Tính chất hai mặt phẳng song song

Tài liệu gồm 27 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề hai mặt phẳng song song, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Hình học 11 chương 2.

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. 2) Định lý và một số tính chất quan trọng. a) Định lý: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với thì song song với. b) Tính chất 1: Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với. c) Tính chất 2: Cho hai mặt phẳng và song song với nhau. Khi đó một mặt phẳng nếu cắt và lần lượt theo các giao tuyến a b thì a song song với b. 3) Hình lăng trụ và hình hộp. a) Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau. b) Hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Tính chất hai mặt phẳng song song

II. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)

III. Tính chất

Tính chất 1:

Qua một điểm ở ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (P) song song với (Q)

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

Tính chất 2 (Định lí giao tuyến 3)

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

IV Định lí Ta-let trong không gian

Định lí 2 (Định lí Ta-let)

Ba mặt phẳng song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

$$\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{CA}{C’A’}$$

Định lí 3 (Định lí Ta- let đảo)

Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt lấy các điểm A,B,C và A’, B’, C’ sao cho

$$\frac{AB}{BC} = \frac{A’B’}{B’C’}$$

Khi đó ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng

Các dạng toán hai mặt phẳng song song

Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

PHƯƠNG PHÁP.

1) Chứng minh mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

Chứng minh (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q)

2) Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)(cách 2).

Chứng minh a chứa trong một mặt phẳng song song với (P) hoặc dùng định lí Ta-let đảo trong không gian.

Dạng 2: Thiết diện song song với một mặt phẳng.

PHƯƠNG PHÁP

Sử dụng định lí “Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song” để tìm các đoạn giao tuyến.

Hoặc là dùng định lí sau: \(\begin{cases}(P)//(Q)\\a\subset(P)\end{cases}\Rightarrow a//(Q)\)

Đưa bài toán về bài toán thiết diện song song đường thẳng.

Hai mặt phẳng \((\alpha),(\beta)\) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Kí hiệu \((\alpha)//(\beta)\) hay \((\beta)//(\alpha)\)

Định lí 1

Nếu mặt phẳng \((\alpha)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a,b\) và \(a,b\) cùng song song với mặt phẳng \((\beta)\) thì \((\alpha)\) song song với \((\beta)\).

Định lí 2

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Hệ quả 1

Nếu đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\) thì qua \(d\) có duy nhất một mặt phẳng song song với \((\alpha)\).

Hệ quả 2

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hệ quả 3

Cho điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \((\alpha)\). Mọi đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \((\alpha)\) đều nằm trong mặt phẳng đi qua \(A\) và song song với \((\alpha)\).

Định lí 3

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Hệ quả

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

Định lí

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Nhận xét

- Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau

- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

- Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Tính chất

- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

- Các mặt bên là những hình thang.

- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.


 

1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt

        Cho 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\) Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a.     Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) không có đường thẳng chung, tức là:

\(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \emptyset  \Leftrightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right).\)

b.     Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chỉ có một đường thẳng chung, tức là:

\(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a \Leftrightarrow \left( P \right)\) cắt \(\left( Q \right)\,.\)

c.     Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:

                        \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \left\{ {a,\,\,b} \right\} \Leftrightarrow \left( P \right) \equiv \left( Q \right).\)

Tính chất hai mặt phẳng song song

1.2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(a,\,\,b\) cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\) song song \(\left( Q \right).\)

Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b \in \left( P \right)\\a \cap b = \left\{ I \right\}\\a\parallel \left( P \right),\,\,b\parallel \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\left( P \right)\parallel \left( Q \right).\)

Tính chất hai mặt phẳng song song

1.3. Tính chất

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Tức là: \(O \notin \left( P \right) \Rightarrow \,\,\exists !\,\,\left( Q \right):\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( Q \right)\\\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\end{array} \right.\,.\)

Cách dựng:   - Trong \(\left( P \right)\) dựng \(a,\,\,b\) cắt nhau.

  • Qua \(O\) dựng \({a_1}\parallel a,\;{b_1}\parallel b.\)
  • Mặt phẳng \(\left( {{a_1},\,\,{b_1}} \right)\) là mặt phẳng qua \(O\) và song song với \(\left( P \right).\)

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( Q \right).\)

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. 

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song thì mặt phẳng \(\left( R \right)\) đã cắt \(\left( P \right)\) thì phải cắt \(\left( Q \right)\) và các giao tuyến của chúng song song.

Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\\a = \left( P \right) \cap \left( R \right)\\b = \left( Q \right) \cap \left( R \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel b.\)

Tính chất hai mặt phẳng song song

Định lí Ta lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\parallel \left( R \right)\\a \cap \left( P \right) = {A_1};\,\,a \cap \left( Q \right) = {B_1};\,\,a \cap \left( R \right) = {C_1}\\b \cap \left( P \right) = {A_2};\,\,b \cap \left( Q \right) = {B_2};\,\,b \cap \left( P \right) = {C_2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \,\,\frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}{C_1}}} = \frac{{{A_2}{B_2}}}{{{B_2}{C_2}}}\,.\)

Tính chất hai mặt phẳng song song

1.4. Hình lăng trụ và hình hộp

Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.

Trong đó:

  • Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
  • Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.
  • Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:

a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.

b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.

c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

Tính chất hai mặt phẳng song song

Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

Tính chất hai mặt phẳng song song
 
Tính chất hai mặt phẳng song song

Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

1.5. Hình chóp cụt

Định nghĩa: Cho hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}.\) Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh \(S{A_1},\,\,S{A_2},\,\,...,\,\,S{A_n}\) theo thứ tự tại \({A'_1},\,\,{A'_2},\,\,...,\,\,{A'_n}\,.\) Hình tạo bởi thiết diện \({A'_1}{A'_2}...{A'_n}\) và đáy \({A_1}{A_2}...{A_n}\) của hình chóp cùng với các mặt bên \({A_1}{A_2}{A'_2}{A'_1},\,\,{A_2}{A_3}{A'_3}{A'_2},\,\,...,\,\,{A_n}{A_1}{A'_1}A'{ _n}\) gọi là một hình chóp cụt. 

Tính chất hai mặt phẳng song song

Trong đó:

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. 

  • Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.
  • Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như \({A_1}{A'_1},\,\,{A_2}{A'_2},\,\,...,\,\,{A_n}{A'_n}\) gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…

Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:

1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.