 - [ 2m + 1 ]x + m2 – 2m + 4 = 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên . Ví dụ 6: Tìm tất cả các số tự nhiên a sao cho phương trình : x2 - a2 x + a +1 = 0 có nghiệm nguyên . [ Bắc Ninh, ngày 14/7/2001] Giải: Với a = 0 phương trình đã cho vô nghiệm suy ra a Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của PT đã cho. Theo Vi-ét ta có: Với a nếu phương trình có 1 nghiệm nguyên thì nghiệm còn lại cũng là số nguyên Trừ từng vế của [1] và [2] ta được : Vì và nên: ≥ 1 và - 10; - 10[- 1][- 1] 00 Mà a + 1 > 0 2 - a 0a , do a 0 < a a +] Với a = 1 pt đã cho trở thành x2 - x + 2 = 0 [PT này vô nghiệm] +] Với a = 2 pt đã cho trở thành x2 - 4x + 3 = 0 PT này có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3 nguyên. Vậy với a = 2 thì PT đã cho có nghiệm nguyên. Bài tập: Bài 1:Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho với các giá trị đó phương trình : x2 + ax + a = 0 có nghiệm nguyên . Bài 2:Cho phương trình : [m – 1 ]x2 - [ 2m + 1 ]x + m2 – 2m + 4 = 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên . Bài 3:Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình: x 2 – [ 3 + 2a ] x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên. [Vào 10 Bắc Ninh năm học 2001 - 2002] Bài 4: Tìm x, y nguyên thoả mãn: 7x2 + 13y2 = 1820 Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2x6 – 2x3y + y2 = 64 Chuyên ngữ Hà Nội năm 2002 Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau: a] 2xy – 4x – y = 1 b] 2xy –x – y + 1 = 0 c]6x2 + 7y2 = 229 d] 8x2 – 5y2 + 10x + 4 = 0 Bài 7: Tìm các số hữu tỉ x để x2 + x + 6 là số chính phương. Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho: 2[x +y] + xy = x2 + y2 Sư phạm Hà Nội năm học 2007 - 2008

File đính kèm:

• Phuong trinh bac hai voi nghiem nguyen.doc

Phương trình có nghiệm là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm như nào? Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề phương trình có nghiệm là gì cũng như điều kiện giúp phương trình có nghiệm nhé!

Phương trình có nghiệm là gì?

Định nghĩa phương trình có nghiệm

• Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:

\[f[x_{1}, x_{2},…] = g[x_{1}, x_{2},…]\]     [1]

\[h[x_{1}, x_{2},…] = f[x_{1}, x_{2},…] – g[x_{1}, x_{2},…]\]     [2]

\[h[x_{1}, x_{2},…] = 0\]     [3]

\[ax^{2} + bx + c = 0\]     [4]

Trong đó \[x_{1}, x_{2}\],… được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình [1] có \[f[x_1,x_2,…]\] là vế trái, \[g[x_1,x_2,…]\] là vế phải.

Ở [4] ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.

• Nghiệm của phương trình là bộ \[x_{1}, x_{2},…\] tương ứng sao cho khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau.

Công thức tổng quát

• Phương trình \[f[x] = 0\] có a đươcj gọi là nghiêm của phương trình khi và chỉ khi \[\left\{\begin{matrix} x = a\\ f[a] = 0 \end{matrix}\right.\], điều này định nghĩa tương tự với các phương trình khác như \[f[x,y,z,..] = 0, a\in S \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\\ y = b\\ z = c\\ f[a,b,c] = 0 \end{matrix}\right.\]
• Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: \[S = \left \{ x,y,z,…\left. \right \}\right.\]

Điều kiện để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

• Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc 2 \[ax^{2} + bx + c = 0 [a\neq 0]\] có nghiệm \[x_{1}, x_{2}\] thì \[S = x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}; P=x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}\]

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2:

• Có 2 nghiệm dương là: \[\Delta \geq 0; P> 0; S> 0\]
• Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \geq 0; P> 0; S< 0\]
• Có 2 nghiệm trái dấu là: \[\Delta \geq 0; P< 0\]

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

• Cho hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} ax + by = c [d] [a^{2} + b^{2} \neq 0]\\ a’x + b’y = c’ [d’] [a’^{2} + b'{2} \neq 0] \end{matrix}\right.\]
• Hệ phương trình có một nghiệm \[\Leftrightarrow\] [d] cắt [d’] \[\Leftrightarrow \frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’} [a’,b’\neq 0]\]
• Hệ phương trình có vô số nghiệm \[\Leftrightarrow\] [d] trùng [d’] \[\Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} [a’,b’, c’\neq 0]\]
• Hệ phương trình vô nghiệm \[\Leftrightarrow [d]\parallel [d’] \Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’} [a’,b’,c’ \neq 0]\]

Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

• Phương trình \[\sin x = m\]
• Phương trình có nghiệm nếu \[\left | m \right |\leq -1\]. Khi đó ta chọn một góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\] thì nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\]
• Phương trình \[\cos x = m\]
• Phương trình có nghiệm nếu \[\left | m \right |\leq -1\]. Khi đó ta chọn một góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] thì nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\]
• Phương trình \[\tan x = m\]
• Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan x = m\]. Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
• Phương trình \[\csc x = m\]
• Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\]. Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Các dạng toán điều kiện phương trình có nghiệm

Dạng 1: Tìm điều kiện để cho phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình \[x^{2} – 2[m+3]x + 4m-1 =0\] [1]. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

Cách giải:

Phương trình [2] có hai nghiệm dương

\[\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [m+3]^{2} – [4m-1]\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2[m+3]>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [m+1]^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\]

Dạng 2: Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \[x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\] [1]

Cách giải:

Đặt \[x^{2} = y \geq 0\]. Điều kiện để phương trình [2] có nghiệm là phương trình \[y^{2} + my + 2m – 4 = 0\] [3] có ít nhất một nghiệm không âm.

Ta có: \[\Delta = m^{2} – 4[2m-4] = [m-4]^{2} \geq 0\] với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm \[x_{1}, x_{2}\] thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m

Điều kiện để phương trình [1] có hai nghiệm đều âm là:

\[\left\{\begin{matrix} P>0\\ S0\\ -m2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\]

Vậy điều kiện để phương trình [3] có ít nhất một nghiệm không âm là \[m\leq 2\]

\[\Rightarrow\] phương trình [2] có nghiệm khi \[m\leq 2\]

Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

\[\left\{\begin{matrix} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\]

Cách giải:

Từ phương trình thứ nhất ta có \[y = \frac{m+1-mx}{2}\]

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \[2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\]

\[\Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\]

\[x[m^{2} – 4] = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x[m-2][m+2] = [m – 2][m – 1]\]

Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm

Nếu \[\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\] thì \[x = \frac{m-1}{m+2}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Thay trở lại phương trình \[y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\]

\[\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ y = \frac{2m+1}{m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\]

Ta cần tìm \[m\in \mathbb{Z}\] sao cho \[x,y\in \mathbb{Z}\]

Nhìn vào công thức nghiệm ta có: \[\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \} \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\]

Các giá trị này thỏa mãn \[\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\]

Vậy \[m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\]

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

[Nguồn: www.youtube.com]

Xem thêm:

Please follow and like us: