Tổng chuỗi lũy thừa trong python

Sử dụng vòng lặp while, chúng tôi tiếp tục nhân

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
05 với
base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
06 cho đến khi
base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
07 trở thành 0

Trong trường hợp này, chúng tôi nhân tổng số

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
05 với cơ số 4 lần, vì vậy,
Answer = 81
2


ví dụ 2. Tính lũy thừa của một số bằng vòng lặp for

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))

đầu ra

Answer = 81

Ở đây, thay vì sử dụng vòng lặp while, chúng tôi đã sử dụng vòng lặp for

Sau mỗi lần lặp, số mũ giảm đi 1 và kết quả được nhân với số mũ cơ sở nhiều lần

Cả hai chương trình trên đều không hoạt động nếu bạn có số mũ âm. Để làm được điều đó, bạn cần sử dụng hàm

Answer = 81
3 trong thư viện Python


ví dụ 3. Tính lũy thừa của một số bằng hàm pow()

base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))

đầu ra

Answer = 0.012345679012345678

Answer = 81
3 chấp nhận hai đối số. cơ số và số mũ. Trong ví dụ trên, 3 lũy thừa -4 được tính bằng cách sử dụng
Answer = 81
3

Viết chương trình Python để tính tổng của chuỗi 1²+2²+3²+…. +n² sử dụng Vòng lặp For và Hàm với một ví dụ

Công thức toán học cho Python Tổng của chuỗi 1²+2²+3²+…. +n² = ( n (n+1) (2n+1)) / 6

Chương trình Python để tính Tổng của Chuỗi 1²+2²+3²+…. +n²

Chương trình Python này yêu cầu người dùng nhập bất kỳ số nguyên dương nào. Tiếp theo chương trình Python tìm tổng của dãy 12 + 22 + 32 + … + n2 theo công thức trên

________số 8

Python Tổng của Chuỗi 1²+2²+3²+…. đầu ra +n²

Please Enter any Positive Number  : 6
The Sum of Series upto 6  = 91.0

Tổng = (Số * (Số + 1) * (2 * Số + 1 )) / 6
Tổng = (6 * (6 + 1) * (2 * 6
and the output, Sum = 91

Chương trình Python để tính Tổng của Chuỗi 1²+2²+3²+…. +n² Ví dụ 2

Nếu bạn muốn Python hiển thị thứ tự chuỗi 12 + 22 + 32 +42 + 52, chúng ta phải thêm vòng lặp bổ sung For cùng với If Else

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
0
base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
1

Chương trình Python để tính Tổng của Chuỗi 1²+2²+3²+…. +n² sử dụng Hàm

Tổng Python này của Chuỗi 1²+2²+3²+…. chương trình +n² giống như trên. Nhưng trong chương trình Python này, chúng tôi đang xác định Hàm để đặt logic

Không có phép tính nào được thực hiện. Lớp này chỉ nên được sử dụng để đại diện cho một chuỗi. Không có kiểm tra nào được thực hiện

Để tính toán một chuỗi, hãy sử dụng

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
22

Xem thêm

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
23

coeff_bell(n)[source]#

bản thân. coeff_bell(n) trả về một chuỗi các đa thức Bell loại hai. Lưu ý rằng

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
24 phải là số nguyên

Loại đa thức Bell thứ hai (đôi khi được gọi là đa thức Bell “một phần” hoặc đa thức Bell không đầy đủ) được định nghĩa là

\[B_{n,k}(x_1, x_2,\dotsc x_{n-k+1}) = \sum_{j_1+j_2+j_2+\dotsb=k \atop j_1+2j_2+3j_2+\dotsb=n} \ . }{j_1. j_2. \dotsb j_{n-k+1}. } \left(\frac{x_1}{1. } \right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2. } \right)^{j_2} \dotsb \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1). } \right) ^{j_{n-k+1}}. \]

  • base = 3
    exponent = 4
    
    result = 1
    
    for exponent in range(exponent, 0, -1):
        result *= base
    
    print("Answer = " + str(result))
    25 cho đa thức Bell loại hai, \(B_{n,k}(x_1, x_2, \dotsc, x_{n-k+1})\) . .

Xem thêm

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
26

soạn(khác , x=None, n=6)[source]#

Trả về các số hạng bị cắt ngắn của chuỗi lũy thừa hình thức của hàm tổng hợp, tối đa được chỉ định

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
24

Thông số .

N. Số, tùy chọn

Chỉ định thứ tự của thuật ngữ mà đa thức sẽ được cắt bớt

Giải trình

Nếu

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28 và
base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
29 là hai chuỗi lũy thừa chính quy của hai hàm khác nhau, thì chuỗi hệ số
Answer = 81
00 của chuỗi lũy thừa chính quy tổng hợp \(fp\) will be as follows.

\[\sum\limits_{k=0}^{n} b_k B_{n,k}(x_1, x_2, \dotsc, x_{n-k+1})\]

ví dụ

Answer = 81
1

Answer = 81
2

Answer = 81
3

Xem thêm

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
26,
Answer = 81
02

Người giới thiệu

[ R731 ]

Comtet, Louis. Tổ hợp nâng cao; . Reidel, 1974

thuộc tính vô hạn #

Trả về một đại diện vô hạn của chuỗi

tích hợp(x=Không có, **kwargs)[source]#

Tích hợp dòng điện chính thức

ví dụ

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
2

nghịch đảo(x=Không có, n=6)[source]#

Trả về các số hạng bị cắt bớt của nghịch đảo của chuỗi lũy thừa hình thức, lên đến _____124 được chỉ định

Thông số .

N. Số, tùy chọn

Chỉ định thứ tự của thuật ngữ mà đa thức sẽ được cắt bớt

Giải trình

Nếu

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28 và
base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
29 là hai chuỗi lũy thừa chính quy của hai hàm khác nhau, thì chuỗi hệ số
Answer = 81
00 của chuỗi lũy thừa chính quy tổng hợp
Answer = 81
07 sẽ như sau

\[\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{k} x_0^{-k-1} B_{n,k}(x_1, x_2, \dotsc, x_{n-k

ví dụ

Answer = 81
0

Answer = 81
3

Answer = 81
4

Xem thêm

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
26,
Answer = 81
09

Người giới thiệu

[ R732 ]

Comtet, Louis. Tổ hợp nâng cao; . Reidel, 1974

đa thức(n=6)[source]#

Chuỗi rút gọn dưới dạng đa thức

Giải trình

Trả về khai triển chuỗi của

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28 đến thứ tự
Answer = 81
31 dưới dạng đa thức (không có số hạng
Answer = 81
32)

sản phẩm(khác , x=None, n=6)[source]#

Nhân hai Chuỗi Nguồn Chính thức, sử dụng phép tích chập rời rạc và trả về các số hạng bị cắt bớt theo thứ tự đã chỉ định

Thông số .

N. Số, tùy chọn

Chỉ định thứ tự của thuật ngữ mà đa thức sẽ được cắt bớt

ví dụ

base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
0

base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
1

Xem thêm

Answer = 81
33,
Answer = 81
34

cắt ngắn(n=6)[source]#

sê-ri cắt ngắn

Giải trình

Trả về khai triển chuỗi bị cắt của f tối đa theo thứ tự

Answer = 81
31

Nếu n là

Answer = 81
36, trả về một trình vòng lặp vô hạn

sympy. loạt. chính thức. fps(f , x=None, x0=0, dir=1, hyper=True, order=4, rational=True, full=False)[source]#

Tạo ra chuỗi sức mạnh chính thức của

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28

Thông số .

x. Biểu tượng, tùy chọn

Nếu x là Không có và

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28 là đơn biến, các ký hiệu đơn biến sẽ được cung cấp, nếu không sẽ xảy ra lỗi

x0. số, tùy chọn

Điểm để thực hiện mở rộng chuỗi về. Mặc định là 0

thư mục. {1, -1, ‘+’, ‘-‘}, tùy chọn

Nếu dir là 1 hoặc ‘+’ thì chuỗi được tính từ bên phải và đối với -1 hoặc ‘-’ thì chuỗi được tính từ bên trái. Đối với các chức năng trơn tru, cờ này sẽ không làm thay đổi kết quả. Mặc định là 1

siêu. {Đúng, Sai}, tùy chọn

Đặt hyper thành False để bỏ qua thuật toán siêu hình học. Theo mặc định, nó được đặt thành Sai

gọi món. int, tùy chọn

Bậc của đạo hàm của

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28, Mặc định là 4

hợp lý. {Đúng, Sai}, tùy chọn

Đặt hợp lý thành Sai để bỏ qua thuật toán hợp lý. Theo mặc định, nó được đặt thành True

đầy. {Đúng, Sai}, tùy chọn

Đặt đầy đủ thành True để tăng phạm vi của thuật toán hợp lý. Xem

Answer = 81
40 để biết chi tiết. Theo mặc định, nó được đặt thành Sai

Giải trình

Trả về khai triển chuỗi chính thức của

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28 xung quanh
Answer = 81
42 đối với
Answer = 81
43 ở dạng đối tượng
Answer = 81
44

Chuỗi sức mạnh chính thức được biểu diễn bằng một công thức rõ ràng được tính bằng các thuật toán khác nhau

Xem

Answer = 81
45 để biết thêm chi tiết về cách tính công thức

ví dụ

Answer = 0.012345679012345678
5

Các chức năng hợp lý

Answer = 81
20

Answer = 81
21

Hàm tượng trưng

Answer = 81
22

Xem thêm

Answer = 81
46,
Answer = 81
47

sympy. loạt. chính thức. compute_fps(f , x, x0=0, dir=1, hyper=True, order=4, rational=True, full=False)[source]#

Tính công thức cho Chuỗi lũy thừa chính tắc của một hàm

Thông số .

x. Biểu tượng

x0. số, tùy chọn

Điểm để thực hiện mở rộng chuỗi về. Mặc định là 0

thư mục. {1, -1, ‘+’, ‘-‘}, tùy chọn

Nếu dir là 1 hoặc ‘+’ thì chuỗi được tính từ bên phải và đối với -1 hoặc ‘-’ thì chuỗi được tính từ bên trái. Đối với các chức năng trơn tru, cờ này sẽ không làm thay đổi kết quả. Mặc định là 1

siêu. {Đúng, Sai}, tùy chọn

Đặt hyper thành False để bỏ qua thuật toán siêu hình học. Theo mặc định, nó được đặt thành Sai

gọi món. int, tùy chọn

Bậc của đạo hàm của

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28, Mặc định là 4

hợp lý. {Đúng, Sai}, tùy chọn

Đặt hợp lý thành Sai để bỏ qua thuật toán hợp lý. Theo mặc định, nó được đặt thành True

đầy. {Đúng, Sai}, tùy chọn

Đặt đầy đủ thành True để tăng phạm vi của thuật toán hợp lý. Xem

Answer = 81
40 để biết chi tiết. Theo mặc định, nó được đặt thành Sai

Trả về .

ak. sự phối hợp

Dãy các hệ số

xk. sự phối hợp

Dãy lũy thừa của x

ind. kinh nghiệm

Điều khoản độc lập

mu. Pow

thuật ngữ phổ biến

Giải trình

Cố gắng tính toán công thức bằng cách áp dụng các kỹ thuật sau (theo thứ tự)

  • hợp lý_algorithm

  • thuật toán siêu hình học

Xem thêm

base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
00,
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
01

lớp sympy. loạt. chính thức. FormalPowerSeriesCompose(*args)[source]#

Biểu diễn chuỗi lũy thừa hình thức tổng hợp của hai hàm

Giải trình

Không có phép tính nào được thực hiện. Các thuật ngữ được tính toán bằng cách sử dụng thuật ngữ theo logic thuật ngữ, thay vì logic từng điểm

Có hai điểm khác biệt giữa đối tượng

Answer = 81
44 và đối tượng
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
03. Đối số đầu tiên chứa chức năng bên ngoài và chức năng bên trong liên quan đến thành phần. Ngoài ra, chuỗi hệ số chứa chuỗi chung sẽ được nhân với chuỗi hữu hạn
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
04 tùy chỉnh. Các số hạng hữu hạn sau đó sẽ được cộng lại để được các số hạng cuối cùng

Xem thêm

Answer = 81
46,
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
06

thuộc tính chức năng #

Chức năng cho chuỗi sức mạnh chính thức tổng hợp

lớp sympy. loạt. chính thức. FormalPowerSeriesInverse(*args)[source]#

Đại diện cho Nghịch đảo của một chuỗi sức mạnh chính thức

Giải trình

Không có phép tính nào được thực hiện. Các thuật ngữ được tính toán bằng cách sử dụng thuật ngữ theo logic thuật ngữ, thay vì logic từng điểm

Có một sự khác biệt duy nhất giữa đối tượng

Answer = 81
44 và đối tượng
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
08. Chuỗi hệ số chứa chuỗi chung sẽ được nhân với chuỗi hữu hạn
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
04 tùy chỉnh. Các số hạng hữu hạn sau đó sẽ được cộng lại để được các số hạng cuối cùng

Xem thêm

Answer = 81
46,
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
06

thuộc tính chức năng #

Hàm nghịch đảo của một chuỗi lũy thừa hình thức

lớp sympy. loạt. chính thức. FormalPowerSeriesProduct(*args)[source]#

Biểu diễn tích của hai chuỗi lũy thừa hình thức của hai hàm

Giải trình

Không có phép tính nào được thực hiện. Các thuật ngữ được tính toán bằng cách sử dụng thuật ngữ theo logic thuật ngữ, thay vì logic từng điểm

Có hai điểm khác biệt giữa đối tượng

Answer = 81
44 và đối tượng
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
13. Đối số đầu tiên chứa hai chức năng liên quan đến sản phẩm. Ngoài ra, chuỗi hệ số chứa cả chuỗi hệ số của chuỗi lũy thừa hình thức của các hàm liên quan

Xem thêm

Answer = 81
46,
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
06

thuộc tính chức năng #

Hàm tích của hai chuỗi lũy thừa hình thức

lớp sympy. loạt. chính thức. FiniteFormalPowerSeries(*args)[source]#

Lớp cơ sở cho các lớp Sản phẩm, Soạn và Nghịch đảo

Thuật toán hợp lý #

sympy. loạt. chính thức. rational_independent(điều khoản , x)[source]#

Trả về danh sách tất cả các điều khoản độc lập hợp lý

ví dụ

Answer = 81
23

Answer = 81
24

sympy. loạt. chính thức. rational_algorithm(f , x, k, order=4, full=False)[source]#

Thuật toán hữu tỉ để tính công thức hệ số của Chuỗi lũy thừa chính tắc của hàm số

Thông số .

x. Biểu tượng

gọi món. int, tùy chọn

Bậc của đạo hàm của

base = 3
exponent = 4

result = 1

for exponent in range(exponent, 0, -1):
    result *= base

print("Answer = " + str(result))
28, Mặc định là 4

đầy. bool

Trả về .

công thức. kinh nghiệm

ind. kinh nghiệm

Điều khoản độc lập

gọi món. int

đầy. bool

Giải trình

Áp dụng khi f(x) hoặc một đạo hàm nào đó của f(x) là một hàm hữu tỷ theo x

Answer = 81
40 sử dụng hàm
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
18 để phân tách từng phần.
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
18 theo mặc định sử dụng 'phương pháp hệ số không xác định'. Bằng cách đặt
Answer = 0.012345679012345678
50, 'thuật toán Bronstein' có thể được sử dụng thay thế

Tìm đạo hàm của một hàm lên đến bậc 4 (theo mặc định). Điều này có thể được ghi đè bằng tùy chọn đặt hàng

ví dụ

Answer = 81
25

Answer = 81
26

Answer = 81
27

ghi chú

Bằng cách đặt

Answer = 0.012345679012345678
50, có thể tăng phạm vi các chức năng được chấp nhận để giải quyết bằng cách sử dụng
Answer = 0.012345679012345678
52. Tùy chọn này nên được sử dụng cẩn thận vì nó có thể làm chậm quá trình tính toán một cách đáng kể vì
Answer = 0.012345679012345678
53 được thực hiện trên đối tượng
Answer = 0.012345679012345678
54 được trả về bởi hàm
base = 3
exponent = -4

result = pow(base, exponent)

print("Answer = " + str(result))
18. Sử dụng
Answer = 0.012345679012345678
56 bất cứ khi nào có thể

Xem thêm

Answer = 0.012345679012345678
57

Người giới thiệu

[ R733 ]

Sê-ri quyền lực chính thức - Dominik Gruntz, Wolfram Koepf

[ R734 ]

Chuỗi lũy thừa trong Đại số máy tính - Wolfram Koepf

Thuật toán siêu hình học #

sympy. loạt. chính thức. simpleDE(f , x, g, order=4)[source]#

Tạo DE đơn giản

Giải trình

DE có dạng

\[f^k(x) + \sum\limits_{j=0}^{k-1} A_j f^j(x) = 0\]

trong đó \(A_j\) phải là hàm hữu tỷ trong x.

Tạo tối đa lệnh 4 của DE (mặc định). DE cũng có thể có các tham số miễn phí

Bằng cách tăng thứ tự, có thể tìm thấy DE thứ tự cao hơn

Mang lại một bộ (DE, thứ tự)

sympy. loạt. chính thức. exp_re(DE , r, k)[source]#

Chuyển đổi một DE có hệ số không đổi (explike) thành một RE

Giải trình

Thực hiện thay thế

\[f^j(x) \to r(k + j)\]

Chuẩn hóa các số hạng sao cho bậc thấp nhất của một số hạng luôn là r(k)

ví dụ

Answer = 81
28

Answer = 81
29

Xem thêm

Answer = 0.012345679012345678
58

sympy. loạt. chính thức. hyper_re(DE , r, k)[source]#

Chuyển đổi DE thành RE

Giải trình

Thực hiện thay thế

\[x^l f^j(x) \to (k + 1 - l)_j. a_{k + j - l}\]

Chuẩn hóa các số hạng sao cho bậc thấp nhất của một số hạng luôn là r(k)

ví dụ

Answer = 81
30

Answer = 81
31

Xem thêm

Answer = 0.012345679012345678
59

sympy. loạt. chính thức. rsolve_hypergeometric(f , x, P, Q, k, m)[source]#

Giải RE của loại siêu hình học

Trả về .

công thức. kinh nghiệm

ind. kinh nghiệm

Điều khoản độc lập

gọi món. int

Giải trình

Nỗ lực giải quyết RE của biểu mẫu

Q(k)*a(k + m) - P(k)*a(k)

Các phép biến đổi bảo toàn kiểu Siêu hình học

  1. x**n*f(x). b(k + m) = R(k - n)*b(k)

  2. số fax). b(k + m) = A**m*R(k)*b(k)

  3. f(x**n). b(k + n*m) = R(k/n)*b(k)

  4. f(x**(1/m)). b(k + 1) = R(k*m)*b(k)

  5. f’(x). b(k + m) = ((k + m + 1)/(k + 1))*R(k + 1)*b(k)

Một số phép biến đổi này đã được sử dụng để giải bài toán RE

ví dụ

Answer = 81
32

Answer = 81
33

Answer = 81
34

Người giới thiệu

[ R735 ]

Sê-ri quyền lực chính thức - Dominik Gruntz, Wolfram Koepf

[ R736 ]

Chuỗi lũy thừa trong Đại số máy tính - Wolfram Koepf

sympy. loạt. chính thức. solve_de(f , x, DE, order, g, k)[source]#

Giải quyết DE

Trả về .

công thức. kinh nghiệm

ind. kinh nghiệm

Điều khoản độc lập

gọi món. int

Giải trình

Cố gắng giải DE bằng cách chuyển đổi thành RE chứa hai số hạng hoặc chuyển đổi thành DE có hệ số không đổi

Tổng của chuỗi sức mạnh là gì?

Chuỗi lũy thừa là tổng các số hạng có dạng tổng quát aₙ(x-a)ⁿ . Chuỗi hội tụ hay phân kỳ, và giá trị mà nó hội tụ, phụ thuộc vào giá trị x đã chọn, điều này làm cho chuỗi lũy thừa trở thành một hàm.

sum() sum() trong Python là gì?

Hàm Python sum() . returns a number, the sum of all items in an iterable.

Tổng lũy ​​thừa của 2 là bao nhiêu?

Trong toán học, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ là một chuỗi vô hạn có các số hạng là lũy thừa liên tiếp của hai. Là một chuỗi hình học, nó được đặc trưng bởi số hạng đầu tiên, 1 và tỷ lệ chung của nó, 2. Là một dãy số thực, nó phân kỳ đến vô cùng, nên theo nghĩa thông thường, nó có không có tổng .