Tìm m để bất phương trình logarit có nghiệm thuộc khoảng

Lời giải

Ta có ${{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{e}{2} \right)}^{2\text{x}-3m}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{3m-2\text{x}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2m\text{x}+1\ge 3m-2\text{x}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x-3m+1\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=1>0 \\  {} {\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 1-3m \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -5\le m\le 0$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Lời giải

Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt-m+3>0,\forall t>0$

$\Leftrightarrow m\left( t+1 \right)<{{t}^{2}}+3\Leftrightarrow m<\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=f\left( t \right),\forall t\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m<\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)$.

Ta có ${f}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t>0 \\  {} {{t}^{2}}+2t-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=1$.

Lời giải

Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: $3{{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t-2m-6<0$

$\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-3t-6\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}=f\left( t \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}$ trên $\left( 0;+\infty  \right)$, có ${f}'\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}+12t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0;\forall t>0$.

Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow \min f\left( t \right)=-3$.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=-3$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Lời giải

Bất phương trình $\Leftrightarrow 3m+\left( 3m+2 \right).{{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}>0$          (*).

Ta có $\frac{4-\sqrt{7}}{3}.\frac{4+\sqrt{7}}{3}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{-x}}$ nên đặt $t={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}\Rightarrow {{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}$.

Khi đó (*) $\Leftrightarrow 3m+\frac{3m+2}{t}+t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 3m>-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1},\forall t\in \left( 0;1 \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ trên $\left( 0;1 \right)$, suy ra $\underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( \sqrt{3}-1 \right)=2-2\sqrt{3}$.

Do đó $3m>f\left( t \right);\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 3m>2-2\sqrt{3}\Leftrightarrow m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$. Chọn B.

Lời giải

Đặt $t={{\log }_{3}}x$ thì phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+3m-2=0$             (*)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=1\ne 0 \\  {} \Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m>6 \\  {} m<2 \\ \end{array} \right.$.

Ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn).

Vậy $-1Chọn C.

Lời giải

Ta có ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( m+6\text{x} \right)+{{\log }_{2}}\left( 3-2\text{x}-{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3-2\text{x}-{{x}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( m+6\text{x} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3-2\text{x}-{{x}^{2}}>0 \\  {} 3-2\text{x}-{{x}^{2}}=m+6\text{x} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -3

Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-8\text{x}+3$ trên $\left( -3;1 \right)$, có ${f}'\left( x \right)=-2\text{x}-8<0;\forall x\in \left( -3;1 \right)$

Dựa vào BBT, để $m=f\left( x \right)$ có nghiệm thuộc $\left( -3;1 \right)\Leftrightarrow f\left( -3 \right)

Kết hợp với m nguyên dương $\xrightarrow{{}}$ có 17 giá trị cần tìm. Chọn A.

Lời giải

Điều kiện: $x>-1$

Phương trình $\log \left( m\text{x} \right)=2\log \left( x+1 \right)\Leftrightarrow m\text{x}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow m=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}=x+\frac{1}{x}+2$.

Xét hàm $f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}+2$ trên $\left( -1;+\infty  \right)$, có ${f}'\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}};{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=4 \\  {} m<0 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị m nguyên. Chọn A.

Lời giải

BPT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x+1>0;x-1>0 \\  {} {{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{x+1}{x-1}>{{\log }_{\sqrt{3}}}2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>1 \\  {} \frac{x+1}{x-1}>2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>1 \\  {} x<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1

Phương trình đã cho được viết lại thành: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)-\frac{m}{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)}=5$

Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)$, ta được $t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow m=f\left( t \right)={{t}^{2}}-5t$.

Với $1

Xét hàm số $f\left( t \right)$ trên khoảng $\left( 2;3 \right)$, để $m=f\left( t \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -\frac{25}{4}Chọn B.

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>-1 \\  {} {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>-1 \\  {} x+1\ne {{3}^{0}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>-1 \\  {} x\ne 0 \\ \end{array} \right.$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=x-\frac{2}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}$ trên khoảng $D=\left( -1;+\infty  \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Ta có ${f}'\left( x \right)=1-\frac{2.{{\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right]}^{\prime }}}{\log _{3}^{2}\left( x+1 \right)}=1+\frac{2}{\ln 3.\left( x+1 \right).\log _{3}^{2}\left( x+1 \right)}>0,\forall x\in D$.

Do đó, hàm số đa cho đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 0;+\infty  \right)$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $f\left( x \right)=m$ có 2 nghiệm $\Leftrightarrow m>-1$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị m nguyên. Chọn C.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( m\text{x}-6{{\text{x}}^{3}} \right)={{\log }_{2}}\left( -14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2 \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2>0 \\  {} m\text{x}-6{{\text{x}}^{3}}=-14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{14}

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ (*) có ba nghiệm phân biệt $x\in \left( \frac{1}{14};2 \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=6{{\text{x}}^{2}}-14\text{x}+29-\frac{2}{x}$ trên khoảng $\left( \frac{1}{14};2 \right)$.

Ta có ${f}'\left( x \right)=12\text{x}-14+\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{12{{\text{x}}^{3}}-14{{\text{x}}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$ (do $\frac{1}{14}

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi $19

Vậy $m\in \left( 19;\frac{39}{2} \right)\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array}  {} a=19 \\  {} b=\frac{39}{2} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}P=a-2b=19-2.\frac{39}{2}=-20$. Chọn D.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{2{{\text{x}}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}=3\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+1$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=3\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+1$

$\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-x+m+{{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)=3{{\text{x}}^{2}}+3+{{\log }_{3}}\left( 3{{\text{x}}^{2}}+3 \right)$                      (*).

Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $\left( 0;+\infty  \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1+\frac{1}{t.\ln 3}>0;\forall t>0$.

Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow f\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)=f\left( 3{{\text{x}}^{2}}+3 \right)$

$\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-x+m=3{{\text{x}}^{2}}+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-m+3=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 1.\left( 3-m \right)<0\Leftrightarrow m>3$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -2018;2018 \right]\xrightarrow{{}}$ có 2015 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Lời giải

Điều kiện: $m\ne 2$. Phương trình đã cho $\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left[ {{\left( {{2}^{x}}+2 \right)}^{2}} \right]={{\log }_{2}}\left| m-2 \right|$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+2 \right)={{\log }_{2}}\left| m-2 \right|\Leftrightarrow {{2}^{x}}+2=\left| m-2 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{2}^{x}}+2=m-2 \\  {} {{2}^{x}}+2=2-m \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{2}^{x}}=m-4 \\  {} {{2}^{x}}=-m \\ \end{array} \right.$

Để phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m-4\le 0 \\  {} -m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\le 4 \\  {} m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$. Vậy $S=\sum{m}=10$. Chọn B.

Lời giải

Điều kiện: $x>0$. Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra $0

Đặt ${{\log }_{\sqrt{3}}}x=t$, với $0

Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-mt+1=0\Leftrightarrow m=f\left( t \right)=t+\frac{1}{t}$

Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\frac{1}{t}$ trên $\left( -\infty ;0 \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1-\frac{1}{{{t}^{2}}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1$.

Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m=f\left( t \right)$ có nghiệm duy nhất $t<0\Leftrightarrow m=-2$. Chọn B.

Lời giải

Đặt $t={{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-2 \right)$, do $2-1$.

Phương trình đã cho trở thành: $\left( m-1 \right){{t}^{2}}-\left( m-5 \right)t+m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}$ trên $\left( -1;+\infty  \right)$, có ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$.

Dựa vào BBT, ta thấy phương trình có nghiệm $-3\le m<\frac{7}{3}\Rightarrow {{m}_{0}}=-3$. Chọn A.

Lời giải

Điều kiện: ${{4}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0$.

Đặt $t={{4}^{x}}$, với $x>0\xrightarrow{{}}t>1$. Phương trình đã cho trở thành: $m={{\log }_{2}}\frac{t-1}{t+1}$           (*).

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}\frac{t-1}{t+1}$ trên $\left( 1;+\infty  \right)$, có ${f}'\left( t \right)=\frac{2}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)\ln 2}>0,\forall t>1$.

Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right)$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m<0$. Chọn A.

Lời giải

Phương trình $\left\{ \begin{array}  {} a{{\ln }^{2}}x+b\ln \text{x}+5=0 \\  {} 5{{\log }^{2}}x+b\log \text{x}+a=0 \\ \end{array} \right.$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{b}^{2}}-20\text{a}>0$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có $\left\{ \begin{array}  {} \ln {{\text{x}}_{1}}+\ln {{\text{x}}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  {} \log {{x}_{3}}+\log {{x}_{4}}=-\frac{b}{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \ln \left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=-\frac{b}{a} \\  {} \log \left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)=-\frac{b}{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{e}^{-\frac{b}{a}}} \\  {} {{x}_{3}}{{x}_{4}}={{10}^{-\frac{b}{5}}} \\ \end{array} \right.$.

Mặt khác ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}\Leftrightarrow {{e}^{-\frac{b}{a}}}>{{10}^{-\frac{b}{5}}}\Leftrightarrow \ln {{e}^{-\frac{b}{a}}}>\ln {{10}^{-\frac{b}{5}}}\Leftrightarrow -\frac{b}{a}>-\frac{b}{5}.ln10\Leftrightarrow a>\frac{5}{\ln 10}$.

Vì a, b là hai số nguyên dương suy ra $a\ge 3\Rightarrow {{a}_{\min }}=3$ và ${{b}^{2}}>20\text{a}>60\Rightarrow {{b}_{\min }}=8$.

Vậy ${{S}_{\min }}=2{{\text{a}}_{\min }}+3{{b}_{\min }}=2.3+3.8=30$. Chọn A.

Lời giải

Điều kiện: $x>m$. Phương trình $\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x=x-m+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)$

$\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x-m \right)}}+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left[ {{\log }_{5}}\left( x-m \right) \right]$

$\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}=x-m\Leftrightarrow m=x-{{5}^{x}}=g\left( x \right)$.

Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{5}^{x}}$ trên $\left( -\infty ;+\infty  \right)$, có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-{{\log }_{5}}\left( \ln 5 \right)$

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left( -20;20 \right)\xrightarrow{{}}$ có 19 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B.

Lời giải

Bất phương trình $\Leftrightarrow 4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m\ge 0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m\ge 0$             (*)

Đặt $t={{\log }_{2}}x$ với $\text{x}\in \left( 1;64 \right)\xrightarrow{{}}t\in \left( 0;6 \right)$, khi đó (*) $\Leftrightarrow m\ge f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-t;\forall t\in \left( 0;6 \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-t$ trên $\left( 0;6 \right)$, có ${f}'\left( t \right)=-2t-1<0;\forall t\in \left( 0;6 \right)$.

Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số nghịch biến trên $\left( 0;6 \right)\xrightarrow{{}}\underset{\left( 0;6 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=0$.

Do đó $m\ge f\left( t \right);\forall t\in \left( 0;6 \right)\Leftrightarrow m\ge 0$. Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} -10\le m\le 10 \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị nguyên cần tìm. Chọn A.

Lời giải

Bất phương trình $\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2<0$                     (*)

Đặt $t={{\log }_{2}}x$. Vì $x>\sqrt{2}$ nên ${{\log }_{2}}x>{{\log }_{2}}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow t>\frac{1}{2}$.

Khi đó (*) $\Leftrightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)t-2<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2mt-1<0$

$\Leftrightarrow m>f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t};\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}$ trên $\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)$, có ${f}'\left( t \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2{{t}^{2}}}>0$;

Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)$ nên $m>\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{3}{4}$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Lời giải

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}+ax+1>0 \\  {} 2{{x}^{2}}+3>{{x}^{2}}+ax+1 \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+1>0 \\  {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-ax+2>0 \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\Delta }_{f\left( x \right)}}<0 \\  {} {{\Delta }_{g\left( x \right)}}<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}-4<0 \\  {} {{a}^{2}}-8<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4<0\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left( a+2 \right)<0\Leftrightarrow -2

Kết hợp với $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}a=\left\{ -1;0;1 \right\}$ là các giá trị cần tìm. Chọn D.

Lời giải

Ta có $1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 5{{\text{x}}^{2}}+5 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0 \\  {} 5{{\text{x}}^{2}}+5\ge m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} f\left( x \right)=m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0;\forall x\in \mathbb{R}(1) \\  {} g\left( x \right)=\left( m-5 \right){{x}^{2}}+4\text{x}+m-5\le 0;\forall z\in \mathbb{R}(2) \\ \end{array} \right.$

Giải (1), ta có $f\left( x \right)>0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=m>0 \\  {} {\Delta }'={{2}^{2}}-{{m}^{2}}<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>2$.

Giải (2), ta có $g\left( x \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=m-5<0 \\  {} {\Delta }'=4-{{\left( m-5 \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le 3$.

Khi đó $2Chọn C.

Lời giải

Điều kiện: $x>0$. Đặt $t={{\log }_{2}}x$, với $x>0$ suy ra $t\in \left( -\infty ;+\infty  \right)$.

Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-2t+3m-2<0\Leftrightarrow 3m<-{{t}^{2}}+2t+2$            (*).

Để bất phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow 3m

Ta có $-{{t}^{2}}+2t+2=3-{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 3,\forall t\in \mathbb{R}$ suy ra $M=3$                                     (2)

Từ (1), (2) suy ra $3m<3\Leftrightarrow m<1$ là giá trị cần tìm. Chọn A.

Lời giải

Bất phương trình $\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}x=f\left( x \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$

Ta có ${f}'\left( x \right)=x-\frac{1}{x\ln 2}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{x\ln 2}=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{\ln 2}}$.

Tính $\left\{ \begin{array}  {} f\left( 1 \right)=\frac{1}{2} \\  {} f\left( \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} \right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \\  {} f\left( 3 \right)=\frac{9}{2}-{{\log }_{2}}3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} \right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$

Suy ra $m\ge \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)\Leftrightarrow m\in \left[ \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right);+\infty  \right)$. Chọn D.

.