- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
1. Phương pháp giải
Quảng cáo
● Xét phương trình [S]: [x- a]2 + [ y- b]2 + [ z- c]2 = R2.
Khi đó mặt cầu có tâm I [a; b;c], bán kính R
● Xét phương trình [S]: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.
Điểu kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là: a2 + b2 + c2 – d > 0
Khi đó mặt cầu có
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Mặt cầu [S]: 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 12y + 2 = 0 có bán kính bằng:
Hướng dẫn giải:
Ta có [S]: 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x +12y +2 = 0
⇔ x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2/3 = 0
Đây là phương trình đường tròn có tâm I[ 1; -2; 0], bán kính
Chọn D.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S] có phương trình: x2 + y2 +z2 + 2x - 4y + 6z – 2= 0 . Tính tọa độ tâm I và bán kính R của [S].
A.Tâm I[ -1; 2; -3] và bán kính R=4. B. Tâm I[ 1; -2; 3] và bán kính R = 4.
C.Tâm I[-1; 2; 3] và bán kính R= 4. D. Tâm I[1; -2; 3] và bán kính R= 16.
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu [S]: x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z – 2 = 0 có:
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho phương trình [S]: x2 + y2 + z2 + 2[ 3 – m]x – 2[ m+ 1]y – 2mz + 2m2 + 7 = 0 . Tìm tất cả giá trị của m để [ S] là một phương trình mặt cầu.
Hướng dẫn giải:
Ta có: a= m - 3 ; b = m + 1; c = m và d= 2m2 + 7
Điều kiện để [ S] là mặt cầu là a2 + b2 + c2 - d > 0
⇔ [ m- 3]2 + [ m+1]2 + m2 – 2m2 - 7 > 0 hay m2 – 4m + 3 > 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S] có phương trình: x2 + y2 + z2 – [2m - 2] x + 3my + [ 6m – 2]z – 7= 0 . Gọi R là bán kính của [S] , giá trị nhỏ nhất của R bằng:
A. 7 B. √377/7 C. √377 D. √377/4
Hướng dẫn giải:
Ta có [S]: x2 + y2 + z2 - [ 2m – 2]x + 3my + [ 6m -2] z – 7 = 0
hay
Suy ra bán kính
1. Phương pháp giải
+ Mặt cầu có đường kính AB: Tâm I là trung điểm của AB và bán kính R = AB/2 .
Lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Cách 1:
+ Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by - 2cz + d = 0 [ *]
[với a2 + b2 + c2 – d > 0 ]
+ Bước 2: Thay tọa độ bốn điểm A, B, C, D vào phương trình [*], ta được hệ 4 phương trình.
+ Bước 3: Giải hệ trên tìm được a, b, c, d[ chú ý đối chiếu điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0 ].
Thay a, b, c, d vào [*] ta được phương trình mặt cầu cần lập.
Cách 2:
+ Bước 1: Gọi I[a, b, c] là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
Suy ra:
+ Bước 2: Giải hệ trên để tìm a, b, c.
+ Bước 3: Tìm bán kính R = IA.
Từ đó, viết phương trình mặt cầu cần tìm có dạng [x- a]2 + [ y – b]2 + [ z - c]2 = R2
Quảng cáo
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A[ -2; 1; 0] và B[ 2;3 ; -2]. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
A. [x + 2]2 + [ y -1]2 + [ z+ 1]2 = 8 B. x2 +[ y +2]2 + [ z- 1]2 = 10
C. x2 + [ y - 2]2 + [ z+ 1]2 = 6 D. [x – 2]2 + [y +1]2 + [z -1]2 = 8
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB, tọa độ điểm M là :
Độ dài MA là :
Mặt cầu cần tìm nhận M[0; 2; -1] làm tâm và có bán kính là R= MA = √6.
Ta có phương trình mặt cầu là : [x - 0]2 + [ y - 2]2 + [ z+ 1]2 = 6
Hay x2 + [ y -2]2 + [z +1]2 = 6
Chọn C.
Ví dụ 2: Nếu mặt cầu [S] đi qua bốn điểm M[2; 2;2]; N[ 4; 0; 2]; P[ 4; 2; 0] và Q[4;2;2] thì tâm I của [S] có toạ độ là:
A. [-1;-1; 0] B. [3; 1; 1] C. [1; 1; 1] D. [1; 2;1]
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình mặt cầu [S]: x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d= 0 [ a2 + b2 + c2 - d > 0] .
Do M[2;2;2] ∈ [S] 22 + 22 + 22 – 2.2a- 2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 4a – 4b – 4c + d= -12 [1]
Do N[ 4; 0; 2] ∈ [S] nên 42 + 02 + 22 - 2.4a- 2.0b - 2.2c + d = 0 hay – 8a – 4c + d= - 20 [2]
Do P[4; 2; 0] ∈ [S] nên 42 + 22 + 02 – 2.4a - 2.2b - 2.0.c + d = 0 hay – 8a – 4b + d = -20 [3]
Do Q[4; 2; 2] ∈ [S] nên 42 + 22 + 22 - 2.4 a -2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 8a – 4b – 4c + d = -24 [4]
Từ [1]; [2]; [3] và [4] ta có hệ phương trình:
Suy ra, mặt cầu [S] thỏa mãn có tâm I[1; 2; 1]
Chọn A.
Ví dụ 3: Mặt cầu [S] tâm I[ -1; 2; -3] và tiếp xúc với mặt phẳng [P]: x+ 2y + 2z + 6 = 0có phương trình:
A. [x- 1]2 +[ y+2]2 + [z- 3]2 = 2 B. [x+ 1]2 + [ y – 2]2 + [z + 3]2 = 4
C. [x+ 1]2 + [y -2]2 + [z + 3]2 =1 D. [x+1]2 + [ y - 2]2 +[z + 3]2 = 25
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng [P] là:
Do mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [P] nên d[ I; [P]] = R = 1
Suy ra, phương trình mặt cầu cần tìm là:
[x+1]2 + [y - 2]2 + [z + 3]2 = 1
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho các điểm A[-2; 4; 1]; B[2; 0; 3] và đường thẳng
A. 3√3 B. √6 C.3. D.2√3
Hướng dẫn giải:
Tâm I ∈d => I[1+t;1+2t;-2+t] .
=> AI→[3+t;-3+2t;-3+t]; BI→[-1+t;1+2t;-5+t]
Vì [S] đi qua A và B nên ta có IA = IB => IA2 = IB2
⇔ [3+ t]2 + [-3+ 2t]2 + [ -3+ t]2 = [ -1+ t]2 + [1+ 2t]2 + [- 5+ t]2
⇔ 9+ 6t + t2 + 9 – 12t + 4t2 + 9 – 6t + t2 = 1- 2t+ t2 + 1+ 4t + 4t2 + 25 - 10t + t2
⇔ 6t2 - 12t + 27 = 6t2 – 8t + 27
⇔ -4t = 0 nên t = 0
=> AI→[3 ; -3 ; -3] nên AI = 3√3
Vậy bán kính mặt cầu [S] là R = AI = 3√3
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng
A. [x+ 3]2 + [y+1]2 + [z - 3]2 = 4/9 . B. [x- 3]2 +[y - 1]2 + [z+ 3]2 = 4/9 .
C. [x+3]2 +[y+ 1]2 +[z+3]2 = 4/9 . D. [x-3]2 +[ y+1]2 + [z+ 3]2 = 4/9 .
Hướng dẫn giải:
Do tâm I ∈ d nên I[t; -1; - t]
Mà mặt cầu [S] tiếp xúc với hai mặt phẳng [P] và [Q] nên ta có:
R= d[I; [P]] = d[I; [Q]]
⇔ | -t+ 1| = | -t + 5|
⇔ t2 – 2t +1= t2 – 10t + 25
⇔8t = 24 nên t = 3.
Với t= 3,ta có tâm I [3; -1; -3] và bán kính R= d[ I; [P]]=
Phương trình mặt cầu là [x-3]2 + [ y+1]2 + [z+ 3]2 = 4/9
Chọn D.
1. Phương pháp giải
* Phương trình mặt cầu [S] biết tâm I và cắt đường thẳng d theo dây cung AB
• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d
• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH [với H là trung điểm AB]
• Bước 3: Tính IA theo định lý Pitago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R= IA.
* Phương trình mặt cầu [S] biết tâm I và cắt mặt phẳng [P] theo đường tròn giao tuyến [C]
• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng [P]
• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến. Suy ra bán kính mặt cầu
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình mặt cầu [S] có tâm I[2; 3; -1] và cắt đường thẳng
A.[ x- 2]2 + [ y- 3]2 +[z + 1]2 = 76 . B. [x-2]2 + [y - 3]2 + [z+ 1]2 = 46 .
C. [x- 2]2 +[ y - 3]2 + [z+ 1]2 = 56. D. [ x- 2]2 +[ y – 3]2 + [z+1]2 = 66
Hướng dẫn giải:
Chọn M[-1; 1; 0] ∈ Δ => IM→[-3; -2; 1] . Đường thẳng Δ có một VTCP là u→[1; -4; 1].
Ta có: [IM→; u→] = [2; 4; 14]
Từ đó, khoảng cách từ I đến Δ là :
Gọi H là trung điểm của AB ta có: AH= HB= AB/2 = 8
Gọi R là bán kính mặt cầu [S]. Khi đó
Do đó, phương trình mặt cầu là: [ x- 2]2 +[ y – 3]2 + [z+ 1]2 = 76
[S]: [ x- 2]2 +[ y – 3]2 + [z+ 1]2 = 76 .
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng [P]: 5x – 4y + z - 6 = 0; [Q]: 2x - y+ z +7 = 0 và đường thẳng
A.[ x-1]2 + y2 +[ z+1]2 = 110/3 . B. [x- 1]2 + y2 + [z -1]2 = 110/3
C.[x- 1]2 + y2 +[ z- 1]2 = 110/3 . D. [x- 1]2 + y2 + [z - 1]2 = 110.
Hướng dẫn giải:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆:
Do tâm I là giao điểm của đường thẳng ∆ và [P] nên tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
Thay [1], [2], [3] vào [4] ta có: 5[1+7t] – 4. 3t + [1 – 2t] – 6 =0
⇔ 21t = 0 ⇔ t= 0
Khi đó, tọa độ điểm I[1 ; 0 ; 1].
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng [Q] là :
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của [S] và mặt phẳng [Q]. Ta có:
20π = πr2 ⇔ r = 2√5
Gọi R là bán kính mặt cầu [S] cần tìm.
Theo giả thiết:
Vậy phương trình mặt cầu [ S] cần tìm là: [x- 1]2 + y2+ [z-1]2 = 110/3
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[0; -1; 0]; B[1; 1; -1] và mặt cầu [S]: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z – 3 = 0. Mặt phẳng [P] đi qua A, B và cắt mặt cầu [S] theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là
A. x- 2y + 3z – 2 = 0. B. x - 2y – 3z – 2= 0.
C. x+ 2y – 3z - 6 = 0 D. 2x- y – 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Để [P] cắt [S] theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì [P] phải qua tâm I[1; -2; 1]của [S].
Ta có AI→[1; -1; 1]; BI→[0; -3; 2]
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:
n→ = [AI→; BI→] = [1; -2; -3].
Mặt phẳng [P] đi qua A[ 0; -1;0] và nhận vecto n→[1; -2; -3] làm VTPT nên có phương trình:
1[ x- 0] – 2[ y+1] – 3[ z- 0] = 0 hay x- 2y - 3z – 2= 0
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm M[2; 1; 1], mặt phẳng [ α]: x+ y + z – 4 = 0 và mặt cầu [S]: x2 + y2 + z2 – 6x – 6y – 8z+ 18 = 0. Phương trình đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong [α] cắt mặt cầu [S] theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là:
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu [S] có tâm I[3; 3;4] và bán kính R= 4.
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng [α] là:
Suy ra mặt cầu [S] cắt mặt phẳng [α] theo một đường tròn.
Ta có điểm M ∈ [α] < ; IM = √14 < R nên điểm M nằm trong mặt cầu [S].
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên [P] => H[1; 1;2]
Để đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong [α] cắt mặt cầu [S] theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất thì Δ ⊥MH .
Từ đó suy ra Δ có véctơ chỉ phương là: u→ = [nα→; MH→] = [1; -2; 1]
Vậy phương trình
Chọn B.
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho điểm A[2; 5; 1] và mặt phẳng [P]: 6x + 3y – 2z + 24= 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng [P]. Phương trình mặt cầu [S] có diện tích và tiếp xúc với mặt phẳng [P] tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:
A. [x- 8]2 + [ y- 8]2 + [z+ 1]2 = 196 B. [x + 82 +[y+ 8]2 + [z - 1]2 = 196
C. [x + 16]2 + [ y+4]2 + [z- 7]2 = 196 D.[x- 16]2+ [ y- 4]2 +[z+ 7]2 = 196
Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với [P]. Suy ra, một VTCP của d là:
ud→ = nP→[ 6; 3; -2]
Phương trình đường thẳng d là
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên [P] nên H= d ∩ [P] .
Vì H ∈ d nên H[ 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t.
Mặt khác, H ∈ [P] nên ta có:
6[2+ 6t] + 3[5+ 3t] – 2[ 1- 2t] + 24 = 0
⇔ t= - 1
Do đó, H[ -4; 2; 3].
Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π , suy ra 4πR2 ⇔ R = 14 .
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng [P] tại H nên IH⊥ [P] => I ∈ d .
Do đó tọa độ điểm I có dạng I[ 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t], với t ≠ -1 .
Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:
Do đó: I[8; 8; -1].
Vậy phương trình mặt cầu [S]: [x- 8]2 +[ y – 8]2 + [z+1]2 = 196.
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng [P]: x+ 2y – 2z + 2= 0 và điểm A[2; -3; 0]. Gọi B là điểm thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng [P] có bán kính bằng 2. Tọa độ điểm B là:
A. [0; 1; 0] B.[0; -4; 0] C.[0; 2; 0] hoặc [0; -4; 0] D. [0; 2; 0]
Hướng dẫn giải:
Vì B thuộc tia Oy nên B[0; b; 0] [với b > 0]
Bán kính của mặt cầu tâm B, tiếp xúc với [P] là R= d[B; [P]]= |2b+2|/3 .
Theo giả thiết R= 2 nên:
Do b > 0 nên chọn b= 2.
Vậy tọa độ B[0; 2; 0].
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng [P]: 2x+ 3y – z + 2 = 0; [Q]: 2x - y – z +2 = 0. Phương trình mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [P] tại điểm A[1; -1;1] và có tâm thuộc mặt phẳng [Q] là:
A. [x+ 3]2 + [y+ 7]2 + [z – 3]2 = 56 B. [x-3]2 + [ y- 7]2 + [z+ 3]2 = 56
C. [ x+3]2 + [ y+ 7]2 +[ z - 3]2 = 14 D. [x- 3]2 +[ y- 7]2+ [ z+ 3]2 = 14
Hướng dẫn giải:
Gọi d đường thẳng đi qua A và vuông góc với [P]. Nên 1 VTCP của d là: ud→ = nP→[2; 3; -1].
Ta có; phương trình đường thẳng d là:
Tâm I ∈ d nên I[ 1+ 2t; -1+ 3t; 1- t].
Do điểm I nằm trên mp [Q] nên ta có:
2[ 1+ 2t] - [ -1+ 3t ] – [1 – t] + 2 = 0
⇔t = - 2 nên I [ -3; -7; 3]
Bán kính mặt cầu là R= IA =
Phương trình mặt cầu [S]: [ x+3]2 +[y+ 7]2 + [z- 3]2 = 56
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng [P];[Q] có phương trình [P]: x- 2y + z - 1= 0 và [Q]: 2x + y – z + 3 = 0 . Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng [P] và tiếp xúc với mặt phẳng [Q] tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng [Oxy] và có hoành độ xM = 1 có phương trình là:
A.[x - 21]2 + [ y - 5]2 + [ z + 10]2 = 600 B. [x+19]2 + [ y+ 15]2 + [z - 10]2 = 600
C. [x- 21]2 + [y - 5]2 + [z + 10]2 = 100 D. [x+ 21]2 + [ y+ 5]2 + [z - 10]2 = 600
Hướng dẫn giải:
Vì M ∈ [Oxy] và có hoành độ bằng 1 nên M[1; y ; 0].
Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng [Q] nên M ∈ Q
=> 2.1 + y - 0+ 3 = 0 => y = -5
Tọa độ điểm M[1; -5; 0].
Gọi I[a; b; c] là tâm của mặt cầu [S] cần tìm.
Ta có [S] tiếp xúc với mp [Q] tại M nên IM⊥[Q] .
Mặt phẳng [Q] có vectơ pháp tuyến n→[2; 1; -1].
Ta có: IM⊥[Q]
Do I ∈ [P] nên 1+ 2t – 2[ - 5+ t] - t – 1 = 0
⇔ t = 10 nên I[21; 5; -10]
Bán kính mặt cầu R= d[I; [Q]] = 10√6
Vậy phương trình mặt cầu [S]: [ x- 21]2 + [ y- 5]2 + [ z +10]2 = 600.
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hai điểm M[1;0;4]; N[1; 1; 2] và mặt cầu [S]: x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 2= 0 . Mặt phẳng [P] qua M; N và tiếp xúc với mặt cầu [S] có phương trình:
A. 4x + 2y + z - 8 = 0 hoặc 4x – 2y – z + 8= 0
B. 2x + 2y +z – 6= 0 hoặc 2x – 2y – z + 2= 0
C. 2 x+ 2y + z – 6 = 0
D. 2x – 2y – z + 2 = 0
Hướng dẫn giải:
- Ta có mặt cầu [S] có tâm I[1; -1; 0] và bán kính R= 2; MN→[0; 1; -2]
- Gọi n→[A;B;C] với A2 + B2 + C2 > 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [P].
- Vì [P] qua M, N nên n→⊥ MN→ => n→.MN→ = 0
⇔ B - 2C = 0 [1]
- Mặt phẳng [P] qua M[1; 0; 4] và nhận [ A, B, C] là vectơ pháp tuyến nên có phương trình
A[x-1]+ B[ y – 0] + C[ z- 4] = 0 hay Ax + By +Cz – A - 4C =0.
- Mặt phẳng [P] tiếp xúc với [S] nên d[I ; [P]] = R
Từ [1] và [2] => A2 - 4C2 = 0 [*]
- Trong [*], nếu C = 0 thì A= 0, và từ [1] suy ra B = 0 [vô lí]. Do vậy, C ≠ 0
Chọn C=1 => A = ±2
Với A=2 ; C = 1, ta có B = 2 . Khi đó; [P]; 2x + 2y + z - 6 = 0 .
Với A= -2; C= 1, ta có B= 2. Khi đó, [P]: 2x – 2y – z + 2 = 0 .
- Vậy phương trình mặt phẳng [P]:2x + 2y + z – 6= 0 hoặc [P]: 2x – 2y – z + 2 = 0 .
Chọn B.
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp